二次根式知識點總結和習題

1、二次根式的知識點匯總知識點一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式. 注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù),也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識點二 : 取值范圍1.二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a0 時 ,有意義 , 是二次根式，所以要使二次根式有意義, 只要使被開方數(shù)大于或等于零即可. 2。二次根式無意義的條件：因負數(shù)沒有算術平方根，所以當 a0 時，沒有意義 . 知識點三：二次根式(）的非負性(）表示 a 的算術平方根，也就是說,（）是一個非負數(shù)，即0（）。注：因為

2、二次根式（）表示 a 的算術平方根 , 而正數(shù)的算術平方根是正數(shù)，0 的算術平方根是0, 所以非負數(shù)（) 的算術平方根是非負數(shù)，即0（），這個性質也就是非負數(shù)的算術平方根的性質，和絕對值、 偶次方類似。 這個性質在解答題目時應用較多，如若，則 a=0，b=0；若, 則 a=0,b=0; 若，則a=0,b=0 。知識點四 : 二次根式（）的性質（）文字語言敘述為：一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于這個非負數(shù). 注: 二次根式的性質公式（) 是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用：若, 則，如：，。知識點五：二次根式的性質文字語言敘述為: 一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值

3、. 注: 1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a 是正數(shù)還是負數(shù), 若是正數(shù)或0，則等于 a本身，即；若 a 是負數(shù) , 則等于 a 的相反數(shù) a，即；2、中的 a 的取值范圍可以是任意實數(shù), 即不論 a 取何值 ,一定有意義 ; 3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡。知識點六 :與的異同點1、 不同點 :與表示的意義是不同的,表示一個正數(shù)a 的算術平方根的平方，而表示一個實數(shù)a 的平方的算術平方根；在中，而中 a 可以是正實數(shù)， 0，負實數(shù)。但與都是非負數(shù)，即，。因而它的運算的結果是有差別的,，而2、相同點：當被開方數(shù)都是非負數(shù), 即時，=；時，無意義，而。知識點七：二次根

4、式的運算（1)因式的外移和內移:如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么,就可以用它的算術根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，?變形為積的形式，再移因式到根號外面,反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式(3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除）,將被開方數(shù)相乘（除)，所得的積 (商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運算結果化為最簡二次根式ab=ab(a0 ， b0 ）；bbaa（b0 ，a0)（4）有理數(shù)的加法交換律、結合律，乘法交換律及結合律，?乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于

5、二次根式的運算新人教九年級 (上）第 21 章二次根式同步學習檢測（一) （整章檢測）（時間 90 分鐘滿分 100 分）一、選擇題 (共 12 分）1在根式15、22b-a1ba、3ab、631、baa221中，最簡二次根式有 （）a1 個b2 個c3 個d4 個2在二次根式32，-256,611，4951和232中，與6是同類根式的有( ）a2 個b3 個c4 個d5 個3在下列各式中，等號不成立的是( ）aa1aab 2xyy4x2（x0) c32a-a2a-d（x+2xy+y） (x+y）x+y4在下列各式的化簡中，化簡正確的有( ）3aaa5xxx4xx6a2baab2b3a24+6

6、1106a1 個b2 個c3 個d4 個5已知二條線段的長分別為2cm、3cm,那么能與它們組成直角三角形的第三條線段的長是 ( ) a 1cmb5cmc5cm d1cm 或5cm 6已知 a0,化簡：aaa22的結果是( ）a1 b-1 c0 d2a二、填空題 (每題 2 分,共 20 分) 752的絕對值是 _，它的倒數(shù) _ 8當 x_時，x311是二次根式9當 x_時,52x有意義，若xx2有意義，則x_。10當 mn 時,2)(mn_,當 a_時，3132aa11化簡04.0225_，22108117_。12計算：ba10253_13若最簡二次根式1522x與172x是同類二次根式，則

7、x=_。14把根式aa1根號外的a 移到根號內 ,得_。15二次根式x33與ax2的和是一個二次根式，則正整數(shù)a的最小值為；其和為。16觀察下列各式 :322322；833833；15441544; 則依次第四個式子是；用)2(nn的等式表達你所觀察得到的規(guī)律應是。三、解答題（共68 分）17（ 5 分）計算 :bababaa18（ 5 分）計算 :)483814122(2219(5 分）解方程：3548015xx20（ 5 分）解不等式：)1(6)3(2xx21(5 分）已知：2420 x，求221xx的值22（ 5 分）化簡并求值aaaaaaa22212121其中321a23(5 分)已知

8、實數(shù)a滿足 |2003a|+，a 2004 =a，則 a20032的值是多少？24（ 5 分）已知正數(shù)a和b,有下列命題 :（ 1）若2ba,則ab1；（2）若3ba，則ab23；（3)若6ba,則ab3；根據(jù)以上三個命題所提供的規(guī)律猜想：若9ba，則ab。25(6 分）閱讀下面的解題過程，判斷是否正確?若不正確 ,請寫出正確的解答。已知m為實數(shù)，化簡：mmm13解:原式mmmmm1mm126(6 分）如圖，abc中，rtacb，2,8 bcab, 求斜邊ab上的高cd27（ 8 分)觀察下列等式：12) 12)(12(12121；23)23)(23(23231；34)34)(34(34341

9、；回答下列問題：(1）利用你觀察到的規(guī)律，化簡：11321（2)計算：1031.23132121128（ 8 分）水庫大壩截面的迎水坡坡比(de 與 ae 的長度之比）為1:0。6,背水坡坡比為 1：2,大壩高 de=30 米,壩頂寬 cd=10 米，求大壩的截面的周長。a c b e d f 新人教九年級（上）第21 章二次根式同步學習檢測（二）一、選擇題1、如果 錯誤 !是二次根式，則x 的取值范圍是 ( ) a、x 5 b、x 5 c、x 5 d、x 5 2、等式x21 =錯誤 !錯誤 !成立的條件是（）a、x1 b、x 1 c、x1 d、 x 1 3、已知 a= 錯誤 !,b=錯誤 !

10、，則 錯誤 !的值為 ( ）a、3 b、4 c、5 d、6 4、下列二次根式中，x 的取值范圍是x2 的是（) a、錯誤 !b、錯誤 !c、錯誤 ! d、錯誤 !5、在下列根式中，不是最簡二次根式的是（）a、錯誤 !b、錯誤 !c、錯誤 !d、錯誤 !6、下面的等式總能成立的是（）a、a2=a b、a a2=a2c、a 錯誤 !=錯誤 !d、錯誤 !=錯誤 !錯誤 !7、m 為實數(shù)，則 錯誤 !的值一定是（) a、整數(shù)b、正整數(shù)c、正數(shù)d、負數(shù)8、已知 xy0，化簡二次根式x錯誤 !的正確結果為（）a、錯誤 !b、錯誤 !c、 錯誤 !d、 錯誤 !9、若代數(shù)式 錯誤 !+錯誤 !的值是常數(shù)2

11、，則 a 的取值范圍是（) a、a4 b、a2 c、2a4 d、a=2 或 a=4 10、下列根式不能與錯誤 !合并的是（）a、0.12 b、錯誤 !c、錯誤 !d、 錯誤 !11、如果最簡根式錯誤 !與錯誤 !是同類二次根式，那么使錯誤 !有意義的x 的范圍是 ( ）a、x10 b、x10 c、x10 12、若實數(shù)x、y 滿足 x2+y24x 2y+5=0,則錯誤 !的值是 ( ) a、1 b、錯誤 !+錯誤 !c、3+2錯誤 !d、32錯誤 !二、填空題1、要使 錯誤 !有意義 ,則 x 的取值范圍是。2、若 錯誤 !+錯誤 !=0，則 ab= 。3、若，1a2與 錯誤 !都是二次根式 ,

12、那么 錯誤 !+錯誤 != 。4、若 y=錯誤 !+錯誤 !+錯誤 !，則 (x+y）2003= 。5、若，2 x1+錯誤 !x，化簡 錯誤 !錯誤 != 。6、若 錯誤 !=錯誤 !，則 a= . 7、比較大小 :3，5 2錯誤 !錯誤 !錯誤 !錯誤 ! 錯誤 !8、若最簡根式錯誤 !與 錯誤 !是同類二次根式，則m= 。9、已知 錯誤 !=2錯誤 !，錯誤 !=3錯誤 !,錯誤 !=4錯誤 !，請你用含n 的式子將其中蘊涵的規(guī)律表示出來 : . 10、若 錯誤 !的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則 a錯誤 != 。11、已知 錯誤 != 錯誤 ! 錯誤 ! ，則 錯誤 != 。12、已知

13、a=錯誤 !錯誤 !，則化簡a 得。三、計算與化簡1、（ 錯誤 !+錯誤 !）1+錯誤 ! +錯誤 !2、 錯誤 !+ 錯誤 !+錯誤 !3、(1+錯誤 !錯誤 !)（1錯誤 !+錯誤 !）+2錯誤 !4、錯誤 !+ 錯誤 !錯誤 !+ 錯誤 !錯誤 !四、先化簡再求值1、已知 a=3，b= 4,求錯誤 !+ 錯誤 ! 錯誤 !的值。2、化簡：a+2+a2 4 a+2，a24 錯誤 !取自己喜愛的a 的值計算 . 3、當 a= 錯誤 !，b=錯誤 !時,求錯誤 !的值。4、當 a= 錯誤 !時，求 錯誤 ! 錯誤 ! 錯誤 !的值。五、解答下列各題1、解方程 :3 (x1)= 錯誤 !(x+1) 2、解方程組：3、 已知直角三角形兩直角邊長分別為a= 錯誤 !,b= 錯誤 !,求斜邊的長。【參考答案】同步學習檢測（一）一、選擇題1c 2 b 3c 4b 5 d 6b 二、填空題78 9,且10m-n,0 113，45 12 1314156 10 16.，三、解答題171 1819202118 22 232009 2425原式2627(1）;（2)9 28米同步學習檢測（二）一、選擇題1、c 2、c 3、c 4、c 5、d 6、 c 7、c 8、d 9、c 10、b 11、 a 12、c 二、填空題1、1x 8