2022年2022年初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)38：平行和垂直

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料,細(xì)心整編吐血舉薦、 如如有用請(qǐng)打賞支持,感謝不盡！初 中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)（38） 平行和垂直一.內(nèi)容提要一. 證明兩直線相互平行常用的定理 利用角同位角相等或內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行； 利用第三線都平行或都垂直于第三線的兩直線平行； 利用比例式abc中,假如 adaeadbecd那么 debce 其他三角形中位線平行于第三邊bc梯形中位線平行于兩底平行四邊形對(duì)邊平行二. 證明兩直線相互垂直常用的定理1. 按垂直定義即證明兩直線相交所成的四個(gè)角中,有一個(gè)為直角；直角為 180 的一半,常見的180有：平角,鄰補(bǔ)角,平行線的

2、同旁內(nèi)角,三角形內(nèi)角和；2. 在三角形中證明直角 假如一個(gè)角等于其他兩個(gè)角的和,那么這個(gè)角為直角； 如一邊平方等于其他兩邊的平方和,就這邊所對(duì)的角為直角； 如一邊中線等于這邊的一半,就這邊所對(duì)的角為直角； 等腰三角形頂角平分線（或底邊中線）為底邊上的高； 和直角三角形全等或相像的三角形也為直角三角形；3. 菱形對(duì)角線相互垂直二.例題例 1. 從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向其他的兩個(gè)角的平分線引垂線,兩個(gè)垂足的連線平行于這個(gè)角的對(duì)邊；已知： abc中, bd, ce為角平分線, am bd,ance求證： mnbca證明：分別延長 am,an交 bc于 f,g精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

3、就 amb bmfrt 1 2, bmbm amb fmbenmd2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b1cgf精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載am mf同理可證 anngmn為 afg的中位線,mn fg,即 mn bc例 2. 已知： ad為 rtabc斜邊上的高,角平分線be交 ad于 f, eg bc交 bc于 ga求證： fgac,ag be證明的要點(diǎn)：ebe為角平分線,f點(diǎn) e 到 abc的兩邊距離相等,即 eaegbdgc afe, aef分別為 ebc, abe的余角, afe aef得 afae eg,且 eg af, 故 afge為菱形例 3. 已

4、知：如圖 ad為等腰直角 abc斜邊上高bm, bn三等分 abc, cm延長線交 ab于 e求證： enbma證明要點(diǎn)：fn根椐軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)e1mcm,cn也三等分 acbbdc點(diǎn) n 為 ace的內(nèi)心,en為 aec的平分線 1 abm 30例 4. 已知： a,b,c 三點(diǎn)在同始終線上, abd和 bce都為等邊三角形,ae交 bd于 m,cd交 be于 ne d求證： mnacmn證明：在等邊 abd和 bce中abcabbd, bcce, abd bce60精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bmce am ab, bnbd , ambn mnac精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

5、料 - - - 歡迎下載mebcnccemece精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 5. 已知：正方形abcd中, p 為 ac上的任意點(diǎn),過點(diǎn)p 作 peab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載作 pfbcd4求證： pdefh分析：要證明 pdef,可證 pmf90先證 1 2 90 2 390agcp1 2fm 3be精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載而 1 4只要證 3 4可用邊角邊證 bef gpd （證明略）例 6. 已知： o和 q相交于 a,b, q經(jīng)過點(diǎn) o,c為 o優(yōu)弧 ab上的一點(diǎn), cb延長線交 q于 d,求證： doacaf證明：連

6、結(jié) ab,作 o直徑 ae,do延長線交coqac于 f c e, d eabeb cfd abert, doacd三.練習(xí) 381. 四邊形 abcd中, a b,adbc,就 abcd2. 正方形 abcd中, e 在邊 bc上, f 在邊 ab的延長線上,且aebf就 ae cf3. 已知：平行四邊形abcd的 ab2bc, e, f 分別在 bc和 cb的延長線上且 ce bfbc求證： ae df4. 分別以 abc的邊 ab和 bc為一邊,向形外作兩個(gè)正方形abef和 bcg,h 求證ahce,ah ce5. 已知： d,e,f 為 abc邊 bc,ca,ab的中點(diǎn), h,g在形外

7、,且heac,he 1 ac,gdbc,2gd 1 bc2ad求證： fdg heffg fhef6. 已知：在平行四邊形abcd中,ba 和 b 的平分線交于 e,cc和 d 的平分線相交于 f求證： efbc7. 三角形三條高（或它們的延長線）必相交于一點(diǎn)這點(diǎn)叫做三角形的垂心,如圖abc中,兩條a高 ad和 be交于 h,那么h為 abc的垂心d為的垂心hebce 為的垂心c 為的垂心d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8. 已知： o為等腰直角三角形abc底邊 bc的中點(diǎn),在 bc的延長線上任取一點(diǎn)p,過 p 作 ab的垂線pd,d為垂足,過 p 作 ac的垂線 pe,e 為垂足；試問：不論 p 點(diǎn)在 bc延長線上的哪一個(gè)位置,doe都等于幾度？并證明你的結(jié)論練習(xí) 38 參考答案：1. 多種