高中數(shù)學(xué)選修一3.1.2 橢圓（第二課時(shí)）（精講）（解析版）

1、1 / 12 3.1.2 橢圓橢圓 思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖 2 / 12 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 【例 1】已知點(diǎn) p(k,1)，橢圓x29y241，點(diǎn) p 在橢圓外，則實(shí)數(shù) k的取值范圍為_(kāi) 【答案】 ，3 323 32， 【解析】 依題意得，k29141，解得 k3 32. 【一隅三反】 1.已知點(diǎn)(1,2)在橢圓y2nx2m1(nm0)上，則 mn的最小值為_(kāi) 【答案】 9 【解析】 依題意得，1m4n1，而 mn(mn)1m4n14mnnm454mnnm 524mnnm9，當(dāng)且僅當(dāng) n2m時(shí)等號(hào)成立，故 mn 的最小值為 9. 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 直線與橢圓的位置關(guān)系直

2、線與橢圓的位置關(guān)系 常見(jiàn)考法常見(jiàn)考法 3 / 12 【例 2-1】（2020 上海高二課時(shí)練習(xí)）k為何值時(shí)，直線2ykx=+和曲線22236xy+=有兩個(gè)公共點(diǎn)?有一個(gè)公共點(diǎn)?沒(méi)有公共點(diǎn)? 【答案】見(jiàn)解析 【解析】由222236ykxxy=+=，得2223(2)6xkx+=，即22(23)1260kxkx+= 22214424(23)7248kkk =+= 當(dāng)272480k =，即66,33kk 或時(shí)，直線和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)272480k =，即66,33kk= 或時(shí)，直線和曲線有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)272480k =，即6633k時(shí)，直線和曲線沒(méi)有公共點(diǎn) 【例 2-2】（2020 吉林長(zhǎng)春

3、.高二月考）直線1ykxk 與橢圓22=194xy+的位置關(guān)系為( ) a相切 b相交 c相離 d不確定 【答案】b 【解析】由題意，直線1(1)1ykxkk x=+ =+，可得直線恒過(guò)點(diǎn)(1,1)p， 又由2211194+，所以點(diǎn)(1,1)p在橢圓22194xy+=的內(nèi)部， 所以直線1ykxk=+與橢圓22194xy+=相交于不同的兩點(diǎn)，故選 b 4 / 12 【一隅三反】 1（2019 全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）直線()1ykxkr=+與橢圓2215xym+=恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 m的取值范圍為( ) a1+， b)1,+ c()()1,55,+ d)()1,55,+ 【答案】c 【解析】已知直線

4、ykx1與橢圓2215xym+=聯(lián)立方程組可化為（m+5k2）x2+10kx+5-5m=0， 要使得直線()1ykxkr=+與橢圓2215xym+=恒有兩個(gè)公共點(diǎn)， 則=100k2-4（m+5k2）（5-5m）=20m2-（1-5k2）m0，m0，m5 m1-5k2，m0，m5，又 kr，m1，且 m5 m的取值范圍為（1，5）（5，+）故選 c 2（2020 全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)（理）(2018 蘭州一模)已知直線 ykxk1與曲線 c：x22y2m(m0)恒有公共點(diǎn)，則 m的取值范圍是( ) a3，) b(，3 c(3，) d(，3) 【答案】a 對(duì)于含有一個(gè)參數(shù)的直線方程，往往是過(guò)定點(diǎn)的，找

5、到這個(gè)定點(diǎn)后，只需要這個(gè)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)或是橢對(duì)于含有一個(gè)參數(shù)的直線方程，往往是過(guò)定點(diǎn)的，找到這個(gè)定點(diǎn)后，只需要這個(gè)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)或是橢圓上即可，也即是圓上即可，也即是2200221xyab+. 5 / 12 【解析】直線方程為1ykxk=直線恒過(guò)定點(diǎn)(1, 1) 曲線c的方程為222(0)xym m+=曲線c表示橢圓 直線1ykxk=與曲線c：222(0)xym m+=恒有公共點(diǎn) 點(diǎn)(1, 1)在橢圓內(nèi)或橢圓上，即2212 ( 1)m+ .3m 故選 a. 3.直線 yxm與橢圓2214xy+=有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則 m的范圍是( ) a5m5 bm5，或 m5 cm5 d5m5 【答案】d 【解析

6、】由2214yxmxy=+=，得 5x2+8mx+4m24=0， 結(jié)合題意=64m220（4m24）0， 解得：5m5，故選：d 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 弦長(zhǎng)弦長(zhǎng) 【例【例 3】（2020 云南省瀘西縣第一中學(xué)高二期中（文）已知橢圓24+29= 1及直線： =32 + （1）當(dāng)直線與該橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； 6 / 12 （2）當(dāng) = 3時(shí)，求直線被橢圓截得的弦長(zhǎng) 【答案】（1）32,32；（2）13. 【解析】（1）由 =32 + 24+29= 1 消去，并整理得92+ 6 + 22 18 = 0 = 362 36(22 18) = 36(2 18) 直線與橢圓有公共點(diǎn) 0，可解得：32

7、32 故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為32,32 （2）設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為(1,1)，(2,2) 由得： 1+ 2= 23， 12=22189 | = 1 + 2 (1+ 2)2 412=1 + (32)2(69)2 4 22189=133 2+ 18 當(dāng) = 3時(shí)，直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為13 【一隅三反】 1（2020 全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓 c：22221xyab+=()0ab的焦距為4 2，短半軸的長(zhǎng)為 2，過(guò)點(diǎn) p(2,1)且斜率為 1的直線 l與橢圓 c交于 a，b兩點(diǎn) (1)求橢圓 c 的方程； (2)求弦 ab 的長(zhǎng) 【答案】（1）221124xy+=；（2）422ab =. 【解析

8、】(1)已知橢圓焦距為4 2，短半軸的長(zhǎng)為 2，即 2c=42，b=2， 7 / 12 結(jié)合 a2=b2+c2，解得 a=2 3 ，b=2，c=22 故 c：221124xy+=. (2)已知直線 l過(guò)點(diǎn) p(2,1)且斜率為 1，故直線方程為 y-1=x+2，整理得 y=x+3， 直線方程與橢圓方程聯(lián)立2231124yxxy=+= 得2418150 xx+=. 設(shè)()11,a x y，()22,b xy 12120,9,215,4xxx x += = ab = ()2121242242xxx x+= 2（2020 全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）斜率為 1 的直線與橢圓2212xy+=相交于,a b兩點(diǎn)，

9、則ab的最大值為_(kāi). 【答案】4 33 【解析】 斜率是 1的直線 l:y=x+b代入2212xy+=,化簡(jiǎn)得2234420 xbxb+=， 設(shè)() ()1122,a x yb xy,則21212442,33bbxxx x+= =，且()221612 420bb=，解得234b . 8 / 12 222212121616832244 32()4229393bbbabxxx x+=+=， b=0時(shí),|ab|的最大值為4 33，故答案為:4 3 3. 考點(diǎn)四考點(diǎn)四 點(diǎn)差法點(diǎn)差法 【例 4】（1）（2020 上海高二課時(shí)練習(xí)）直線l與圓22240(3)xyxyaa+=相交于兩點(diǎn)a，b，弦ab的中點(diǎn)為

10、(0,1)，則直線l的方程為_(kāi) （2）（2020 全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓 e：22221xyab+=，0ab的右焦點(diǎn)為()3,0f，過(guò)點(diǎn) f 的直線交橢圓 e于 a、b 兩點(diǎn)若 ab 的中點(diǎn)坐標(biāo)為()1, 1，則 e 的方程為_(kāi). （3）直線 yx1 與橢圓 mx2ny21(mn0)相交于 a，b兩點(diǎn)，若弦 ab的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于13，則橢圓的離心率等于_. 【答案】（1）10 xy+ =.（2）221189xy+=（3）22 【解析】（1）設(shè)圓心o，直線l的斜率為k，弦 ab的中點(diǎn)為p，po的斜率為opk，2 11 0opk= 則lpo，所以k( 1)11opkkk= = =由點(diǎn)斜式得1

11、yx=+ （2）已知3c =，設(shè)()11,a x y，()22,b xy，則2211221xyab+=，2222221xyab+=， 已知 ab 的中點(diǎn)坐標(biāo)為()121, 1 ?2xx+=，則，122yy+= ， 得()()()()12121212220 xxxxyyyyab+=， ()222121222212121yyxxbbbxxayyaa+= = =+， 9 / 12 12120 113 12yyxx+=，2212ba=，即222ab=， 又22229abcb=+=+， 29b =，218a =，即 e的方程為221189xy+=. （3）設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab 的

12、中點(diǎn)為 m(x0，y0)，x013，代入 yx1得 y023. 所以 m x12n y121，（1）m x22n y221，（2） 由（1）-（2）得：()()()()121212120m xxxxn yyyy+=， 131223abmmknn= =，2212bnam=， e2222111122cbaa= = =，e22.故答案為：22. 【一隅三反】 1（2020 上海高二課時(shí)練習(xí)）如果橢圓221369xy+=的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是_ 【答案】 y=-0.5x+4 【解析】設(shè)弦為ab，且()()1122,a x yb xy，代入橢圓方程得222211221,1369

13、369xyxy+=+=，兩式作差并化簡(jiǎn)得2112211212yyxxxxyy+= = +，即弦的斜率為12，由點(diǎn)斜式得()1242yx= ，化簡(jiǎn)得0.54yx= +. 10 / 12 2（2020 海林市朝鮮族中學(xué)高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓方程為22x+y2=1,則過(guò)點(diǎn)1 1,2 2p且被 p 平分的弦所在直線的方程為_(kāi). 【答案】2430 xy+= 【解析】設(shè)這條弦與橢圓2212xy+=交于點(diǎn)() ()1122a x yb x y， 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知12121,1xxyy+=+=, 把() ()1122a x yb x y代入2212xy+=, 作差整理得()()12121212120,2aby

14、yxxyykxx+= ， 這條弦所在的直線方程為111222yx= ， 即2430 xy+=，故答案為2430 xy+=. 3過(guò)點(diǎn) m(2,0)的直線 l與橢圓 x22y22 交于 p1，p2兩點(diǎn)，線段 p1p2中點(diǎn)為 p，設(shè)直線 l的斜率為k1(k10)，直線 op的斜率為 k2(o 為原點(diǎn))，則 k1 k2的值為_(kāi). 【答案】12 【解析】設(shè)直線l的方程為：1(2)yk x=+，由122(2)21yk xxy=+=，整理得 ：2222111(12)8810kxk xk+ =，所以21122181 2kxxk+=+，2112218112kx xk=+， 所以1121112112214(2)(

15、2)(4)12kyyk xk xk xxk+=+=+=+，所以 11 / 12 211221142(,)1 21 2kkpkk+，12122112121214212kkkkkk+= +，所以1 212k k = 4（2019 內(nèi)蒙古一機(jī)一中高二期中（文）斜率為13的直線 l被橢圓:c22221(0)xyabab+=截得的弦恰被點(diǎn)(1,1)m平分，則c的離心率是_ 【答案】63. 【解析】設(shè)直線 l與橢圓的交點(diǎn)為1122( ,), (,)a x yb xy 因?yàn)橄仪”稽c(diǎn)(1,1)m 平分，所以12122,2xxyy+=+= 由2222112222221,1xyxyabab+=+=，兩式相減可得：1212121222()()()()0 xxxxyyyyab+= 化簡(jiǎn)可得：212212yybxxa= ，因?yàn)橹本€ l的斜率為13，所以21221213yybxxa= = 即2213ba=所以離心率22613bea= 故答案為63 5（2018 河南高二月考（文）已知橢圓c：22221xyab+