南航矩陣論2013研究生試卷及答案

1、南京航空航天大學(xué)2012級(jí)碩士研究生共 6 頁(yè)第 1 頁(yè)2012 2013學(xué)年第 1 學(xué)期 矩陣論 課程考試 a 卷考試日期 :2013年 1月 15 日 課程編號(hào) :a080001 命題教師：閱卷教師：學(xué)院專(zhuān)業(yè)學(xué)號(hào)姓名成績(jī)一、(20 分) 設(shè)22112222211211aa|aaaarv是22r的一個(gè)線性子空間，對(duì)任意vx, 定義：xppxxt)(，其中0110p. (1) 求v 的一組基和維數(shù)；(2) 對(duì)任意vba2221121122211211bbbb,aaaa，定義：2121121211112),(babababa，證明),(ba是v 的一個(gè)內(nèi)積 ; (3） 求v 在題(2 ）所定義的

2、內(nèi)積下的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基; (4） 證明 t 是v 的線性變換，并求 t 在題（ 1) 所取基下的矩陣。解答： (1） v 的一組基為123100100,010010eee維數(shù)為 3. （5分）(2)直接驗(yàn)證內(nèi)積定義的四個(gè)條件成立. （4分）（3) 標(biāo)準(zhǔn)正交基1231001001,0100102eee. （ 5 分）(4） 由于vxt)(，所以 t 是v 的一個(gè)變換。又直接驗(yàn)證 , 知)()(),()()(xktkxtytxtyxt，因此 t 是v 的一個(gè)線性變換 . （3 分) 線性變換 t 在基123100100,010010eee下的矩陣為011200200t。(3 分) 二、（ 20分)

3、設(shè)三階矩陣201034011a,300130013b，3003003aac。(1) 求 a的行列式因子、不變因子、初等因子及jordan 標(biāo)準(zhǔn)形；（2) 利用矩陣的知識(shí)，判斷矩陣b和 c 是否相似 , 并說(shuō)明理由 . 解答 : （1) a的行列式因子為2121)1)(2()(, 1)()(ddd； (3分)不變因子為2121)1)(2()(, 1)()(ddd；（3 分）初等因子為2)1(,2; (2 分）jordan標(biāo)準(zhǔn)形為200011001j。（ 2 分)( 2) 0,a不相似 , 理由是 2階行列式因子不同 ; （ 5 分)0,a相似, 理由是各階行列式因子相同. （ 5 分）共 6 頁(yè)

4、第 4 頁(yè)三、（ 20分）已知線性方程組1,12, 1434321421xxxxxxxxx不相容 . (1) 求系數(shù)矩陣 a的滿秩分解；（2） 求廣義逆矩陣 a ；(3) 求該線性方程組的極小最小二乘解. 解答： (1） 矩陣110021111011a, a的滿秩分解為10110111001101a。（ 5 分) (2) 51-451-41-52715033a. （ 10分) (3) 方程組的極小最小二乘解為2214156x。 (5 分)共 6 頁(yè)第 5 頁(yè)四、（ 20分）已知冪級(jí)數(shù)031kkkx的收斂半徑為 3, 矩陣021011011a。（1) 求faaaa,21; (2） 證明矩陣冪級(jí)數(shù)

5、031kkka收斂；(3） 求矩陣冪級(jí)數(shù)031kkka的和. 解答:(1) 124,3,6,3faaaa。 (10 分）（2) 因?yàn)?a是相容范數(shù)，且263a,則( )3a在收斂半徑內(nèi) ,因此級(jí)數(shù)收斂。（ 5 分)（3) 1002101()3(3)12033011kkkkkaaia. (5 分) 共 6 頁(yè)第 6 頁(yè)五、（ 20分）設(shè)ba,是兩個(gè)n階矩陣 , 其中)(ijaa，證明：（1) 若對(duì)任意ni,2, 1，有, 1|1njija則ai可逆；（2） 若ba,都是 hermite 正定矩陣，則 ab 的特征值均為正數(shù) ; （3） 若ba,都是 hermite 半正定矩陣，則0)(abtr, 并且當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí) , 必有0ab. 解答：(1) 由1|1nijja可得，1a,由于 a是相容范數(shù)， 則()1a,ai的特征值都不為零 ,因此ai可逆。 (6 分)（2) 20haasss，這里 s是可逆的 hermite 矩陣，從而habss b.由于hss b與hs bs有相同的特征值，且0hs bs，所以 ab 的特征值均為正數(shù)。 (8 分)（3) 20,hhaass s abs sb，這里 s是 hermite 矩陣. 由于hs sb與hsbs有相同的特征值，且0hsbs,所以 ab 的特征值均為非負(fù)數(shù),從而0)()(hsbstrabtr。（ 4 分) 當(dāng)0)(abt