趣味數(shù)學一筆畫和七橋問題實用教案

1、 18世紀風景秀麗的哥尼斯堡（位于立陶宛與波蘭之間，現(xiàn)屬俄羅斯）中有一條河，河的中間有兩個小島，河的兩岸與兩島之間共建有七座橋（如圖），城中的居民經(jīng)常沿河過橋散步，不知從什么時候起，腳下的橋梁觸發(fā)了人們的靈感，一個有趣的問題在居民中傳開了：誰能夠一次走遍所有的座橋，而且每座橋都只通過(tnggu)一次？最后是否仍能回到出發(fā)點？ 這就是數(shù)學史上著名的七橋問題。ABCD第1頁/共24頁第一頁，共24頁。 這個問題看起來是這樣(zhyng)(zhyng)的簡單，人人都樂意是嘗試，但沒有找到合適的路線。 問題傳開后，許多歐洲有學問的人也參與思考，同樣是一籌莫展，有人想到了當時正在俄國圣彼得堡科學院任職

2、的天才數(shù)學家歐拉，請他幫助解決。 歐拉依靠他深厚的數(shù)學功底，運用嫻熟的變換技巧，經(jīng)過一年的研究，于17361736年遞交了一份題為哥尼斯堡七座橋的論文，圓滿地解決了這一問題。第2頁/共24頁第二頁，共24頁。歐拉 （Leonhard Euler 公元(gngyun)1707-1783年） 第3頁/共24頁第三頁，共24頁。 歐拉出生在牧師家庭，自幼受到父親的教育。1313歲時入讀巴塞爾大學，1515歲大學畢業(yè)，1616歲獲得碩士學位。歐拉是1818世紀數(shù)學界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學界作出貢獻，更把數(shù)學推至幾乎整個物理的領域。此外，他是數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家，圣彼得堡科學院為了整理他的著作

3、，足足忙碌了四十七年。 歐拉著作的驚人多產(chǎn)并不是偶然的，他可以在任何不良的環(huán)境中工作，他常常抱著孩子(hi zi)(hi zi)在膝上完成論文，也不顧孩子(hi zi)(hi zi)在旁邊喧嘩他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學精神，使他在雙目失明以后， 也沒有停止對數(shù)學的研究，在失明后的1717年間，他還口述了幾本書和400400篇左右的論文1919世紀偉大數(shù)學家高斯（GaussGauss，1777-18551777-1855年）曾說： 研究歐拉的著作永遠是了解數(shù)學的最好方法 第4頁/共24頁第四頁，共24頁。 歐拉解決這個問題的方法非常巧妙。他認為：人們關心(gun(gunxn)xn)的只是一次

4、不重復地走遍這七座橋，而并不關心(gun(gunxn)xn)橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個點，AB 而橋則可以看成是連接這些點的一條線。這樣，一個實際問題就轉化為一個幾何圖形（如下圖）能否(nn fu)(nn fu)一筆畫出的問題了。第5頁/共24頁第五頁，共24頁。v所謂圖的一筆畫，指的是：從圖的一點出發(fā)，筆不離紙，每條邊都只畫一次，不準(b zhn)(b zhn)重復。第6頁/共24頁第六頁，共24頁。偶點:與偶數(shù)(u sh)條邊相連的點叫偶點。奇點奇點:與奇數(shù)與奇數(shù)(j sh)條邊相連的點叫奇點。條邊相連的點叫奇點。能夠一筆畫的圖形必須是連通圖形。第7頁/共24頁第七頁，

5、共24頁。圖形(txng)奇點個數(shù)偶點個數(shù) 能否(nn fu)一筆畫04能能能能07能能不能不能4051第8頁/共24頁第八頁，共24頁。1 1、奇點個數(shù)為、奇點個數(shù)為0 0的連通的連通(lintng)(lintng)圖是圖是一筆畫圖形。一筆畫圖形?？扇芜x一點為起點(qdin)，起點(qdin)和終點為同一點。第9頁/共24頁第九頁，共24頁。ABCDEABCD（）（）（）（）（）（）下面哪些圖形下面哪些圖形(txng)可以可以一筆畫出一筆畫出?（7）第10頁/共24頁第十頁，共24頁。圖形(txng)奇點個數(shù)偶點個數(shù)能否(nn fu)一筆畫能能不能不能 能能能能2224325 1第11頁/共

6、24頁第十一頁，共24頁。2 2、奇點數(shù)為，偶點數(shù)為任意的連通 圖是一筆畫(bhu)(bhu)圖形?？蛇x其中一個奇點做起點，而終點一定是另一個奇點，即一筆畫(bhu)后不可以回到出發(fā)點。第12頁/共24頁第十二頁，共24頁?，F(xiàn)在七橋問題(wnt)可以解決了嗎？AB四個點都是奇點第13頁/共24頁第十三頁，共24頁。課堂練習 1、 一輛灑水車要給某城市的街道灑水，街道地圖如下(rxi)：你能否設計一條灑水車灑水的路線，使灑水車不重復地走過所有的街道，再回到出發(fā)點？菜市場小廣場文具店超市電器城服裝城第14頁/共24頁第十四頁，共24頁。2、 下圖是一個公園的平面圖，能不能使游人走遍每一條路不重復(chngf)？入口和出口又應設在哪兒？課堂練習 B BA AC CD DE EF FG G第15頁/共24頁第十五頁，共24頁。課堂練習 3、 甲乙兩個郵遞員去送信(sn xn)，兩人同時出發(fā)以同樣的速度走遍所有的街道，甲從A點出發(fā)， 乙從B點出發(fā)，最后都回到郵局（C點）。如果要選擇最短的線路，誰先回到郵局？ 第16頁/共24頁第十六頁，共24頁。第17頁/共24頁第十七頁，共24頁。第18頁/共24頁第十八頁，共24頁。第19頁/共24頁第十九頁，共24頁。第20頁/共