2007年全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題及答案

1、2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1. 已知滿足，則的值為（ ）a1. b. c. d.2當分別取值，時，計算代數(shù)式的值，將所得的結(jié)果相加，其和等于（ ）a1. b1. c0. d2007.3. 設是的三邊長，二次函數(shù)在時取最小值，則是（ ）a等腰三角形. b銳角三角形. c鈍角三角形. d）直角三角形.4. 已知銳角的頂點到垂心的距離等于它的外接圓的半徑，則的度數(shù)是（ ）a30°. b45°. c60°. d75°.5設是內(nèi)任意一點，、的重心分別為、，則的值為（ ）a. b. c. d.6袋中裝有5個紅球

2、、6個黑球、7個白球，從袋中摸出15個球，摸出的球中恰好有3個紅球的概率是（ ）a. b. c. d.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1. 設，是的小數(shù)部分，是的小數(shù)部分，則_ 2. 對于一切不小于2的自然數(shù)，關于的一元二次方程的兩個根記作（），則= 3. 已知直角梯形的四條邊長分別為，過、兩點作圓,與的延長線交于點，與的延長線交于點，則的值為 4 若和均為四位數(shù)，且均為完全平方數(shù)，則整數(shù)的值是 第二試（a）一、（本題滿分20分）設為正整數(shù)，且，如果對一切實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點間的距離不小于，求的值.abcdefmnp二、（本題滿分25分）如圖，四邊形是梯形，點是上底邊上

3、一點，的延長線與的延長線交于點，過點作的平行線交的延長線于點，與交于點.證明：=.三、 （本題滿分25分）已知是正整數(shù)，如果關于的方程的根都是整數(shù)，求的值及方程的整數(shù)根.第二試（b）一、（本題滿分20分）設為正整數(shù)，且，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點間的距離為，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點間的距離為.如果對一切實數(shù)恒成立，求的值.二、（本題滿分25分）題目與（a）卷第二題相同.三、（本題滿分25分）設是正整數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，如果兩個函數(shù)的圖象的交點都是整點（橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點），求的值.第二試（c）一、（本題滿分20分）題目與（b）卷第一題相同.二、（本題滿分25分）題目與（a）

4、卷第二題相同.三、（本題滿分25分）設是正整數(shù)，如果二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象有公共整點（橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點），求的值和對應的公共整點.2007年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題答案第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1.b 2.c 3.d 4.c 5.a 6.b（解析：1.由得，所以，故選b.注：本題也可用特殊值法來判斷.2 因為，即當分別取值，為正整數(shù)）時，計算所得的代數(shù)式的值之和為0；而當時，.因此，當分別取值，時，計算所得各代數(shù)式的值之和為0.故選c.3. 由題意可得即所以，因此，所以是直角三角形. 故選d.4. 銳角的垂心在三角形內(nèi)部，如圖，設的外心為，為的中點，的延長線

5、交于點，連、，則/，/，則，所以30°，60°，所以60°.故選c.5 a.分別延長、，與的三邊、交于點、，由于、分別為、的重心，易知、分別為、的中點，所以.易證，且相似比為，所以.所以.故選a.6設摸出的15個球中有個紅球、個黑球、個白球，則都是正整數(shù)，且，.因為，所以可取值2，3，4，5.當時，只有一種可能，即；當時，有2種可能，或；當時，有3種可能，或或；當時，有4種可能，或或或.因此，共有123410種可能的摸球結(jié)果，其中摸出的球中恰好有3個紅球的結(jié)果有2種，所以所求的概率為.故選b.）二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1.1 2. 3.4 4.7

6、（解析：1.，而，.又，而，.，.2.由根與系數(shù)的關系得，所以，則， .3.延長交于點，設的中點分別為點，則易知.因為，由割線定理，易證，所以.4設，則，兩式相減得，因為101是質(zhì)數(shù)，且，所以，故.代入，整理得，解得，或（舍去）.所以.）第二試 （a）一、（本題滿分20分）解：因為一元二次方程的兩根分別為和，所以二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點間的距離為 （5分）由題意，即，即（10分）由題意知，且上式對一切實數(shù)恒成立，所以（15分）所以或（20分）二、（本題滿分25分）abcdefmnp證明:設與交于點，/，,.(5分)又/，,.(10分),故(15分)又=，pnfpmc，pnfpmc，nf/m

7、c(20分)anfedm.又me/bf，fanmed.anffanedmmed，afn=dme.(25分)三、（本題滿分25分）解：觀察易知，方程有一個整數(shù)根，將方程的左邊分解因式，得（5分）因為是正整數(shù)，所以關于的方程 （1）的判別式，它一定有兩個不同的實數(shù)根.而原方程的根都是整數(shù)，所以方程（1）的根都是整數(shù)，因此它的判別式應該是一個完全平方數(shù).（10分）設（其中為非負整數(shù)），則，即.（15分）顯然與的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整數(shù)，所以只可能 （20分）當時，方程（1）即，它的兩根分別為和.此時原方程的三個根為1，和.當時，方程（1）即，它的兩根分別為和.此時原方程的三個根

8、為1，和.（25分）第二試 （b）一、（本題滿分20分）解：因為一元二次方程的兩根分別為和，所以；一元二次方程的兩根分別為和，所以.（5分）所以， （1）（10分）由題意知，且（1）式對一切實數(shù)恒成立，所以 （15分）所以（20分）二、（本題滿分25分）題目與（a）卷第二題相同.三、（本題滿分25分）解：聯(lián)立方程組消去得，即，分解因式得 （1）（5分）顯然是方程（1）的一個根，（1，56）是兩個函數(shù)的圖象的一個交點.因為是正整數(shù)，所以關于的方程（2）的判別式，它一定有兩個不同的實數(shù)根.（10分）而兩個函數(shù)的圖象的交點都是整點，所以方程（2）的根都是整數(shù)，因此它的判別式應該是一個完全平方數(shù). 設

9、（其中為非負整數(shù)），則，即.（15分）顯然與的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整數(shù)，所以只可能或 （20分）當時，方程（2）即，它的兩根分別為和，此時兩個函數(shù)的圖象還有兩個交點和.當時，方程（2）即，它的兩根分別為和，此時兩個函數(shù)的圖象還有兩個交點和.（25分）第二試 （c）一、（本題滿分25分）題目與（b）卷第一題相同.二、（本題滿分25分）題目與（a）卷第二題相同.三、（本題滿分25分）解：聯(lián)立方程組消去得，即，分解因式得（1）（5分）如果兩個函數(shù)的圖象有公共整點，則方程（1）必有整數(shù)根，從而關于的一元二次方程 （2）必有整數(shù)根，所以一元二次方程（2）的判別式應該是一個完全平方數(shù).（10分）而.所以應該是一個完全平