2007年考研數(shù)學一試題及完全解析(Word版)

1、 2007年考研數(shù)學一真題一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后括號內）（1） 當時，與等價的無窮小量是 ( )a. b. c. d.(2) 曲線y= ), 漸近線的條數(shù)為 ( )a.0 b.1 c.2 d.3(3)如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-3，-2，2，3上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間-2，0，0，2的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設f(x)= .則下列結論正確的是 ( )a. f(3)= b. f(3)= c. f(3)= d. f(3)= (4)設函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)，下列

2、命題錯誤的是 ( )a. 若存在，則f（0）=0 b. 若 存在，則f（0）=0 c. 若 存在，則=0 d. 若 存在，則=0(5)設函數(shù)f（x）在（0, +）上具有二階導數(shù)，且, 令=f(n)=1,2,.n, 則下列結論正確的是 ( )a.若，則必收斂 b. 若，則必發(fā)散 c. 若，則必收斂 d. 若，則必發(fā)散(6)設曲線l：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一階連續(xù)偏導數(shù)），過第象限內的點m和第象限內的點n,t為l上從點m到n的一段弧，則下列小于零的是 ( )a. b. c. d. （7）設向量組，線形無關，則下列向量組線形相關的是： ( )（a） （b） （c） （d）（8）

3、設矩陣a=，b=，則a于b ( )(a) 合同，且相似 (b) 合同，但不相似(c) 不合同，但相似 (d)既不合同，也不相似（9）某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為p，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為： ( )（a）(b) (c) (d) (10) 設隨即變量（x，y）服從二維正態(tài)分布，且x與y不相關，分別表示x，y的概率密度，則在yy的條件下，x的條件概率密度為 ( )（a） (b) (c) (d)二填空題：1116小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上（11） _.（12）設為二元可微函數(shù)，則_.(13)二階常系數(shù)非齊次線性方程的通解為y_.

4、 (14)設曲面：，則_. (15)設矩陣a，則的秩為_.（16）在區(qū)間（0，1）中隨機地取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之差的絕對值小于的概率為_.三解答題：1724小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(22)設3階對稱矩陣a的特征向量值是a的屬于的一個特征向量,記其中為3階單位矩陣驗證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩陣.(23)設二維變量的概率密度為 求；求的概率密度.(24)設總體的概率密度為 ,是來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值求參數(shù)的矩估計量；判斷是否為的無偏估計量,并說明理由.一、選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿分

5、40分，在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在后邊的括號內）（1）【答案】（b）【解析】方法1：排斥法：由幾個常見的等價無窮小，有：時，所以選（b）.方法2：當時，選（b）.方法3：，選（b）.（2）【答案】（d）【解析】所以是一條垂直漸近線；所以是沿方向的一條水平漸近線；又 所以也是一條漸近線，所以共有3條，選擇（d）（3）【答案】（c ）【解析】由題給條件知，為的奇函數(shù)，故為的偶函數(shù)，所以而所以 ，選擇c（4）【答案】 (d)【解析】方法1:論證法，由存在及在處連續(xù)，所以（a）正確；由于存在，所以存在.（c）也正確；由在處連續(xù)，所以在處連續(xù)，從而在處連續(xù)，將它看

6、成（a）中的，從而推知即有.所以（b）正確，此題選擇（d）.方法2：舉例法，舉例說明（d）不正確.例如取，有而并不存在. （d）不正確，選（d）.（5）【答案】 (d)【解析】由拉格朗日中值定理，有由知嚴格單調增，故由于所以而是一個確定的正數(shù).于是推知故發(fā)散.選（d）（6）【答案】 (b)【解析】記由條件并注意到在積分的弧段上于是所以選擇(b)（7）【答案】(a)【解析】根據(jù)線性相關的定義，若存在不全為零的數(shù)，使得成立.則稱線性相關.因，故線性相關，所以選擇（a）.（8）【答案】（b）【解析】因為的特征值是3，3，0，的特征值1，1，0，因為特征值不等，故不相似. 與有相同的正慣性指數(shù)2，秩都

7、等于2，所以與合同，應選（b）. （9）【答案】(c)【解析】根據(jù)獨立重復的貝努利試驗，前3次試驗中有1次成功2次失敗.其概率必為再加上第4次是成功的，其概率為.根據(jù)獨立性，第4次射擊為第二次命中目標的概率為 所以應選（c）（10）【答案】(a)【解析】由于二維正態(tài)的中與不相關，故與獨立，且.根據(jù)條件概率密度的定義，當在條件下，如果則.現(xiàn)顯然不為0，因此 應選(a).二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上（11）【答案】【解析】令，有 （12）【答案】【解析】求復合函數(shù)的偏導數(shù) （13）【答案】【解析】特征方程為特征根對應齊次方程的通解設該齊次方程的一個

8、特解為代入原方程，可求得故得原方程的通解為.（14）【答案】 【解析】曲面對稱于平面，為的奇函數(shù)，所以又因關于輪換對稱，所以 而為8塊同樣的等邊三角形，每塊等邊三角形的邊長為，所以所以（15）【答案】 1【解析】 顯然 (16)【答案】 【解析】所有可能隨機在區(qū)間(0,1)中隨機取的兩個數(shù)，。在坐標軸上畫出圖形，所求概率為其中d是由，以及x、y軸圍成的圖形.三、解答題：1724小題，共86分。請將解答寫在答題紙指定的位置上。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）【解析】先求的內部駐點，由，解得函數(shù)在內的駐點為，相應的函數(shù)值為再考慮在的邊界上的.由便知函數(shù)在上的最大值為4，最小值為.考

9、慮在的邊界上的.記由得，函數(shù)在相應點的值為綜上可知函數(shù)在d上的最大值為8，最小值為0（18）【解析】補充曲面，下側為正，根據(jù)高斯公式，有其中 ， 再以與平行的平面截，得區(qū)域用先二后一法計算三重積分，為一橢圓，其面積可由熟知的橢圓公式算的，于是有又因為是的奇函數(shù)，關于軸對稱，有從而（19）【解析】令在連續(xù)，在可導，在題設條件下，要證存在，.已知，只須由題設再證（）由題設若，取，.若，不妨設，則，（）由，對分別在用羅爾定理，使得再對用羅爾定理，使得即.（20）【解析】（）由于，根據(jù)泰勒級數(shù)的唯一性知在方程兩端求階導數(shù)，得令，得，即故 （）因為，所以，兩邊求導，得由于，所以，即函數(shù)滿足方程令，則上述

10、方程變?yōu)椋獾?，從而，由得，所?（21）【解析】方法1：因為方程組(1)、(2)有公共解，將方程組聯(lián)立 并對聯(lián)立方程組的增廣矩陣作初等行變換 當時，聯(lián)立方程組（3）的同解方程組為解得兩方程組的公共解為，其中是任意常數(shù).當時, 聯(lián)立方程組（3）的同解方程組為解得兩方程的公共解為.方法2：將方程組（1）的系數(shù)矩陣作初等行變換當時，方程組（1）的同解方程組為解得（1）的通解為，其中是任意常數(shù).將通解代入方程（2）.對任意的成立，故當時，是（1）、（2）的公共解.當時，方程組（1）的同解方程組為解得（1）的通解為,其中是任意常數(shù). 將通解代入方程（2）.得，故當時，（1）和（2）的公共解為.（22）【解析】（）可以很容易驗證，于是 于是是矩陣的特征向量. 的特征值可以由的特征值以及與的關系得到，所以的全部特征值為2，1，1. 前面已經求得為的屬于2的特征值，而為實對稱矩陣，于是根據(jù)與的關系可以知道也是實對稱矩陣，于是屬于不同的特征值的特征向量正交，設