高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題檢測(cè)（十六）圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)

1、專(zhuān)題檢測(cè)（十六）專(zhuān)題檢測(cè)（十六） 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì) a 組“633”考點(diǎn)落實(shí)練 一、選擇題 1(2019 濟(jì)南模擬)已知雙曲線x29y2m1的一個(gè)焦點(diǎn) f的坐標(biāo)為(5，0)，則該雙曲線的漸近線方程為( ) ay43x b.y34x cy53x d.y35x 解析：選 a 易知 c5，故 m16，故雙曲線方程為x29y2161，將 1 換為 0 得x29y2160，即漸近線方程為 y43x.故選 a. 2已知拋物線 x24y 上一動(dòng)點(diǎn) p到 x 軸的距離為 d1，到直線 l：xy40的距離為d2，則 d1d2的最小值是( ) a.5 522 b.5 221 c

2、.5 222 d.5 221 解析：選 d 拋物線 x24y 的焦點(diǎn) f(0，1)，由拋物線的定義可得 d1|pf|1，則 d1d2|pf|d21，而|pf|d2的最小值等于焦點(diǎn) f到直線 l的距離，即(|pf|d2)min525 22，所以 d1d2的最小值是5 221.故選 d. 3(2019 全國(guó)卷)雙曲線 c：x24y221的右焦點(diǎn)為 f，點(diǎn) p 在 c的一條漸近線上，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|po|pf|，則pfo 的面積為( ) a.3 24 b.3 22 c.2 2 d.3 2 解析：選 a 不妨設(shè)點(diǎn) p 在第一象限，根據(jù)題意可知 c26，所以|of| 6.又 tanpofba22，所以

3、等腰三角形 pof 的高 h622232，所以 spfo12 6323 24.故選 a. 4(2019 全國(guó)卷)設(shè) f 為雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 of為直徑的圓與圓 x2y2a2交于 p，q 兩點(diǎn)若|pq|of|，則 c 的離心率為( ) a. 2 b. 3 c2 d. 5 解析：選 a 設(shè)雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點(diǎn) f 的坐標(biāo)為(c，0)由圓的對(duì)稱(chēng)性及條件|pq|of|可知，pq 是以 of為直徑的圓的直徑，且 pqof.設(shè)垂足為 m，連接 op，如圖，則|op|a，|om|mp|c2.由|om|2|mp|2|op|

4、2得c22c22a2，故ca 2，即 e 2.故選 a. 5(2019 昆明模擬)已知 f1，f2為橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點(diǎn)，b 為 c 的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，直線 bf1與 c 的另一個(gè)交點(diǎn)為 a，若baf2為等腰三角形，則|af1|af2|( ) a.13 b.12 c.23 d.3 解析：選 a 如圖，不妨設(shè)點(diǎn) b 在 y 軸的正半軸上，根據(jù)橢圓的定義，得|bf1|bf2|2a，|af1|af2|2a，由題意知|ab|af2|，所以|bf1|bf2|a，|af1|a2，|af2|3a2.所以|af1|af2|13.故選 a. 6(2019 廣州調(diào)研)已知橢圓 ：x2

5、a2y2b21(ab0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍，過(guò)右焦點(diǎn) f 且斜率為 k(k0)的直線與 相交于 a，b兩點(diǎn)若 af3 fb，則 k( ) a.1 b.2 c. 3 d. 2 解析：選 d 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，因?yàn)?af3 fb，所以 y13y2.因?yàn)闄E圓 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2 倍，所以 a2b，設(shè) bt，則 a2t，故 c 3t，所以x24t2y2t21.設(shè)直線 ab 的方程為 xsy 3t，代入上述橢圓方程，得(s24)y22 3styt20，所以 y1y22 3sts24，y1y2t2s24，即2y22 3sts24，3y22t2s24，得 s212，k 2.

6、故選 d. 二、填空題 7已知 p(1， 3)是雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)漸近線上的點(diǎn)，則雙曲線 c 的離心率是_ 解析：雙曲線 c 的一條漸近線的方程為 ybax，p(1， 3)是雙曲線 c 漸近線上的點(diǎn)，則ba 3，所以離心率 eca a2b2a2 1b2a22. 答案：2 8若 f1，f2是橢圓x29y271 的兩個(gè)焦點(diǎn)，a 為橢圓上一點(diǎn)，且af1f245 ，則af1f2的面積為_(kāi) 解析：由題意得 a3，b 7，c 2， |f1f2|2 2，|af1|af2|6. |af2|2|af1|2|f1f2|22|af1|f1f2|cos 45 |af1|284|af1|， (

7、6|af1|)2|af1|284|af1|， 解得|af1|72. af1f2的面積 s122 2722272. 答案：72 9(2019 洛陽(yáng)尖子生第二次聯(lián)考)過(guò)拋物線 c：y22px(p0)的焦點(diǎn) f 的直線與拋物線c 交于 a，b 兩點(diǎn)，且 af3 fb，拋物線 c 的準(zhǔn)線 l 與 x 軸交于點(diǎn) e，aa1l 于點(diǎn) a1，若四邊形 aa1ef 的面積為 6 3，則 p_ 解析：不妨設(shè)點(diǎn) a 在第一象限，如圖，作 bb1l 于點(diǎn) b1，設(shè)直線ab 與 l的交點(diǎn)為 d， 由拋物線的定義及性質(zhì)可知|aa1|af|，|bb1|bf|，|ef|p. 設(shè)|bd|m，|bf|n，則|bd|ad|bb1

8、|aa1|bf|af|13，即mm4n13，m2n. 又|bb1|ef|bd|df|，npmmn23，n2p3，|df|mn2p，ada130 . 又|aa1|3n2p，|ef|p，|a1d|2 3p，|ed| 3p，|a1e| 3p， 直角梯形 aa1ef的面積為12(2pp) 3p6 3，解得 p2. 答案：2 三、解答題 10(2019 天津高考)設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左焦點(diǎn)為 f，上頂點(diǎn)為 b.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為 4，離心率為55. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)點(diǎn) p 在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn) m 為直線 pb 與 x 軸的交點(diǎn)，點(diǎn) n在 y軸的負(fù)半軸上，若

9、|on|of|(o 為原點(diǎn))，且 opmn，求直線 pb 的斜率 解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為 c，依題意，2b4，ca55，又 a2b2c2，可得 a 5，b2，c1. 所以，橢圓的方程為x25y241. (2)由題意，設(shè) p(xp，yp)(xp0)，m(xm，0)設(shè)直線 pb 的斜率為 k(k0)， 又 b(0，2)，則直線 pb 的方程為 ykx2，與橢圓方程聯(lián)立ykx2，x25y241，整理得(45k2)x220kx0， 可得 xp20k45k2， 代入 ykx2得 yp810k245k2， 進(jìn)而直線 op 的斜率為ypxp45k210k. 在 ykx2 中，令 y0，得 xm2k. 由

10、題意得 n(0，1)，所以直線 mn的斜率為k2. 由 opmn，得45k210kk21， 化簡(jiǎn)得 k2245，從而 k2 305. 所以，直線 pb的斜率為2 305或2 305. 11已知拋物線 c：x22py(p0)上一點(diǎn) m(m，9)到其焦點(diǎn) f的距離為 10. (1)求拋物線 c的方程； (2)設(shè)過(guò)焦點(diǎn) f 的直線 l與拋物線 c交于 a，b兩點(diǎn)，且拋物線在 a，b 兩點(diǎn)處的切線分別交 x 軸于 p，q兩點(diǎn)，求|ap| |bq|的取值范圍 解：(1)已知 m(m，9)到焦點(diǎn) f 的距離為 10，則點(diǎn) m到拋物線準(zhǔn)線的距離為 10. 因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為 yp2，所以 9p210，

11、解得 p2，所以拋物線的方程為 x24y. (2)由已知可判定直線 l的斜率存在，設(shè)斜率為 k， 因?yàn)?f(0，1)，所以 l：ykx1. 設(shè) ax1，x214，bx2，x224， 由ykx1，x24y消去 y得，x24kx40， 則 x1x24k，x1x24. 由于拋物線 c 也是函數(shù) y14x2的圖象，且 y12x， 則 pa：yx21412x1(xx1) 令 y0，解得 x12x1，所以 p12x1，0 ， 從而|ap|14 x21（4x21）. 同理可得，|bq|14 x22（4x22）， 所以|ap| |bq|116 （x1x2）2（4x21）（4x22） 116 （x1x2）216

12、4（x21x22）（x1x2）2 2 1k2. 因?yàn)?k20，所以|ap| |bq|的取值范圍為2，) 12(2019 江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的焦點(diǎn)為 f1(1，0)，f2(1，0)過(guò) f2作 x 軸的垂線 l，在 x 軸的上方，l與圓 f2：(x1)2y24a2交于點(diǎn) a，與橢圓 c 交于點(diǎn) d.連接 af1并延長(zhǎng)交圓 f2于點(diǎn) b，連接 bf2交橢圓 c 于點(diǎn) e，連接 df1.已知 df152. (1)求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求點(diǎn) e的坐標(biāo) 解：(1)設(shè)橢圓 c 的焦距為 2c. 因?yàn)?f1(1，0)，f2(1，0)，所

13、以 f1f22，c1. 又因?yàn)?df152，af2x 軸， 所以 df2 df21f1f22 5222232. 因此 2adf1df24，從而 a2. 由 b2a2c2，得 b23. 因此橢圓 c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y231. (2)法一：由(1)知，橢圓 c：x24y231，a2. 因?yàn)?af2x軸，所以點(diǎn) a的橫坐標(biāo)為 1. 將 x1 代入圓 f2的方程(x1)2y216，解得 y 4. 因?yàn)辄c(diǎn) a 在 x 軸上方，所以 a(1，4) 又 f1(1，0)，所以直線 af1：y2x2. 由y2x2，（x1）2y216得 5x26x110， 解得 x1或 x115. 將 x115代入 y2x2，

14、解得 y125. 因此 b115，125. 又 f2(1，0)，所以直線 bf2：y34(x1) 由y34（x1），x24y231得 7x26x130， 解得 x1或 x137. 又因?yàn)?e 是線段 bf2與橢圓的交點(diǎn)，所以 x1. 將 x1代入 y34(x1)，得 y32. 因此 e1，32. 法二：由(1)知，橢圓 c：x24y231.如圖，連接 ef1. 因?yàn)?bf22a，ef1ef22a， 所以 ef1eb， 從而bf1eb. 因?yàn)?f2af2b，所以ab. 所以abf1e， 從而 ef1f2a. 因?yàn)?af2x軸，所以 ef1x軸 因?yàn)?f1(1，0)，由x1，x24y231得 y3

15、2. 又因?yàn)?e 是線段 bf2與橢圓的交點(diǎn)，所以 y32. 因此 e1，32. b 組大題專(zhuān)攻強(qiáng)化練 1已知拋物線 c：x22py(p0)，過(guò)焦點(diǎn) f 的直線交 c 于 a，b 兩點(diǎn)，d 是拋物線的準(zhǔn)線 l與 y軸的交點(diǎn) (1)若 abl，且abd的面積為 1，求拋物線的方程； (2)設(shè) m為 ab的中點(diǎn)，過(guò) m 作 l的垂線，垂足為 n. 證明：直線 an與拋物線相切 解：(1)abl，|ab|2p. 又|fd|p，sabdp21. p1，故拋物線 c的方程為 x22y. (2)證明：設(shè)直線 ab 的方程為 ykxp2， 由ykxp2，x22py消去 y得，x22kpxp20. x1x22

16、kp，x1x2p2. 其中 ax1，x212p，bx2，x222p. mkp，k2pp2，nkp，p2. kanx212pp2x1kpx212pp2x1x1x22x21p22px1x22 x21x1x22px1x22x1p. 又 x22py，即 yx22p，yxp. 拋物線 x22py 在點(diǎn) a處的切線斜率 kx1p. 直線 an與拋物線相切 2(2019 武漢市調(diào)研測(cè)試)已知橢圓 ：x2a2y2b21(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn) m(2，1)，且右焦點(diǎn)f( 3，0) (1)求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過(guò) n(1，0)且斜率存在的直線 ab 交橢圓 于 a，b 兩點(diǎn)，記 tma mb，若 t的最大值和最小

17、值分別為 t1，t2，求 t1t2的值 解：(1)由橢圓x2a2y2b21的右焦點(diǎn)為( 3，0)，知 a2b23，即 b2a23， 則x2a2y2a231，a23. 又橢圓過(guò)點(diǎn) m(2，1)，4a21a231，又 a23， a26. 橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26y231. (2)設(shè)直線 ab的方程為 yk(x1)，a(x1，y1)，b(x2，y2)， 由x26y231，yk（x1）得 x22k2(x1)26，即(12k2)x24k2x2k260， 點(diǎn) n(1，0)在橢圓內(nèi)部，0， x1x24k212k2， x1x22k262k21， 則 tma mb(x12)(x22)(y11) (y21) x1

18、x22(x1x2)4(kx1k1) (kx2k1) (1k2)x1x2(2k2k)(x1x2)k22k5, 將代入得， t(1k2)2k262k21(2k2k)4k22k21k22k5， t15k22k12k21， (152t)k22k1t0，kr r， 則 1224(152t)(1t)0， (2t15)(t1)10，即 2t213t160， 由題意知 t1，t2是 2t213t160的兩根， t1t2132. 3.如圖，橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為 f，右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)分別為點(diǎn) a，b，且|ab|52|bf|. (1)求橢圓 c 的離心率； (2)若點(diǎn) m1617，217在

19、橢圓 c 的內(nèi)部，過(guò)點(diǎn) m 的直線 l交橢圓 c 于 p，q兩點(diǎn)，m 為線段 pq 的中點(diǎn)，且 opoq，求直線 l的方程及橢圓 c 的方程 解：(1)由已知|ab|52|bf|， 得 a2b252a， 即 4a24b25a2，4a24(a2c2)5a2， 所以 eca32. (2)由(1)知 a24b2， 所以橢圓 c的方程可化為x24b2y2b21. 設(shè) p(x1，y1)，q(x2，y2)， 由x214b2y21b21，x224b2y22b21， 可得x21x224b2y21y22b20， 即（x1x2）（x1x2）4b2（y1y2）（y1y2）b20， 即3217（x1x2）4417(y

20、1y2)0，從而 kpqy1y2x1x22，所以直線 l 的方程為 y2172x1617， 即 2xy20. 聯(lián)立2xy20，x24b2y2b21消去 y，得 17x232x164b20. 則 3221617(b24)0b2 1717， x1x23217，x1x2164b217. 因?yàn)?opoq， op oq0，即 x1x2y1y20， x1x2(2x12)(2x22)0， 5x1x24(x1x2)40， 從而5（164b2）171281740，解得 b1， 所以橢圓 c的方程為x24y21. 綜上，直線 l的方程為 2xy20， 橢圓 c的方程為x24y21. 4(2019 福建省質(zhì)量檢查)

21、在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，圓 f：(x1)2y21 外的點(diǎn) p在 y軸的右側(cè)運(yùn)動(dòng)，且 p到圓 f上的點(diǎn)的最小距離等于它到 y 軸的距離記 p 的軌跡為 e. (1)求 e 的方程； (2)過(guò)點(diǎn) f 的直線交 e 于 a，b 兩點(diǎn)，以 ab 為直徑的圓 d 與平行于 y 軸的直線相切于點(diǎn) m，線段 dm 交 e于點(diǎn) n，證明：amb 的面積是amn 的面積的四倍 解：法一：(1)設(shè) p(x，y)，依題意 x0，f(1，0) 因?yàn)?p在圓 f外，所以 p到圓 f上的點(diǎn)的最小距離為|pf|1. 依題意得|pf|1x， 即 （x1）2y21x， 化簡(jiǎn)得 e 的方程為 y24x(x0) (2)證明：當(dāng)直線 ab 的斜率不存在時(shí)，不符合題意，舍去 當(dāng)直線 ab的斜率存在時(shí)，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， 設(shè) n(x0，y0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 dx1x22，y1y22. 設(shè)直線 ab的方程為 yk(x1)(k0)， 由yk（x1），y24x得 k2x2(2k24)xk20. 因?yàn)?(2k24)24k416k2160，所以 x1x22k24k2， 所以 y1y2k(x11)k(x21)4k，故 dk22k2，2k. 由拋物線的定義知|ab|x1x224k24k2. 設(shè) m(xm，ym)，依題意得 y