2014屆高考數(shù)學(xué)（理科）專題教學(xué)案：等差數(shù)列、等比數(shù)列（含答案）

1、?？紗栴}9等差數(shù)列、等比數(shù)列真題感悟1(2012·蘇州期中)在等差數(shù)列an中，a53，a62，則a3a4a8_.解析根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)計算因為an是等差數(shù)列，所以a3a4a83(a5a6)3.答案32(2013·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)在等差數(shù)列an中，已知a815，a913，則a12的取值范圍是_解析因為a8a17d15，a9a18d13，所以a12a111d3(a17d)4(a18d)7.答案(，73(2013·新課標(biāo)全國卷)若數(shù)列an的前n項和為Snan，則數(shù)列an的通項公式是an_.解析當(dāng)n1時，a11；當(dāng)n2時，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.答案

2、(2)n14(2011·江蘇卷)設(shè)1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_解析由題意知a3q，a5q2，a7q3且q1，a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值為.答案考題分析高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)數(shù)列的概念是A級要求，了解數(shù)列、數(shù)列的項、通項公式、前n項和等概念，一般不會單獨考查；(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列是兩種重要且特殊的數(shù)列，要求都是C級，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項求和公式、性質(zhì)等知識，理解其推導(dǎo)過程，并且能夠靈活應(yīng)用試題類型可能是填空題

3、，以考查單一性知識為主，同時在解答題中經(jīng)常與不等式綜合考查，構(gòu)成壓軸題1 / 91等差、等比數(shù)列的通項公式等差數(shù)列an的通項公式為ana1(n1)dam(nm)d；等比數(shù)列an的通項公式為ana1qn1amqnm.2等差、等比數(shù)列的前n項和(1)等差數(shù)列的前n項和為Snna1d.特別地，當(dāng)d0時，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0，即可設(shè)Snan2bn(a，b為常數(shù))(2)等比數(shù)列的前n項和Sn特別地，若q1，設(shè)a，則Snaaqn.3等差數(shù)列、等比數(shù)列常用性質(zhì)(1)若序號mnpq，在等差數(shù)列中，則有amanapaq；特別的，若序號mn2p，則aman2ap；在等比數(shù)列中，則有am·

4、anap·aq；特別的，若序號mn2p，則am·ana；(2)在等差數(shù)列an中，Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差數(shù)列，其公差為kd；其中Sn為前n項的和，且Sn0(nN*)；在等比數(shù)列an中，當(dāng)q1或k不為偶數(shù)時Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，其中Sn為前n項的和(nN*).熱點一等差、等比數(shù)列中基本量的計算【例1】 (2013·鹽城模擬)設(shè)數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項的和，滿足：aaaa，S77.(1)求數(shù)列an的通項公式及前n項的和Sn；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bn2an，其前n項的和為Tn，當(dāng)n為何值時，有Tn512.解(1)

5、由an是公差不為0的等差數(shù)列，可設(shè)ana1(n1)d，則由得整理，得由d0解得，所以ana1(n1)d2n7，Snna1dn26n.(2)由(1)得an2n7，所以bn2an22n7，又4(n2)，b12a1，所以bn是首項為，公比為4的等比數(shù)列，所以它的前n項和Tn(4n1)，于是由Tn512，得4n3×471，所以n8時，有Tn512.規(guī)律方法 求等差、等比數(shù)列通項與前n項和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意對通項公式與前n項和公式的選擇【訓(xùn)練1】 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a13，是公比為2的等比數(shù)列(1)證明：an是等比數(shù)列，并求其通項；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bnl

6、og3an，其前n項和為Tn，當(dāng)n為何值時，有Tn2 012?(1)證明由題意，得2(n2)，即1Sn4(1Sn1)，同理，得1Sn14(1Sn)兩式相減，得Sn1Sn4(SnSn1)，即an14an，4(n2)又a13，所以an是首項為3，公比為4的等比數(shù)列，所以an3·4n13·22n2.(2)解由(1)得an3·22n2，所以bnlog2(3·22n2)log232(n1)，所以bn是首項為log23，公差為2的等差數(shù)列，前n項和為Tnnlog23n(n1)，于是由n2nlog23n(n1)2 012，得n，又nN*，所以1n44，即n1,2,3，

7、44時，Tn2 012.熱點二與等差、等比數(shù)列有關(guān)的最值問題【例2】 等差數(shù)列an的首項是2，前10項之和是15，記Ana2a4a8a16a2n，求An及An的最大值解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知：解得a12，d，Ana2a4a8a2nna1d137(2n1)na1d(222232nn)2n(19n22n1)，求An的最大值有以下兩種解法法一數(shù)列a2n的通項a2na1(2n1)d(192n)令a2n(192n)0，得2n19(nN*)，由此可得a21a22a23a240a25，故使a2n0，n的最大值為4，所以(An)max(19×42241).法二由An(19n22n1)，若存

8、在n(nN*)，使得AnAn1，且AnAn1，則An的值最大解得9.52n19(nN*)，取n4時，An有最大值(An)max(19×42241).規(guī)律方法 上述兩種求An最值的方法都是運用函數(shù)思想法一是直接研究子數(shù)列a2n法二是研究An(19n22n1)的單調(diào)性求其最值【訓(xùn)練2】 (2013·蘇州期中)已知等差數(shù)列an的首項a10，公差d0，由an的部分項組成的數(shù)列ab1，ab2，abn，為等比數(shù)列，其中b11，b22，b36.(1)求數(shù)列bn的通項公式bn；(2)若數(shù)列bn的前n項和為Sn，求Sn的值；(3)求AnSn的最小值解(1)由aa1a6，得(a1d)2a1(a

9、15d)，d23a1d0.又d0，所以d3a1，所以q4，所以abna1·4n1.又abna1(bn1)da1(bn1)3a1，所以a1·4n1a1(bn1)3a1.因為a10，所以3(bn1)14n1，故bn.(2)Snb1b2b3bn(144n1)·.(3)由Sn，得AnSn(4n2 006n1)，若存在nN*，使得AnAn1，且AnAn1，則An的值最小于是由解得4n(nN*)，取n5，(An)min.熱點三等差、等比數(shù)列的探求問題【例3】 已知數(shù)列an是各項均不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且滿足aS2n1，令bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn.(1)求數(shù)

10、列an的通項公式及數(shù)列bn的前n項和Tn；(2)是否存在正整數(shù)m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由解(1)n1時，由aS1a1，且a10，得a11.因為an是等差數(shù)列，所以ana1(n1)d1(n1)d，Snna1dnd.于是由aS2n1，得1(n1)d22n1(2n1)·(n1)d，即d2n2(2d2d2)nd22d12dn2(23d)nd1，所以解得d2.所以an2n1，從而bn所以Tnb1b2bn.(2)法一T1，Tm，Tn，若T1，Tm，Tn成等比數(shù)列，則2，即.由，可得0，即2m24m10，1m1.又mN*，且

11、m1，所以m2，此時n12.因此，當(dāng)且僅當(dāng)m2，n12時，數(shù)列Tn中的T1，Tm，Tn成等比數(shù)列法二因為，故，即2m24m10，1m1，(以下同上)規(guī)律方法 在一定條件下，判斷某種數(shù)學(xué)對象是否存在，解答此類問題一般先假設(shè)要求(或證)的結(jié)論是存在的，然后利用有關(guān)概念、公理、定理、法則推理下去，如果暢通無限，則存在；如果推理過程中，有限或發(fā)生矛盾，則說明不存在【訓(xùn)練3】 設(shè)an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且滿足4S3S6，a22是a1，a13的等比中項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)是否存在m，kN*，使amam4ak2？說明理由；(3)若數(shù)列bn滿足b11，bn1bnan，求數(shù)列bn的通項公式解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d>0)，依題意得解得或d0，ana1(n1)d12(n1)2n1，即an