(word完整版)正余弦定理知識點及題型歸納,推薦文檔

1、解三角形 .正弦定理: a b c sin A = sin B = sin C =2R 其中 R 是三角形外接圓半徑 正弦定理的如下變形常在解題中用到 1. (1) a=2Rs inA (2) b=2Rs inB (3) c=2Rs inC 2. (1) si nA二a/2R (2) si nB二b/2R (3) si nC二c/2R 3. a : b： c=sinA : sinB:sinC 二.余弦定理： 1. aA2 =bA2 + cA2 -2 b c cosA 2. bA2 = =aA2 + cA2 - -2 a c cosB 3. cA2 =aA2 + bA2 -2 a b cosC

2、余弦定理的如下變形常在解題中用到 1. cosC =(aA2 + bA2 - cA2) / (2 a b) 2. cosB = (aA2 + c2-匕八2) / (2 a c) 3. cosA = (cA2 + bA2- aA2) / (2 b c) 三. 余弦定理和正弦定理的面積公式 1 丄 丄 SAABC= 2 absinC二 2 bcsinA二 2 acsinB (常用類型：已知三角形兩邊及其夾角) 判斷三角形的形狀 有兩種途徑： (1) 將已知的條件統(tǒng)一化成邊的關系，用代數(shù)求和法求解 (2) 將已知的條件統(tǒng)一化成角的關系，用三角函數(shù)法求解 三解三角形的實際應用 測量中相關的名稱術語 仰

3、角：視線在水平線以上時，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視線與水平線所 成的角叫做仰角。 俯角： 視線在水平線以下時，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視線與水平線所成的角叫 俯角 方向角：從指定方向線到目標方向的水平角 (一) 已知兩角及一邊解三角形 例 1 已知在 ABC 中，c= 10，A = 45 C = 30 求 a、b 和 B. (二) 已知兩邊和其中一邊對角解三角形 例 2 在厶 ABC 中，已知角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，C，若 a=2 V3，b= V 6，A=45。，求邊長 C (三) 已知兩邊及夾角，解三角形 例 3 ABC 中，已知 b= 3， c= 3 寸 3，B = 30求

4、角 A，角 C 和邊 a. 例四：在厶 ABC 中，若/ B=30 , AB=2, AC=2，則 ABC 的面積 是 _ 例五判斷三角形的形狀 (1) 正弦定理判斷 在厶ABC中，若 a2tan B= b2tanA,試判斷 ABC勺形狀. (2) 余弦定理判斷 在厶 ABC 中，若 b2sin2C+ c2sin2B= 2bccosBcosC，試判斷三角形的形狀. 例六判斷解得個數(shù)不解三角形，判斷下列三角形的解的個數(shù): (1) a=5,b=4,A=120 度 (2) a=7,b=14,A=150 度 (3) a=9,b=10,A=60 度 (4) c=50,b=72,C=135 度 考試類型 一

5、、求解斜三角形中的基本元素 指已知兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個元素問題，進 而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長等基本問題. 1、 ABC中，A -, BO 3,貝卩ABC的周長為() 3 A . 4 3sin B 3 B . 4.3sin B 3 C . 6sin B 3 3 6 3 D. 6sin B 3 6 2、 在厶ABC中，已知AB 心，cosB , AC邊上的中線BA.5，求 si nA 3 6 的值. 3、 在厶 ABC 中,角 A, B, C 所對的邊長分別為 a, b, c,若/ C=120 , c= 2 a，則 系不能確定 在銳角ABC中，BC 1,

6、B 2代則的值等于 cos A 圍為 ABC中，代B, C所對的邊分別為a,b,c , tan C sin A sin B , sin( B A) cosC . cos A cos B (1)求代C; (2)若 SABC 3 3,求 a,c. 二、判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關系式，判斷此三角形的形 狀. 1、在 ABC 中，已知 2sin AcosB sinC，那么 ABC一定是（） A.直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角 2、18.若厶ABC的三個內(nèi)角滿足sin A:si nB:si nC 5:11:13，貝卩厶ABCA.a b B.a v b C.

7、a= b D.a 與 b 的大小關 4、在厶 ABC 中，內(nèi)角 A,B,C 的對邊分別是 a,b,c ，若 a2 b2 . 3bc , sin C 2、3sin B , 則 A= (A) 300 (B) 600 (C) 1200 (D) 1500 5、在ABC中, a=15,b=10,A=60。，貝卩 cosB 6、 在厶 ABC 中, 若 b = 1 , c =3 , 7、 在 ABC 中，已知 B=45 AD=10,AC=14,DC=6 求 AB 的長. D -1 3 C ，貝U a = 3 ,D 是 BC 邊上的 ，AC的取值范 9、 O (A) 定是銳角三角形 (B) 定是直角三角形

8、(C) 一定是鈍角三角形. (D) 可能是銳角三角形，也可能是鈍 角三角形 三、 解決與面積有關問題：主要是利用正、余弦定理，并結合三角形的 面積公式來解題. 1、在 ABC 中，若 A 120o, AB 5 , BC 7 則 ABC 的面積 S= _ 四、 求值問題 1、 在ABC中，A、 B、 C所對的邊長分別為a、b、c, 設a、b、c滿足條件b2 c2 bc a2和-1 .3，求A和tanB的值. b 2 2、 在銳角三角形 ABC A B、C 的對邊分別為a、b、c, - - 6cosc，則 a b 啞 tanC= _ 。 tan A tan B 3、 在 ABC 中，a, b, c

9、 分別為內(nèi)角 A, B, C 的對邊，且 2asin A (2a c)sinB (2c b)sin C. (I)求 A 的大??； (H) 求 sin B sinC 的最大值. 五、正余弦定理解三角形的實際應用 利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、 航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識，例析如下： (一.)測量問題 1、如圖 1 所示，為了測河的寬度，在一岸邊選 圖 1 定 A、B 兩點，望對岸標記物 C,測得/ CAB=30 , / CBA=75 , AB=120crp 求河的寬度。(A) 定是銳角三角形 (B) 定是直角三角形 （二 ）遇險問題 2、某艦艇測得燈塔在它的東 15北的方向， 此艦艇以 30 海里/小時的速度向正東前進，30 分 鐘后又測得燈塔在它的東 30北。若此燈塔周圍 10 海里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行