2022年2022年初一數(shù)學(xué)一題多解

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例題一. 如圖 1,已知 ab/cd,試找出b .bed 和d 的關(guān)系并證明；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載我們找出他們的關(guān)系為：bedbd ；證明如下：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載方法一：如圖 2,過(guò)點(diǎn) e 作 ef/ab ；由于ab /ef ,所以befb ；由于ab / cd ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ab / ef,所以ef / cd,所以fedd,所以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)

2、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bedbeffedbd ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載方法二：如圖3,過(guò)點(diǎn) e 作 ef/ab ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 ab /ef ,所以befb180 , 即bef180b ；由于ab / cd ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ab / ef,所以ef / cd,所以fedd180,即fed180d ；由于精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載befbedfed360,所以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

3、習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bed360beffed 360180b180d bd ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載方 法 三 ： 如 圖4 , 連 接bd； 因 為ab / cd, 所 以abdb dc1 8 0 , 即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載abeedc180ebdedb；在bed中,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bed180ebdedb ,所以bedab

4、eedc ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載方法四：如圖5,過(guò)點(diǎn)e 做 fgab ,垂足為點(diǎn)f,交 cd于點(diǎn) g；由于ab / cd ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以egd180efb90；在直角 egd中,ged90d ,在直角 efb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載中,f90e bb ,所以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bed180gedfeb18090d90bbd ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

5、料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載方法五：如圖6,延長(zhǎng) be交 cd于點(diǎn) f；由于ab / cd,所以efdb ；在 efd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載中,efdd180fed,又因?yàn)閎ed180fed,所以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bedefddbd ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例題二. 證明：假如一個(gè)三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形為直角三角形已知：如圖1,在 abc中, ad=bd=cd求

6、證： abc為直角三角形證法 1如圖 1,利用兩銳角互余 ad=cd, cd=bd, 1= a, 2= b；在 abc中, a+ b+ acb=180°, a+ b+ 1+ 2=180°, 2（ a+ b）=180°, a+ b=90°, acb=90°, abc為直角三角形；證法 2如圖 2,利用等腰三角形的三線(xiàn)合一延長(zhǎng) ac到 e 使 ce=ac,連接 be ad=bd, cd為 abe的中位線(xiàn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 cd1 be ；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 cd1 ab ,2精品學(xué)習(xí)資料精選

7、學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ab=be bcac, abc為直角三角形證法 3如圖 3,利用此三角形與某個(gè)直角三角形相像（或全等）過(guò)點(diǎn) d作 de bc交 bc于點(diǎn) e cd=bd,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 be1 bc ,2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 bebcbd1,ab2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 b 為公共角, bde bac； acb= deb=90°, abc為直角三角形；證法 4如圖 4,利用假如一條直線(xiàn)垂直于兩平行線(xiàn)中的一條,就也垂直于另一條取 bc中點(diǎn) e,連接 de ad=bd, de為 abc的中位

8、線(xiàn) deac cd=bd, ce=be, debc acbc, abc為直角三角形證法 5如圖 5,構(gòu)造四邊形,并證其為矩形延長(zhǎng) cd到 e 使 de=cd,連接 ae.be ad=bd=cd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ad=bd=cd=de且、 ab=ce四邊形 abcd為矩形 acb=90°, abc為直角三角形證法 6如圖 6,利用勾股定理的逆定理設(shè) ac=b, bc=a, ab=c,取 bc中點(diǎn) e,連接 de de為 abc的中位線(xiàn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 de1 ac21 b ；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 c

9、d=bd, de bc；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在 rt deb中,de 2be 2bd 2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載21 b2221 a1 c；22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a 2b 2c 2 , abc為直角三角形；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證法 7如圖 7,利用兩直線(xiàn)平行,再證同旁?xún)?nèi)角相等；延長(zhǎng) cd到 e 使 de=cd,連接 be； ad=bd, 1= 2, adc bde（ sas）, acd= e, a

10、c=be, acbe, acb+ ebc=180°；又 ad=cd, ab=ce； bc為公共邊, acb ebc（ sss）； acb= ebc； acb=90°, abc為直角三角形；證法 8如圖 8,利用直徑所對(duì)的圓周角為直角；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載以 d 為圓心, da長(zhǎng)為半徑作圓； ad=bd=c,d點(diǎn) c.b 在圓上, ab 為直徑； acb=90°； abc為直角三角形；例題三. 某人買(mǎi) 13 個(gè)雞蛋. 5 個(gè)鴨蛋. 9 個(gè)鵪鶉蛋, 共用去 9.25 元, 假如買(mǎi) 2 個(gè)雞蛋.4 個(gè)鴨蛋. 3 個(gè)鵪鶉蛋,就共用去3.20 元,

11、試問(wèn)只買(mǎi)雞蛋.鴨蛋.鵪鶉蛋各1 個(gè),共需多少錢(qián)？這類(lèi)題目的特點(diǎn)為所能列出的方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù),看似不行解, 但由于所求的并不為每一個(gè)未知數(shù)的值,而為一個(gè)代數(shù)式的值；所以可解； 這類(lèi)題對(duì)同學(xué)來(lái)說(shuō)為有一些難度的,但假如把握了以下方法,既可以化繁為簡(jiǎn),又可以收到一題多解,提高同學(xué)才能的成效；下面讓我們先來(lái)列出方程；設(shè)雞蛋.鴨蛋.鵪鶉蛋的單價(jià)分別為x .y .z 元,就依據(jù)題意,可得方程精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13x5 y2x4 y9z9.25,求 x3z3.20yz 的值；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解法一：變?cè)ǎ?zx把 z 看成常數(shù),解關(guān)于x.y

12、 的方程,可得21110zy20精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載然后代入所求式xyz 中,得： xyz1z 21110 z20z1.05精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答：只買(mǎi)雞蛋.鴨蛋.鵪鶉蛋各1 個(gè),共需1.05 元；解法二：直接構(gòu)造法：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于題目中要求xyz 的值,所以將原方程互助組變形直接構(gòu)造出xyz ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13x5 y2x4 y9z9.253z3.205 x4 xyzyz8x4z2xz9.253.20精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

13、- - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4+得21xyz22.05精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xyz1.05精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答：略解法三：間接構(gòu)造法：將原方程組中的兩邊同乘以常數(shù)a,的兩邊同乘以常數(shù)b,得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13ax 2bx5ay 4by9az 3bz9.25a3.20b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 +得13a2b x5a4b y9a3b z9.25a3.20b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載我們想要求

14、的代數(shù)式為x+y+z ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令 13a2b5a4b9 a3b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載可得 a=1, b=4,代入上式得21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05x+y+z=1.05例題四.三角形一題多解如圖：已知 ab=ac,e 為 ac延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn), 且有 bf=ce,連接 fe 交 bc于 d；求證： fd=de；證法一證明：過(guò)e 點(diǎn)作 em ab 交 dc延長(zhǎng)線(xiàn)于m點(diǎn),就 m= b,又由于 acb=bacb= ecm= m,所以 ce=em,又 ec=bf從而 em=bf, bfd= dem就 dbf dme,

15、故fd=de；證法二證明：過(guò)e 點(diǎn)作 em ab交 dc延長(zhǎng)線(xiàn)于m點(diǎn),就 m= b,又由于 acb=b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載acb= ecm= bfd= demm,所以 ce=em,又 ec=bf從而 em=bf,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就 dbf dme,故fd=de；證法二證明：過(guò)f 點(diǎn)作 fm ae,交 bd于點(diǎn) m,就 1= 2 = b所以 bf=fm, 又 4= 3 5= e所以 dmf dce,故 fd=de；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例題五.平行四邊形一題多解如圖 4,平行四邊形abcd中 ad=2ab、e.f 在

16、直線(xiàn) ab上,且ae=bf=ab求、證： df ce.證法一.易知 adf. bce為等腰三角形,故1=f、 2= e、 又 cd ab、故 3=f、 4= e、 從而 1= 3, 2= 4,而000 1+2+ 3+4=180 ,故 3+ 4=90 ,說(shuō)明 cod=90,所以 df ce；證法二.如圖5,連接 mn,就 cd=bf、且 cd bf,故 bfcd為平行精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載四邊形,就cn=bn=ab同、理 、dm=ma=ab故、cn=dm且 cndm,得平行四精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載邊形 cdm,n 易見(jiàn) cd=d,m 故 cdmn也為菱形, 依據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)相互垂直,結(jié)論成立；證法三.如圖6,連接 bm.an、 可證 afn中, bn=bf=ba就、 afn為直角三角形,即df an、利用中位線(xiàn)定理可知an ce,故 df ce；證法四.如圖7,作 dg ce交 ae延長(zhǎng)線(xiàn)