直線和平面垂直習(xí)題課

1、一、知識(shí)歸納一、知識(shí)歸納 1、直線和平面垂直的定義直線和平面垂直的定義：如果直線和平面內(nèi)的所有直：如果直線和平面內(nèi)的所有直線都垂直，則就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。線都垂直，則就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。 2、直線和平面垂直的判定直線和平面垂直的判定：如果直線和平面內(nèi)的兩條相：如果直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直。交直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直。 3、直線和平面垂直的性質(zhì)直線和平面垂直的性質(zhì)： （1）如果直線和平面垂直，則這條直線和這個(gè)平面內(nèi)的）如果直線和平面垂直，則這條直線和這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直。所有直線都垂直。 （2）垂直于同一平面的兩條直線互相平行。

2、）垂直于同一平面的兩條直線互相平行。 4、唯一性定理：唯一性定理： （1）過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直。）過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直。 （2）過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直。）過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直。二、方法歸納 （一）線面垂直判定方法： 1、定義法： 2、判定定理： 3、性質(zhì)法： （1）如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面；平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面； （2）如果一條直線垂直于兩平行平面）如果一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線也垂直于另一中的一個(gè)，則這條直線也垂直于另一個(gè)平面。個(gè)平面

3、。例1 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面 bmmbbamama/已知： ， ba/a求證： b證明：設(shè) 是 內(nèi)的任意一條直線 m一、定義方法判定線面垂直二、線面垂直判定定理的應(yīng)用例例2 2：如圖：如圖, ,在底面是菱形的四棱錐在底面是菱形的四棱錐P-ABCDP-ABCD中中, , 點(diǎn)點(diǎn)E E是是PDPD的中點(diǎn)的中點(diǎn). .證明證明PA PA 平面平面ABCD; ABCD; 60 ,ABC,2 ,PAABa PBPDaPBAECDO例例3 3、在三棱錐、在三棱錐S-ABCS-ABC中，側(cè)面中，側(cè)面SABSAB與側(cè)面與側(cè)面SACSAC均均為等邊三角形，為等邊三

4、角形，O O為為BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證求證:SO :SO 平面平面ABC.ABC.SBACO三、定義法和判定定理的結(jié)合應(yīng)用三、定義法和判定定理的結(jié)合應(yīng)用知能遷移知能遷移1 1 RtRtABCABC所在平面外一點(diǎn)所在平面外一點(diǎn)S S, ,且且SASA= =SBSB= =SCSC，D D為斜邊為斜邊ACAC中點(diǎn)中點(diǎn). .（1 1）求證：）求證：SDSD面面ABCABC；（；（2 2）若）若ABAB= =BCBC，求證：，求證：BDBD面面SACSAC. . 證明證明 （1）如圖所示，取）如圖所示，取AB中點(diǎn)中點(diǎn)E， 連結(jié)連結(jié)SE，DE， 在在RtABC中，中，D、E分別為分別為AC、 AB

5、的中點(diǎn)，故的中點(diǎn)，故DEBC，且，且DEAB, SA=SB， SAB為等腰三角形，為等腰三角形，SEAB. SEAB，DEAB，SEDE=E， AB面面SDE.而而SD面面 SDE，ABSD.在在SACSAC中，中，SASA= =SCSC，D D為為ACAC中點(diǎn)，中點(diǎn)，SDSDACAC. .SDSDACAC, ,SDSDABAB, ,ACACABAB= =A A,SDSD面面ABCABC. .（2 2）若）若ABAB= =BCBC，則，則BDBDACAC，由（由（1 1）可知，）可知，SDSD面面ABCABC，而，而B(niǎo)DBD面面ABCABC，SDSDBDBD，SDSDBDBD, ,BDBDAC

6、AC, ,SDSDACAC= =D D,BDBD面面SACSAC. .【例3】如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE； 【證明】(1)在四棱錐PABCD中，因?yàn)镻A底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD.又因?yàn)锳CCD，PAACA，所以CD平面PAC.而AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，得ABC是等邊三角形，故ACPA.因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，所以AEPD.又因?yàn)镻A底

7、面ABCD，所以PAAB.由已知得ABAD，且PAADA，所以AB平面PAD.又PD平面PAD，所以ABPD.因?yàn)锳BAEA，所以PD平面ABE. 本題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力立體幾何的證明關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分析和掌握一些常規(guī)的證明方法如：已知中點(diǎn)證明垂直時(shí)要首先考慮等腰三角形中的“三線合一”；已知線段或角度等數(shù)量關(guān)系較多時(shí)最好標(biāo)示出來(lái)，充分進(jìn)行計(jì)算，從而發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含的垂直等關(guān)系；已知線面垂直時(shí)會(huì)有哪些結(jié)論，是選擇線線垂直還是選擇面面垂直；要證明結(jié)論或要得到哪個(gè)結(jié)論，就必須滿足什么條件等 【變式練習(xí)1】如圖，E，F(xiàn)分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊

8、AB的中點(diǎn)，沿EF將AEF折起到A1EF的位置，連結(jié)A1B，A1C.求證：(1)EF平面A1EC；(2)AA1平面A1BC. 1111111111111111/ /12.EFACABEFBCACBCEFECEFAEAECEEAEAECCEAECEFAECACMEMEACEMAAAECEEMACAAACEFAECA AAECAAEFEFBC因?yàn)?， 分別為和的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，?，平面，平面，所以平面取的中點(diǎn)，連結(jié)，又因?yàn)?為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以【證明，又】，所以1111.AABCACBCCAAABC，又 ，所以平面 線線垂直證明的方法線線垂直證明的方法 1、

9、平面幾何知識(shí)；（計(jì)算證明） 2、證明兩直線所成的角為直角； 3、線面垂直的定義。用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直 111111920136.ABCABCACBCBCACCMCCABAM已知在直三棱柱中， ，是的中點(diǎn)，求證：【例 】【證明】如圖，ACB90，所以BCAC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，所以BCCC1.而ACCC1C，所以BC平面AA1C1C，所以BCAM.連結(jié)A1C.可以證明RtACMRtAA1C，所以AMA1C.而A1CBCC，所以AM平面A1BC，所以A1BAM. 證明線線垂直常構(gòu)造一個(gè)平面經(jīng)過(guò)一條直線與另一條直線垂直，從

10、而達(dá)到由線面垂直證明線線垂直的目的 111111111626012?ABCDABC DAAABCDABABCPBBD PACACBDOB PPBPOD AC【變式練如圖，直四棱柱中，側(cè)棱，底面是菱形， ， 為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)求證：；設(shè) ，求當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，平面習(xí)2】 11111111111.1.ABCDACBDB DD DABCDACD DBDD DDACBB D DD PBB D DD PAC證明：因?yàn)闉榱庑?，所以連結(jié)因?yàn)榈酌妫杂?，所以平面因?yàn)槠剿晕觯棵妗窘?11111111111.60236322362902B PPOD ACPBDOABCDOACBDPAPCOAOCPOACABCAB

11、ABCBODOD DOBD DBBDOBPD DOOBPDODPOBPODODOACO當(dāng) 時(shí)，平面證明：連結(jié)，因?yàn)榈酌媸橇庑危?是，的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以是等邊三角形，在矩形中，有，所以，所以，所以，又 ，所以1.POD AC 平面通過(guò)計(jì)算證明線通過(guò)計(jì)算證明線線垂直線垂直 【例3】如 圖 ， 在 正 方 體 A B C D A1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn)，O是底面正方形ABCD的中心求證：OE平面ACD1. 11111122112212222211111111111.623232.AECEDOD BD EDBaAECEAOOCOEACDBDODDDOaOEBEOBaD

12、ED BB EaDOOED EDOOEDOACODOACACDOEACD如圖，連結(jié)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 易證又因?yàn)?，所以在正方體中易求出：，所以，所以因?yàn)?，平面，所以平面【證明】 要證線面垂直可找線線垂直，這是幾何中證明線面垂直時(shí)常用的方法，在證明線線垂直時(shí)，要注意從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，如利用勾股定理等 【變式練習(xí)3】直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.求證：AC平面BB1C1C. 111111111111.902222452.ABCDABC DBBABCDBBACBADADCABADCDACCABBCBCACBBBCBBBBCBBC

13、CACBBCC直棱柱中，平面，所以又因?yàn)椋?，所以，所以，所以而 ，平面所以平面【證明】.如圖，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)(1)求證：MNCD；(2)若PDA45，求證：MN平面PCD. 【證明】(1)連結(jié)AC，取其中點(diǎn)O，連結(jié)NO、MO，并延長(zhǎng)MO交CD于R.因?yàn)镹為PC的中點(diǎn)，所以NO為PAC的中位線，所以NOPA.而PA平面ABCD，所以NO平面ABCD，所以NOCD.又四邊形ABCD是矩形，M為AB的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，所以MOCD.而MONOO，所以CD平面MNO，所以CDMN.(2)連結(jié)NR，則NRMPDA45.又O為MR的中點(diǎn)，且NOMR，所以M

14、NR為等腰三角形且NRMNMR45，所以MNR90，所以MNNR.又MNCD，且NRCDR，所以MN平面PCD. 2/ / /.ababbaabaaa判定線面垂直的方法，主要有五種：利用定義；利用判定定理；結(jié)合線線平行：若，則；面面垂直的性質(zhì)：若， ，則；面面平行的性質(zhì)：若，則3(20105月蘇南六校高三聯(lián)合測(cè)試)如圖所示，在四棱錐PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA2AB2.(1)求四棱錐PABCD的體積V；(2)若F為PC的中點(diǎn)，求證：PC平面AEF；(3)求證：CE平面PAB. Rt16032.Rt2602 34.11221151322 33.222155323.3231ABCDABCABBACBCACACDACCADCDADSAB BCAC CDV 在中， ，所以，在中， ，所以，所以則 【解析】(2)證明：因?yàn)镻ACA，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，所以AFPC.因?yàn)镻A平面ABCD，所以PACD.因?yàn)锳CCD，PAACA，所以CD平面PAC.所以CDPC.因?yàn)镋為PD中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，所以EFCD.則EFPC.因?yàn)锳FEFF，所以PC平面AEF. ./ /./ /.Rt60260 .