高等數(shù)學(xué)課件：9.2 一階方程(1-36)

1、9.2 一階方程一階方程這一節(jié)討論一階微分方程這一節(jié)討論一階微分方程的求解問題的求解問題 ),(),( ( ),( 0 dyyxQdxyxPyxfdxdy或或(1)遺憾地是遺憾地是 , 對于階數(shù)最低的一階微分方程對于階數(shù)最低的一階微分方程 (1) , 要要求其解一般是不行的求其解一般是不行的 所以所以 , 這一節(jié)這一節(jié) , 我們僅對一些特殊的一階方程討我們僅對一些特殊的一階方程討論其求解問題論其求解問題 1 可分離變量的一階方程可分離變量的一階方程如果如果 f (x , y) = g(x)h(y) ,則方程為則方程為)()( yhxgdxdy (2)方程方程 (2) 稱為稱為可分離變量的微分方

2、程可分離變量的微分方程 如果如果 y = a 使使 h(a) = 0 , 則則 y = a 是是 (2) 的解的解 如果如果 h(y) 0 , 則則方程方程 (2) dxxgyhdy)()( ( 分離變量分離變量 ) (3)對對 (3) 兩邊積分得兩邊積分得cdxxgyhdy )()( c為任意常數(shù)為任意常數(shù)) (4)說明說明:(1) 我們約定我們約定: dxxhyhdy)( , )(分別表示分別表示)( , )(xgyh1的一個原函數(shù)的一個原函數(shù) , 任意常數(shù)已含在任意常數(shù)已含在 c 中中 (2) 等式等式 (4) 確定一隱函數(shù)確定一隱函數(shù) y = y(x , c) , 此即為此即為方程方程

3、 (2) 的通解的通解 )()( xgdxdyyh 1事實上將事實上將 (4) 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)有求導(dǎo)有)()(xgyhdxdy cdxxgyhdy )()(方程方程 (2) 的通解的通解:例例求方程求方程 的通解的通解 xydxdycos 2 解解此方程是一階可分離變量方程此方程是一階可分離變量方程 分離變量得分離變量得xdxydycos 2兩邊積分得兩邊積分得cxy sin 1所以方程的通解所以方程的通解cxy sin 1說明說明:很明顯很明顯 y = 0 也是方程的解也是方程的解 , 但但 y = 0 不包含不包含在通解在通解 之中之中 , 所以所以通解不一定就是通解不一定就是cx

4、y sin1方程的全部解方程的全部解 例例求方程求方程 的通解的通解 dyyxxyydxx)( 222221 解解原方程可表示為原方程可表示為dyxyydxx)( 22211 分離變量分離變量dyyydxxx22211 兩邊積分得兩邊積分得cdyyydxxx 22211 通解為通解為212xxyycarctanln 例例求解求解 )( , 103 yyyedxdyx解解先求通解先求通解 .這是一可分離變量方程這是一可分離變量方程 分離變量有分離變量有dxedyyyx )( 3兩邊積分得通解兩邊積分得通解ceyyx 424121 令令 x = 0 , y = 1 得得c 14121 41 c 所

5、以以上初值問題的解為所以以上初值問題的解為41412142 xeyy 即即14242 xeyy 例例曲線曲線 y=y(x) 與曲線族與曲線族 中的任一橢中的任一橢cyx 222圓都正交圓都正交 ( 在交點處切線相互垂直在交點處切線相互垂直 ) , 若已知曲線若已知曲線y = y(x) 經(jīng)過點經(jīng)過點 ( a , b ) ( ab 0 ) , 求此曲線方程求此曲線方程 解解 任取一橢圓任取一橢圓 cyx 222設(shè)設(shè) y =y(x) 與此橢圓的交點為與此橢圓的交點為 ( x , y ) y = y(x) 在點在點 ( x , y )處的切線斜率為處的切線斜率為: yK 1而而 在點在點 ( x ,

6、y )處的切線斜率為處的切線斜率為:cyx 222) ( 0222 yyxyxK12 ) ( yxyxydxdy2 xdxdyy21 21xcy 積分得積分得12cxylnlnln )(01 c2cxy ( c 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )由由 y(a) = b 2abc 所以所求曲線為所以所求曲線為:22xaby 由正交條件知由正交條件知:121 KK例例將溫度為將溫度為 100 C 的開水沖進熱水瓶且塞緊的開水沖進熱水瓶且塞緊 塞子后放在溫度為塞子后放在溫度為 20 C 的室內(nèi)的室內(nèi) , 24 小時后小時后 , 瓶瓶內(nèi)熱水溫度降為內(nèi)熱水溫度降為 50 C , 問沖進開水問沖進開水 12 小時后

7、瓶小時后瓶內(nèi)熱水的溫度是多少內(nèi)熱水的溫度是多少 ? (設(shè)瓶內(nèi)熱水冷卻的速度與設(shè)瓶內(nèi)熱水冷卻的速度與水的溫度和室溫之差成正比水的溫度和室溫之差成正比 )解解設(shè)時刻設(shè)時刻 t 時時 , 水的溫度為水的溫度為 T C , 則有則有)()(020 k TkdtdT1000 )(T( 可分離變量方程可分離變量方程 )解得解得, eTkt 8020由由 T(24) = 5024183 ke 12802012)()(keT C65483802021. 2 一階線性方程一階線性方程如果如果 f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 y 是線性函數(shù)是線性函數(shù) , 即即 )()(),(yxPxQyxf 此時方程為此時方程為)

8、()(xQyxPdxdy (8)方程方程 (8) 稱為關(guān)于稱為關(guān)于 y 的的一階線性方程一階線性方程 , Q(x) 稱為稱為自由項自由項 , 0 yxPdxdy)(9)為關(guān)于為關(guān)于 y 的的一階線性齊次方程一階線性齊次方程 而稱自由項而稱自由項 Q(x) = 0 的一階方程的一階方程下面討論方程下面討論方程 (8) 的求解的求解: 首先考慮齊次方程首先考慮齊次方程 (9) 的求解的求解 方程方程 (9) 可表為可表為yxPdxdy)( ( 可分離變量方程可分離變量方程 )dxxPydy)( 積分得積分得 1cdxxPyln)(ln可得方程可得方程 (9) 的通解的通解: dxxPcey)(采用

9、采用常數(shù)變易法常數(shù)變易法方程方程 (8) 的通解的通解 :設(shè)設(shè) 是方程是方程 (8) 的解的解 , 其中其中 dxxPexcy)()(c(x) 為待定函數(shù)為待定函數(shù) . 代入方程有代入方程有P x dxP x dxP x dxc x ec x P x eP x c x eQ x( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) dxxPexQxc)()()( cdxexQxcdxxP )()()( 所以所以 , 一階線性方程一階線性方程 (8) 的通解的通解)( )()(dxexQceydxxPdxxP (10)注意注意:(10) 式中的積分都僅表示一原函數(shù)式中的積分都僅表示一原函數(shù)

10、(不再帶不再帶常數(shù)常數(shù)) 例例求方程求方程 通解通解 xxexydxdy2 解解方程是關(guān)于方程是關(guān)于 y 變量的一階線性方程變量的一階線性方程此時此時xxexxxP21 )Q( , )(利用公式利用公式 (10) 得方程的通解得方程的通解 )()(dxexeceydxxxdxx112 )(lnlndxexecexxx2 )(dxxxecxx12 )(dxecxx2)(xecx2 例例求方程求方程 通解通解 yxyy )( 2解解方程不是關(guān)于方程不是關(guān)于 y 變量的一階線性方程變量的一階線性方程 , 但可但可變形為變形為yyxdydx (關(guān)于關(guān)于 x 變量的線性方程變量的線性方程 )利用公式利用

11、公式 (10) ( 注意注意 x , y 互換互換 ) 得方程的通解得方程的通解 )(dyyecexdyydyy11 )(lnlndyyeceyy )(dyycy21)(3311ycy 例例有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點的質(zhì)點 , 從液面由靜止?fàn)顟B(tài)開始從液面由靜止?fàn)顟B(tài)開始垂直下沉垂直下沉 , 設(shè)在沉降過程中質(zhì)點所受的阻力與沉設(shè)在沉降過程中質(zhì)點所受的阻力與沉降速度降速度 v 成正比成正比 , 比例系數(shù)為比例系數(shù)為 k 0 , 試求質(zhì)點下沉試求質(zhì)點下沉速度速度 v 及位置及位置 x 與沉降時間與沉降時間 t 的關(guān)系的關(guān)系 解解x0 kvmg建立坐標(biāo)系如圖所示建立坐標(biāo)系如圖所示 M在下沉過程中在下

12、沉過程中 , 在時刻在時刻 t , 質(zhì)點質(zhì)點 M受到兩個作用力受到兩個作用力:重力重力: mg , 阻力阻力 : kv根據(jù)牛頓第二定律有根據(jù)牛頓第二定律有kvmgdtdvm 由于當(dāng)由于當(dāng) t = 0 時時 , v(0) = 0 故知故知 v 滿足以下初值問題滿足以下初值問題:gvmkdtdv 00 )(v( 一階線性方程一階線性方程 )所以方程的通解為所以方程的通解為)()(dtgecetvdtmkdtmk )(dtgecetmktmk )(tmktmkekmgce tmkcekmg 由由 v(0) = 0kmgc 又又 及及 x (0)=0 , 知知 x 滿足下初值問題滿足下初值問題)(tv

13、dtdx )(tmkekmgdtdx 100 )(x積分得積分得ttmktmktxekmtkmgdtekmgdx0001)()( 所以所以)(tmkekmtkmgx 1)(tmkekmgv 1所以有所以有3 齊次型齊次型方程方程( (可化為可分離變量的方程可化為可分離變量的方程) )則稱方程則稱方程 ),(yxfdxdy 如果如果 f (x , y) 滿足滿足: 對任意的對任意的 t R , f (tx ,ty ) = f (x , y)為為一階齊次型方程一階齊次型方程 令令 , 則則xt1 )(),(),(xyxyfyxf 1所以原方程可表示為所以原方程可表示為:)(xydxdy (11)令

14、令 y = xu xyu dxduxudxdy 代入代入 (11)有有)(udxduxu xuudxdu )( 這是關(guān)于這是關(guān)于 u , x 變量的一階可分離變量的方程變量的一階可分離變量的方程例例求方程求方程 的通解的通解yxyxdxdy 2解解這是一齊次型方程這是一齊次型方程 . 在方程的右邊分子分母在方程的右邊分子分母同除同除 x 得得 xyxydxdy 12令令 ,xyu 則則, xuuy , xuy 代入上方程有代入上方程有uudxduxu 12uuuuuudxdux 122122dxxduuuu 12212 積分得積分得cxcxuulnlnln)ln( 21222122222xcu

15、u 將將 代入得代入得xyu 2222xcxyxy )()(cxxyy 2222所以方程的通解為所以方程的通解為:例例求方程求方程 的通解的通解 .022 dyxyxydx)(解解原方程可寫成原方程可寫成)()(012 y , yxyxdydx令令 ,yxu 則則, yuux , yux 代入上方程有代入上方程有21uudyduyu 21udyduy ydyudu 21積分得積分得cyu lnarcsin)sin(lncyu 所以方程的通解為所以方程的通解為:)sin(lncyyx 例例設(shè)曲線設(shè)曲線 L 上任一點上任一點 P(x , y) 滿足滿足 OP QR (見圖見圖 ) , 其中其中 P

16、R 為為 L在點在點 P處的切線處的切線 , 又知又知 L 過點過點 ( 1 , 2 ) ,求曲線求曲線 L 的方程的方程 x0yP(x,y)RQ(x,0)解解 過點過點 P(x , y) 作切線方程作切線方程)( xXyyY R 點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為) ,(xyy 0直線直線 QR 斜率斜率: , xyxyk 1直線直線 OP 斜率斜率: xyk 2由于由于 OP QR , kk121 即即1 xyxyxy所以所求曲線所以所求曲線 y=y(x) 滿足方程滿足方程022 xydxdyxy又曲線經(jīng)過點又曲線經(jīng)過點 (1 , 2) , 即即 y(1)=2 , 所以所求曲線所以所求曲線 y=y(x)

17、 是下初值問題的解是下初值問題的解022 xydxdyxy21 )(y方程可變形為方程可變形為yxxydxdy ( 齊次型方程齊次型方程 )令令 ,xyu 則則, xuuy , xuy 代入上方程有代入上方程有uudxduxu1 udxdux1 dxxudu 1 積分得積分得2112uxcln 將將 代入上式得代入上式得xyu cxxy ln)(22)ln(xcxy 222 令令 x=1 , y = 2 得得 c = 4 ,所以所求曲線所以所求曲線 L的方程為的方程為222420 yxx xe(ln) , 即即2420 yxx xe(ln)() 齊次型方程通過變量代換可化為可分離變量方程齊次型

18、方程通過變量代換可化為可分離變量方程求解求解 , 下面介紹一個其它的例子下面介紹一個其它的例子 解解求解初值問題求解初值問題例例yyxdxdytancos 40 )(yyyyxdxdycossincos 原方程可寫成原方程可寫成yxdxdyy sincos xydxyd sin)(sin令令 , 則有則有yusin xudxdu 方程的通解為方程的通解為)(dxxeceudxdx )(dxxecexx )(dxexecexxx )(xxxexece xcex 1原方程的通解原方程的通解xcexy 1sin令令40 y , x221 c所以初值問題的解所以初值問題的解xexy )(sin2211

19、例例求方程求方程 的通解的通解 31 yxyxdxdy解解令令, kYy , hXx 其中其中 h , k 為待定常數(shù)為待定常數(shù) 則有則有 ,dXdYdxdy 代入原方程得代入原方程得)()(31 khYXkhYXdXdY故令故令01 kh03 kh解得解得 h = 1 , k = 2 .于是令于是令 , 1 Xx Yy2 則原方程化為則原方程化為YXYXdXdY ( 齊次型方程齊次型方程 )XYXY 11再令再令 , 則則 XYu , dXduXudXdY 代入方程有代入方程有uu dXduXu 11解得通解解得通解cYXYX 222將將 代入得原方程的通解代入得原方程的通解21 yY , xXcyxyxyx 622224 伯努里方程伯努里方程( (可化為一階線性方程的方程可化為一階線性方程的方程) )方程方程 (12)稱為稱為伯努里方程伯努里方程 如果如果, yxPyxQyxfn)()(),( 其中其中 n R , xQ , , n010 )(此時方程為此時方程為nyxQyxPdxdy)()( (12)在在 (12) 式兩邊同乘式兩邊同乘 y n 得得)(