異面直線所成的角的求法

1、異面直線所成的角的求法法一：平移法例 1 在正方體 ABCD A 1B1C1D1 中，求下列各對(duì)異面直線所成的角。（1 ） AA1 與 BC；（2） DD1 與 A,B ；（3） A1B 與 AC 。法二：中位線例 2:在空間四邊形ABCD 中， AB = CD ，且 AB CD ，點(diǎn) M、 N 分別為 BC、 AD 的中點(diǎn) , 求直線 AB 與MN 所成的角。變式：在空間四邊形ABCD 中，點(diǎn) M、 N 分別為 BC、 AD 的中點(diǎn)， AB = CD = 2, 且 MN =2 ，求直線 AB 與 CD 所成的角。1?在空間四邊形ABCD 中， AD = BC = 2, E, F 分別為 AB

2、 、 CD 的中點(diǎn)， EF= . 3 ,求 AD 、 BC 所成角的大小 .2?正 ABC的邊長(zhǎng)為a, S為ABC所在平面外的一點(diǎn)， SA = SB= SC= a, E, F分別是SC和AB的中點(diǎn)？求異面直線 SA和EF所成角.3 . S是正三角形 ABC所在平面外的一點(diǎn)，如圖 SA= SB = SC,且ASB = BSC =CSA = 2, M、N分別是AB和SC的中點(diǎn)？求異面直線 SM與BN所成的角的 余弦值.C4 .如圖，在直三棱柱 ABC AiBCi中，/ BCA = 90 M、N分別是 AiBi和ACi的中 點(diǎn)，若 BC = CA = CCi,求BM與AN所成的角.5 .如圖i 28

3、的正方體中，E是A D勺中點(diǎn)(1) 圖中哪些棱所在的直線與直線BA成異面直線？(2)求直線BA'和CC所成的角的大小；(3)求直線AE和CC所成的角的正切值；(4)求直線AE和BA'所成的角的余弦值A(chǔ)（圖 i- 28）法三：補(bǔ)形法例3:如圖，PA，平面 ABC, / ACB=90。且PA=AC=BC ,求下列各 對(duì)異面直線所成的角的正切值 ?1)PB 與 AC ; (2)AB 與 PC。法四：空間向量法例4：在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E、F分別是BB,CD的中點(diǎn)，求證： AE D ,F變式1.如圖，在正方體 ABCD-A 1B1C1D1中，E、F分別是相鄰兩側(cè)面

4、BCCiBi及CDDiCi的中心。求 AiE和BiF所成的角的余弦值。M、N分別為BC和AD的中點(diǎn)，設(shè)AM和2?已知空間四邊形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a cn所成的角為a,求cos a的值。3.已知空間四邊形 ABCD中，AB=CD=3 , E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，且 BE: EC=AF : FD=1 : 2,EF= . 7 ,求AB和CD所成的角的大小。證明垂直法在正方體ABCD AiBiCiDi中，E、F分別是BBi,CD的中點(diǎn)，求AE與DiF所成的變式：在長(zhǎng)方體 ABCD ABGD i中，E是BBi的中點(diǎn)，AA 2,AB BC 42,求AE與DiC所成的

5、角利用模型求異面直線所模型：弓I理：已知平面a的一條斜線a與平面a所成的角為 也，平面 成的角a所成的角為0,與它的射影a'所成的角為a內(nèi)的一條直線b與斜線02。求證：COS 0 = COS - 0COS2o01.如圖，MA，平面 ABCD,四邊形 ABCD是正方形,MA=AB=a ,試求異面直線 MB與AC所成的角。Ai在底面ABC上的射影為BC的中(A)4(C) 2V(B)_!4(D) 34Ai2已知三棱柱 ABC A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等 點(diǎn)，則異面直線 AB與CCi所成的角的余弦值為（）3.如圖，在立體圖形 P-ABCD中，底面 ABCD是一個(gè)直角梯形，/ BAD=9

6、0 ,AD/BC ,AB=BC=a , AD=2a,且PA，底面ABCD, PD與底面成30。角，AE ± PD T Do求異面直線 AE與CD所成 的角的 余弦值。練習(xí)題：1在正四面體 ABCD中，點(diǎn)M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)，則直線 AB與MN所成的角 為2 .長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi 中，AAi=AB=2 , AD=1，點(diǎn) E、F、G 分別是 DDi、AB、CCi的中點(diǎn)，則異面直線 AiE與GF所成的角為3 .直三棱柱ABC AiBiCi中，若BAC 90 , AB AC AA ,則異面直線BAi與ACi所成的角等于.4 .已知正四棱柱 ABCD AiBCiDi中，

7、AA 2AB, E為AAi中點(diǎn)，則異面直線BE與CDi所成的角的余弦值為 .5 .已知正四棱錐S ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等,成的角的余弦值為 .6 .與BD所成的角的度數(shù)為.E是SB的中點(diǎn)，則AE, SD所如圖i, P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PD 平面 ABCD , PD AD ,則 PADI% gI,*-7。設(shè)空間四邊形 ABCD E、F、G H分別是AC BC DB DA 的中點(diǎn)，若AB= i2 . 2 ,CD= 4 -2,且四邊形EFGH的面積為i23 ,則AB和CD所成的角酉8及口圖PA平面ABCD,ABCD為正方形，且 PA=AB,M、N分別、為PB、CD的中點(diǎn)，求(i) P