第二專題整數(shù)的速算與巧算

1、【第二專題】整數(shù)的速算與巧算 前面專題初步講解一些四則混合運(yùn)算的性質(zhì)和簡(jiǎn)單的運(yùn)算技巧，但這僅僅是運(yùn)算的基礎(chǔ)，本專題將更深入地介紹一些特定的速算、巧算的方法，以提高計(jì)算的效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，鍛煉記憶力，提高綜合分析、判斷能力，提高解決復(fù)雜問題的能力?！颈貢?huì)知識(shí)點(diǎn)】1、 基本運(yùn)算定律加法交換律：加法結(jié)合律：乘法交換律：乘法結(jié)合律： 乘法分配律：（反過來就是提取公因數(shù)）減法的性質(zhì)：除法的性質(zhì)： （8）其他性質(zhì)： a-(b-c)=a-b+c=a+c-b a-(b+c)=a-b-c a÷(b÷c)=a÷b×c=a×c÷b積不變性質(zhì)：同時(shí)乘以（或

2、除以）同一個(gè)非零數(shù)，積不變，即： a×b=(a×n)×(b÷n)=(a÷n)×(b×n)(n0)商不變性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)除以（或乘以）同一個(gè)非0的數(shù)，商不變，即：a÷b=(a×n)÷(b×n)=(a÷n)÷(b÷n)(n0)在連除時(shí)，可以交換除數(shù)位置，商不變，如a÷b÷c=a÷c÷b在乘除混合運(yùn)算中，被乘數(shù)、乘數(shù)（或除數(shù)）必須連同運(yùn)算符號(hào)一起交換位置（即帶符號(hào)搬家），如： a×b÷c=a÷

3、;c×b=b÷c×a上面的這些運(yùn)算律，既可以從左到右順著用，【尤其是】可以從右到左逆著用2、 在乘除運(yùn)算中，去掉和添加括號(hào)的規(guī)則 【去括號(hào)原則：】 1、括號(hào)前是“×”，去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的乘除符號(hào)不變，即：a×（b×c）=a×b×c， a×（b÷c）=a×b÷c 2、括號(hào)前是“÷”，去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的“×”變?yōu)椤?#247;”，“÷”變?yōu)椤?#215;”，即：a÷（b×c）=a÷b÷c， a÷（b&

4、#247;c）=a÷b×c；【添括號(hào)原則：】1、 加括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是“×”，原符號(hào)不變；但此時(shí)括號(hào)內(nèi)不能有加減運(yùn)算，只能有乘除運(yùn)算； 即：a×b×c=a×（b×c），a×b÷c=a×（b÷c） ；2、 括號(hào)前是“÷”，其中“×”號(hào)變成“÷”號(hào)，“÷”變?yōu)椤?#215;”， 但此時(shí)括號(hào)內(nèi)不能有加減運(yùn)算，只能有乘除運(yùn)算 即，a÷b÷c=a÷（b×c）， a÷b×c=a÷（b

5、7;c）。（13）兩個(gè)數(shù)之積除以兩個(gè)數(shù)之積等于分別相除后在相乘，即，（a×b）÷（c×d）=（a÷c）×（b÷d）=（a÷d）×（b÷c）【多背勤背，靈活運(yùn)用，尤其逆運(yùn)算】【概念】1 什么是補(bǔ)數(shù)？ 兩個(gè)數(shù)相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬，就把其中的一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的“補(bǔ)數(shù)”。如：1+9=10，3+7=10， 2+8=10，4+6=10， 5+5=10。又如：11+89=100，3367=100，22+78=100，44+56=100， 55+45=100，這些都互為補(bǔ)數(shù)。對(duì)于一個(gè)較大的數(shù)，如何能

6、很快地算出它的“補(bǔ)數(shù)”來呢？一般來說，可以這樣“湊”數(shù)：從最高位湊起，使各位數(shù)字相加得9，到最后個(gè)位數(shù)字相加得10。 如： 8765512345， 4680253198， 8736212638 【要求】 補(bǔ)數(shù)要達(dá)到看見一個(gè)數(shù)馬上想到他的補(bǔ)數(shù)的程度【 必背的固定算式】A、 式中含有25、125、（或4、8）的情況的4×25=1×4×25=100，8×25=2×4×25=200,12×25=3×4×25=300 16×25=4×4×25=40020×25=5×

7、4×25=50024×25=6×4×25=60028×25=7×4×25=70032×25=8×4×25=80036×25=9×4×25=900 8×125=1×8×125=1000，16×125=2×8×125=2000,24×125=3×8×125=3000 32×125=4×8×125=400040×125=5×8

8、5;125=500048×125=6×8×125=600056×125=7×8×125=700064×125=8×8×125=800072×125=9×8×125=9000625×16=10000              （注意） 24×5=120 與25×4=100 別混了B、計(jì)算結(jié)果為“11”

9、的1×9+2=11 11×11=12112×9+3=111 111×111=12321123×9+4=1111 1111×1111=12343211234×9+5=11111 11111×11111=12345432112345×9+6=111111 111111×111111=12345654321123456×9+7=1111111 1111111×1111111=12345676543211234567×9+8=11111111 11111111×1

10、1111111=12345678765432112345678×9+9=111111111(等于12345679×9=11111111）計(jì)算結(jié)果為“88”的9×97=88 98×96=888 987×95=8888 9876×94=88888 98765×93=888888 987654×92=8888888 9876543×91=88888888計(jì)算結(jié)果為“10”的199×9=100 11898×9=1000 1117987×9=10000 111169876×9

11、=100000 11111598765×9=1000000 1111114987654×9=10000000 111111139876543×9=100000000 11111111298765432×9=1000000000 1111111111987654321×9=10000000000數(shù)字142857循環(huán)的142857×2=285714 142857×3=428571 142857×4=571428 142857×5=714285 142857×6=857142 142857×

12、7=999999 其他的可以化為（n-2,3,4,5,6的形式），轉(zhuǎn)化為加法算式如142857×11=142857×（6+5） =142857×6+142857×5=857142+714285=1571427C、幾個(gè)質(zhì)數(shù)連乘積的，（啥叫質(zhì)數(shù)？需要學(xué)會(huì)） 質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）：一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。 （如：5和6，8和9等） 7×11×13=1001 13×31=403，13×37=481,    

13、60; 37×3=111         D、常見數(shù)的平方、立方1²=1 2²=4 3²=9 4²=16 5²=25 6²=36 7²=49 8²=64 9²=81 10²=100 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16²=256 17²=289 18²=324

14、19²=361 20²=400 25²=625 302=90  402=1600       502=2500     602=3600       702=4900   802=6400    352=1225    452=2025&#

15、160;    552=3025 652=4225    752=5625     852 =72251³=1 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 8³=512 9³=729 10³=1000E、分?jǐn)?shù)、小數(shù)與百分?jǐn)?shù)的關(guān)系1/2=0.5=50% 1/4=0.25=25% 2/4=0.5=50% 3/4=0.75=75%1

16、/5=0.2=20% 2/5=0.40=40% 3/5=0.6=60% 4/5=0.8=80%1/8=0.125=12.5% 2/8=0.25=25% 3/8=0.375=37.5% 4/8=0.500=50% 5/8=0.625=62.5% 6/8=0.7=70% 7/8=0.875=87.5% 1/10=0.1=10% 3/10=0.3=30% 1/20=0.05=5% 3/20=0.15=15% 1/25=0.04=4% 2/25=0.08=8% 1/50=0.02=2% 3/50=0.06=6% 1/100=0.01=1% 1/125=0.008=0.8% 2/125=0.016=1.

17、6% 1/30.333=33.3% 2/30.667=66.7% 1/60.167=16.7% 5/60.833=83.3% F、關(guān)于的數(shù)（結(jié)果保留2位小數(shù)即可）13.14 26.28 39.42 412.56 515.7 618.84 721.98 825.12 928.26 1031.4 1134.54 1237.68 1340.82 1443.96 1547.1 1650.24 2062.8 2475.36 2578.5 36113.04 48=150.72          49=153

18、.86    64=200.96        72=226.08          75 =235.5G、100以內(nèi)質(zhì)數(shù) 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 H、關(guān)于時(shí)間的 1世紀(jì)=100年 一年的天數(shù)，平年365日、閏年366日 ； 1日=24小時(shí) 1小時(shí)=60分=3

19、600秒， 1分=60秒 ； 1年有4個(gè)季度；每個(gè)季度有3個(gè)月；1年有12個(gè)月 ； 1、3、5、7、8、10、12月是大月，每月有31天； 4、6、9、11月是小月，每月有30天。 平年的2月是28天，閏年的2月是29天。關(guān)于閏年（年份是100的倍數(shù)，如果能被400整除的，那一年是閏年；年份數(shù)不是100的倍數(shù)，如果能被4整除的，那一年是閏年）I、100以內(nèi)合數(shù)的分解4=2×2； 6=2×3； 8=2×2×2； 9=3×3；10=2×5； 12=2×2×3； 14=2×7； 15=3×5；16=2

20、×2×2×2； 18=2×3×3； 20=2×2×5； 21=3×7；22=2×11； 24=2×2×2×3； 25=5×5； 26=2×13；27=3×3×3； 28=2×2×7； 30=2×3×5； 32=2×2×2×2×2；33=3×11； 34=2×17； 35=5×7； 36=2×2×3×

21、3；38=2×19； 39=3×13； 40=2×2×2×5； 42=2×3×7；44=2×2×11； 45=3×3×5； 46=2×23； 48=2×2×2×2×3；49=7×7； 50=2×5×5； 51=3×17； 52=2×2×13；54=2×3×3×3； 55=5×11； 56=2×2×2×7； 5

22、7=3×19；58=2×29； 60=2×2×3×5； 62=2×31； 63=3×3×7；64=2×2×2×2×2×2； 65=5×13； 66=2×3×11； 68=2×2×17；69=3×23； 70=2×5×7； 72=2×2×2×3×3； 74=2×37；75=3×5×5； 76=2×2×

23、19； 77=7×11； 78=2×3×13；80=2×2×2×2×5； 81=3×3×3×3； 82=2×41； 84=2×2×3×7；85=5×17； 86=2×43； 87=3×29； 88=2×2×2×11；90=2×3×3×5； 91=7×13； 92=2×2×23； 93=3×31；94=2×47； 95=

24、5×19； 96=2×2×2×2×2×3； 98=2×7×7；99=3×3×11； 100=2×2×5×5；J、關(guān)于兩個(gè)數(shù)相乘，確定個(gè)位數(shù)的1） 末位數(shù)為6的，需要乘數(shù)末位是6和6，或者4和9,或者2和3，或者1和6，或者2和8，或者4和4，或者7和8；2） 末位數(shù)為4的，需要乘數(shù)末位是2和7，或者3和8,或者2和2，或者1和4，或者4和6，或者6和9,或者8和8；K、其他兩位數(shù)乘法規(guī)則1) 兩位數(shù)×101 公式： 兩位數(shù)重復(fù)兩次 例：45×10

25、1=4545 2) 三位數(shù)×1001 公式： 三位數(shù)重復(fù)兩次 例：234×1001=234234 3) 四位數(shù)×10001 公式： 四位數(shù)重復(fù)兩次 例：1234×10001=12341234 （以上經(jīng)常反算）4) 兩位數(shù)×99 公式：丟1湊百 例：23×99=2277 23-1=22放前面 100-23=77放后面 特殊：99×99=9801 99-1=98放前面 100-99=01放后面 5) 三位數(shù)×999 公式：丟1湊千 例：123×999=122877 123-1=122放前面 1000-123=

26、877放后面6) 四位數(shù)×9999 公式：丟1湊萬 例：1234×9999=12338766 7) 兩位數(shù)×11 公式：頭作頭，尾作尾，兩數(shù)相加放中間 例： 52×11=572 5放前 2放后 5+2=7放中間 特殊：89×11=979 8放前 9放后 8+9=17放中間 17的1要進(jìn)位，所以8+1=9 8）個(gè)位為5的兩位數(shù)的自乘：十位數(shù)字×（十位數(shù)字加1）×100+25如15×15=1×（1+1）×100+25=22525×25=2×（2+1）×100+25=62

27、535×35=3×（3+1）×100+25=122545×45=4×（4+1）×100+25=202555×55=5×（5+1）×100+25=302565×656×（6+1）×100+25=422575×75=7×（7+1）×100+25562585×85=8×（8+1）×100+25=722595×959×（9+1）×100259025【 常用的計(jì)算方法】 在熟練掌握前面公式、定律及

28、固定結(jié)果的基礎(chǔ)上，還需要掌握一些解題技巧，即根據(jù)算式中數(shù)的不同特點(diǎn)，巧妙利用以上結(jié)論進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而快速得出結(jié)果。1、 分組法：根據(jù)運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)以及和差積商的變化規(guī)律，對(duì)算式中的運(yùn)算進(jìn)行重新組合?！纠}1】 6324-（789-676） =6324-789+676 （去括號(hào)原則） =（6324+676）-789（結(jié)合律） =7000-789=6211【例題2】 5×25×2×4 =（5×2）×（25×4）（交換律） =10×100=1000【例題3】 2/5+0.23+0.77+3/5 =(2/5+3/5)+(0.23+

29、0.77) =1+1=2【鞏固】 計(jì)算 175×34175×66（分配律） 67×12+67×3567×52+67 5499×99452、 補(bǔ)數(shù)湊整法：對(duì)于算式中接近整十、整百的數(shù)，有時(shí)補(bǔ)上一個(gè)數(shù)，使其變成整十、整百的數(shù)，可簡(jiǎn)化計(jì)算?！纠}1】536-198 =536-（200-2） =536-200+2=338【例題2】 44×99 =44×（100-1） =44×100-44=4356【鞏固】 （1）24+44+56（2）53+36+47 （3）123×101 （4）123×993

30、、 基準(zhǔn)數(shù)法： 若干個(gè)都接近某數(shù)的數(shù)相加，可以把某數(shù)作為基準(zhǔn)數(shù)，然后把基準(zhǔn)數(shù)與相加數(shù)的個(gè)數(shù)相乘，再加上各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差，即可得到計(jì)算結(jié)果，好處是化為個(gè)位數(shù)相加?！纠}1】 31+35+32+28+29 =30×5+（1+5+2-2-1） =150+5=155【鞏固】（1）計(jì)算：23+20+19+22+18+21 （2）計(jì)算：102+100+99+101+98 （3）計(jì)算 78+768382+77807985 （4）計(jì)算 389387383385384386388 （5）計(jì)算（494249434938493949414943）÷64、 分解法： 在某些除法或乘法算式中，可以把

31、一些數(shù)先分解開來進(jìn)行恒等變換，使計(jì)算簡(jiǎn)便?！纠}1】25×1.25×32 =25×1.25×（4×8） =（25×4）×（1.25×8） =100×10=1000【例題2】560÷35 =560÷(7×5) =560÷7÷5 =80÷5=16 5、 轉(zhuǎn)化法：1. 某數(shù)乘或除以5,25,125，可以用10÷2,100÷4,1000÷8代替5,25,125，然后計(jì)算。2. 一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)不為0的數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為成這個(gè)數(shù)的

32、倒數(shù)?！纠}1】78×5 =78×（10÷2）=78×10÷2=780÷2=390【例題2】37÷9/4+125×4/9 =37×4/9+125×4/9 =（37+125）×4/9 =162×4/9=726、 公式法：1 等差數(shù)列求和公式：a1為第一項(xiàng)，an為第n項(xiàng)，n為項(xiàng)數(shù),sn為前n項(xiàng)和，d為公差常見數(shù)列前n項(xiàng)和，1 1+2+3+4+.+100=(1+100)×100/2=50502 2+4+6+.+98+100=2×(1+2+3+.+49+50) =

33、2×(1+50)×50/2=25503 1+3+5+ .+99=(1+99)×50/2=25004 12+22+32+.+n2=n×(n+1)×(2n+1)/65 13+23+33+.+n3=n×(n+1)/22【例題1】2+4+6+.+198+200 =2×（1+2+3+4+.+100） =2×(1+100)×100/2 =101×100=10100 或者=（2+200）×100/2=10100【鞏固】 計(jì)算（1351989）（2461988）2 平方差公式：（互為反算）【例題1】

34、403×397 =（400+3）×（400-3） =4002-32=15991【例題2】1002-992+982-972+.+22-12 =（100-99）×（100+99）+（98-97）×（98+97）+.+（2-1）×（2+1） =199+195+.+7+3 =(3+199)×50/2=50503 完全平方公式 （a+b)² =a²+2ab+b²         （a-b)² =a²-2ab+b²【例題1】（a21）2（

35、a21）2 =(a4-2a2+1)-(a4+2a2+1) =-2a2【例題2】99298×100 =992(99+1)×(99-1) =992-992+1=17、 其他類型：例1 計(jì)算999999999999999解：在涉及所有數(shù)字都是9的計(jì)算中，常使用湊整法.例如將999化成10001去計(jì)算.這是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種技巧. 999999999999999（101）（100-1）（10001）（10000-1） （100000-1）10100100010000100000-5111110-5111105.例2 計(jì)算19999919999199919919解：此題各數(shù)字中，除

36、最高位是1外，其余都是9，仍使用湊整法.不過這里是加1湊整.（如 1991200） 19999919999199919919（199991）（199991）（19991）（1991） （191）520000020000200020020-5222220-522225.例3 計(jì)算 9999×22223333×3334解：此題如果直接乘，數(shù)字較大，容易出錯(cuò).如果將9999變?yōu)?333×3，規(guī)律就出現(xiàn)了. 9999×22223333×33343333×3×22223333×33343333×66663333&#

37、215;33343333×（66663334）3333×1000033330000.例4 1999999×999解法1：1999999×9991000999999×9991000999×（1999）1000999×10001000×（9991）1000×10001000000.解法2：1999999×9991999999×（1000-1）1999999000-999（1999-999）99900010009990001000000.【練習(xí)題】一、乘5、15、25、125（1）17

38、15;4×5 （2）125×19×8 （3）125×72 （4）25×125×16 （5）19×25×64×1252、 乘9、99、999（1）12×9 （2）12×99（3）12×999（4）12345678987654321×9（提示：12345678987654321=1111111112）（5）2999+999×9993、 乘11、111、101（1）45×11（2）56×11（3）2222×11（4）2456×11（提示：可以用公式，另外，還有一種小技巧 一個(gè)數(shù)乘以11，“兩頭一拉，中間相加”）（5）37×101（6）85×101（7）79×101（8）23×10101（9）69×101010101（10）123×1001（11）3985×100010001（12）4567×10001（13）43869×1000010000100001 （提示：重疊數(shù)問題）（14）1000001×999999=（15）2×3