高考數(shù)學一輪復(fù)習課時作業(yè)(十六)　導(dǎo)數(shù)與不等式證明 (2)

1、1 / 4 課時作業(yè)(十六) 導(dǎo)數(shù)與不等式證明 1已知函數(shù) f(x)(a1)ln xxax，ar。 (1)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性； (2)當 aaa2。 解 (1)f(x)a1x1ax2 x2(a1)xax2(x1)(xa)x2。 因為 x0，ar， 所以當 a0 時，xa0， 函數(shù) f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減， 在(1，)上單調(diào)遞增； 當1a0 時，0a1， 函數(shù) f(x)在(0，a)上單調(diào)遞增， 在(a,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增； 當 a1 時，f(x)(x1)2x20， 函數(shù) f(x)在(0，)上單調(diào)遞增； 當 a1，函數(shù) f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，a)

2、上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增。 (2)證明：當 aaa2， 即證aa20。 因為 a1，所以只需證 ln(a)a1。 令 h(x)ln xx1(x1)， 則 h(x)1x1(x1)x0， 所以函數(shù) h(x)在1，)上單調(diào)遞減， 所以 h(x)h(1)0。 因為 a1。 所以 h(a)ln(a)a10， 即當 a1 時，ln(a)a1 成立。 所以當 aaa2。 2已知函數(shù) f(x)axln x1。 (1)若 f(x)0 恒成立，求 a 的最小值； (2)證明：exxxln x10(e為自然對數(shù)的底數(shù))。 解 (1)f(x)0 等價于 aln x1x。 令 g(x)ln x1x，則 g(x)

3、ln xx2， 所以當 x(0,1)時，g(x)0， 當 x(1，)時，g(x)0， 則 g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減， 所以 g(x)maxg(1)1，則 a1， 所以 a 的最小值為 1。 (2)證明：當 a1 時，由(1)得 xln x1， 即 tln t1。 令exxt，則xln xln t， 2 / 4 所以exxxln x1， 即exxxln x10。 3已知函數(shù) f(x)x1aln x(a0)。 (1)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性； (2)若對于任意的 x1，x2(0,1，且 x1x2，都有|f(x1)f(x2)|0)， 因為 x0，a0， 所以 f(x)在

4、(0，)上單調(diào)遞增。 (2)不妨設(shè) 0 x11x21， 由(1)知 f(x1)f(x2)， 所以|f(x1)f(x2)|41x11x2f(x2)f(x1)f(x2)4x2。 設(shè) g(x)f(x)4x，x(0,1， 則 g(x)在(0,1上單調(diào)遞減， 所以 g(x)0 在(0,1上恒成立1ax4x2x2ax4x20 在(0,1上恒成立ax4x在(0,1上恒成立，易知 yx4x在(0,1上單調(diào)遞增，其最大值為3。因為 a0，所以3a0)， h(x)ln xx(x0)。 則 g(x)2x2e，由 g(x)0得 0 x0，得 xe，故 g(x)在(0，e)上單調(diào)遞減， 在(e，)上單調(diào)遞增，故 g(x

5、)g(e)1e。 h(x)1ln xx2，由 h(x)0得 0 xe， 由 h(x)e，故 h(x)在(0，e)上單調(diào)遞增， 在(e，)上單調(diào)遞減， 故 h(x)h(e)1e， 所以 g(x)h(x)成立，故原不等式成立。 5(2021 武昌區(qū)調(diào)研考試)已知函數(shù) f(x)exxe1(e為自然對數(shù)的底數(shù))。 3 / 4 (1)若 f(x)axe對 xr 恒成立，求實數(shù) a 的值； (2)若存在不相等的實數(shù) x1，x2，滿足 f(x1)f(x2)0，證明：x1x22。 解 (1)令 g(x)f(x)(axe)ex(1a)x1， 則 g(x)ex1a。 由題意，知 g(x)0 對 xr 恒成立， 等

6、價于 g(x)min0。 當 a1 時，g(x)0， 則 g(x)ex(1a)x1 在 r 上單調(diào)遞增， 因為 g(1)1e(1a)11時，若 x(，ln(a1)， 則 g(x)0， 所以 g(x)在(，ln(a1)上單調(diào)遞減， 在(ln(a1)，)上單調(diào)遞增， 所以 g(x)ming(ln(a1)a2(1a) ln(a1)。 記 h(a)a2(1a)ln(a1)(a1)， 則 h(a)ln(a1)。 易知 h(a)在(1,2)上單調(diào)遞增， 在(2，)上單調(diào)遞減， 所以 h(a)maxh(2)0， 即 a2(1a)ln(a1)0。 而 g(x)mina2(1a)ln(a1)0， 所以 a2(1

7、a)ln(a1)0，解得 a2。 (2)證明：證法一：因為 f(x1)f(x2)0， 所以 ex1ex2x1x22(e1)。 因為 ex1ex22e x1x22 ，x1x2， 所以 ex1ex22e x1x22 。 令 x1x2t，則 2e t2 t2e20， 所以 m(t)在 r 上單調(diào)遞增。 又 m(2)0,2e t2 t2e20， 所以 m(t)m(2)， 所以 t2，即 x1x22。 證法二：不妨設(shè) x10， 所以 f(x)為增函數(shù)。 要證 x1x22，即要證 x22x1， 即要證 f(x2)0。 記 h(x)f(x)f(2x)exe2x2e， 則 h(x)(exe)(exe)ex。

8、當 x1 時，h(x)1 時，h(x)0， 所以 h(x)在(，1)上單調(diào)遞減， 在(1，)上單調(diào)遞增， 所以 h(x)minh(1)0， 從而 h(x)f(x)f(2x)0，又 x10，即 x1x20； 當 x3，23時，f(x)0。 所以 f(x)在區(qū)間0，3，23， 上單調(diào)遞增，在區(qū)間3，23上單調(diào)遞減。 (2)證明：因為 f(0)f()0，由(1)知，f(x)在區(qū)間0，的最大值為 f33 38， 最小值為 f233 38。而 f(x)是周期為 的周期函數(shù)，故|f(x)|3 38。 (3)證明：由于(sin2xsin22xsin22nx) 32 |sin3xsin32xsin32nx| |sin x|