2010年高考全國(guó)卷1理科數(shù)學(xué)試題答案及解析

1、絕密絕密啟用前啟用前2010 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)( (必修必修+ +選修選修 ii)ii)本試卷分第 i 卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。第 i 卷 1 至 2 頁(yè)。第卷 3 至 4 頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第第 i i 卷卷注意事項(xiàng)：1答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2每小題選出答案后，用 2b 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無(wú)效。 3第 i 卷共 12 小題

2、，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。參考公式：參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式a、b ()( )( )p abp ap b24sr如果事件相互獨(dú)立，那么 其中 r 表示球的半徑a、b 球的體積公式()( )( )p a bp a p b如果事件 a 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 p334vr次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中 r 表示球的半徑nak( )(1)(0,1,2,)kkn knnp kc ppkn一選擇題一選擇題(1)復(fù)數(shù)3223ii(a) (b) (c)12-13 (d) 12+13iiii1a【命題意圖】本小題

3、主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,重點(diǎn)考查分母實(shí)數(shù)化的轉(zhuǎn)化技巧.【解析】.32(32 )(23 )694623(23 )(23 )13iiiiiiiii(2)記,那么cos( 80 )k tan100 a. b. - c. d. -21kk21kk21kk21kk2.b 【命題意圖】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式等三角函數(shù)知識(shí)，并突出了弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.【解析】,所以222sin801 cos 801 cos ( 80 )1 ktan100tan80 2sin801.cos80kk (3)若變量滿足約束條件則的最大值為, x y1,0,20,yxyxy2zxy(a)4 (b)3 (

4、c)2 (d)13.b 【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)、作圖、識(shí)圖能力及計(jì)算能力. 【解析】畫(huà)出可行域（如右圖） ，由圖可知,當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn) a(1,-1)時(shí)，z 最大，且最大值為.max1 2 ( 1)3z （4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=5，=10，則na123a a a789a a a=456a a a(a) (b) 7 (c) 6 (d) 5 24 24.a【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，31231322()5a a aa aaa10,所以,37897988()a

5、 a aa aaa132850a a 所以13336456465528()()(50 )5 2a a aa aaaa a(5)的展開(kāi)式中 x 的系數(shù)是353(12) (1)xx(a) -4 (b) -2 (c) 2 (d) 45.b 【命題意圖】本小題主要考查了考生對(duì)二項(xiàng)式定理的掌握情況，尤其是0 xy1oyxy20 xyxa0:20lxyl022aabcda1b1c1d1o展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)與其二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)也考查了考生的一些基本運(yùn)算能力.【解析】35533(12) (1)(1 6128)(1)xxxxx xx故的展開(kāi)式中含 x 的項(xiàng)為353(12)

6、(1)xx,所以 x 的系數(shù)為-2.3303551()1210122cxxcxxx (6)某校開(kāi)設(shè) a 類選修課 3 門，b 類選擇課 4 門，一位同學(xué)從中共選 3 門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有(a) 30 種 (b)35 種 (c)42 種 (d)48 種6.a【命題意圖】本小題主要考查分類計(jì)數(shù)原理、組合知識(shí),以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.【解析】:可分以下 2 種情況:(1)a 類選修課選 1 門,b 類選修課選 2 門,有種不同的選法;(2)a 類選修課選 2 門,b 類選修課選 1 門,有種不1234c c2134c c同的選法.所以不同的選法共有+種.1234c c2

7、13418 1230c c (7)正方體 abcd-中，b與平面 ac所成角的余弦值為1111abc d1b1da b c d233323637.d 【命題意圖】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求出 d 到平面 ac的距離是解決本題的關(guān)鍵所在,這也是轉(zhuǎn)化思1d想的具體體現(xiàn).【解析】因?yàn)?bb1/dd1,所以b與平面 ac所成角和dd1與平面 ac所成角1b1d1d相等,設(shè) do平面ac，由等體積法得,即1d11d acddacdvv.設(shè) dd1=a,111133acdacdsdosdd則,.12211133sin60( 2 )2222acds

8、ac adaa21122acdsad cda所以,記 dd1與平面 ac所成角為,則1312333acdacdsddadoasa1d,所以.13sin3dodd6cos3（8）設(shè) a=2,b=in2,c=,則3log125a abc bbca c cab d cba8.c 【命題意圖】本小題以指數(shù)、對(duì)數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實(shí)數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用.【解析】 a=2=, b=in2=,而,所以 ab,3log21log 321log e22log 3log1ec=,而,所以 ca,綜上 cab.125152252log 4log 3 (9)已知、為

9、雙曲線 c:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) p 在 c 上，p=，則1f2f221xy1f2f060p 到 x 軸的距離為(a) (b) (c) (d) 3262369.b 【命題意圖】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、第二定義、余弦定理，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力.【解析】不妨設(shè)點(diǎn) p在雙曲線的右支,由雙曲線的第二定義得00(,)xy，.由21000|()12apfe xaexxc 22000|)21apfe xexaxc余弦定理得cosp=,即 cos,1f2f222121212|2|pfpfffpfpf0602220000(12)( 21)(2 2)2(12)

10、( 21)xxxx解得,所以，故 p 到 x 軸的距離為2052x 2200312yx 06|2y （10）已知函數(shù) f(x)=|lgx|,若 0ab,且 f(a)=f(b),則 a+2b 的取值范圍是(a) (b) (c) (d)(2 2,)2 2,)(3,)3,)10.a 【命題意圖】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時(shí)極易忽視 a 的取值范圍，而利用均值不等式求得 a+2b,從而錯(cuò)選22 2aaa,這也是命題者的用苦良心之處.【解析】因?yàn)?f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或，所以 a+2b=1ba2aa又 0ab,

11、所以 0a1f(1)=1+=3,即 a+2b 的取值范圍是(3,+).21（11）已知圓 o 的半徑為 1，pa、pb 為該圓的兩條切線，a、b 為倆切點(diǎn)，那么的最小值為pa pb (a) (b) (c) (d)42 32 42 2 32 2 11.d【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長(zhǎng)定理，著重考查最值的求法判別式法,同時(shí)也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力及運(yùn)算能力.【解析】如圖所示：設(shè) pa=pb=,apo=x(0)x ,則apb=，po=，221x，21sin1x=，令，| |cos2pa pbpapb 22(1 2sin)x222(1)1xxx4221xxxpa

12、pby 則，即，由是實(shí)數(shù)，所以4221xxyx42(1)0 xy xy2x，解得或.2 (1)4 1 ()0yy 2610yy 32 2y 32 2y 故.此時(shí).min()32 2pa pb 21x （12）已知在半徑為 2 的球面上有 a、b、c、d 四點(diǎn)，若 ab=cd=2,則四面體 abcd 的體積的最大值為(a) (b) (c) (d) 2 334 332 38 3312.b【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算、球的性質(zhì)、異面直線的距離,通過(guò)pabo球這個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力.【解析】過(guò) cd 作平面 pcd，使 ab平面 pcd,交 ab 與 p,設(shè)點(diǎn) p

13、 到 cd 的距離為,則有h,當(dāng)直徑通過(guò) ab 與 cd 的中點(diǎn)時(shí),故abcd11222323vhh 四面體22max2 212 3h.max4 33v絕密啟用前2010 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(必修+選修 ii)第卷注意事項(xiàng)： 1答題前，考生先在答題卡上用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考 證號(hào)填寫(xiě)清楚，然后貼好條形碼。請(qǐng) 認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。 2第卷共 2 頁(yè)，請(qǐng)用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域 內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效。 3。第卷共 l0 小題，共 90 分。二填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共

14、20 分把答案填在題中橫線上 (注意：在試題卷上作答無(wú)效) (13)不等式的解集是 .2211xx 13.0,2 【命題意圖】本小題主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根號(hào)是解根式不等式的基本思路，也讓轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)得淋漓盡致.解析:原不等式等價(jià)于解得 0 x2.2221(1) ,10 xxx (14)已知為第三象限的角，,則 .3cos25 tan(2 )414【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)值符號(hào)的判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、和角17的正切公式,同時(shí)考查了基本運(yùn)算能力及等價(jià)變換的解題技能.【解析】因?yàn)闉榈谌笙薜慕?所以，又2(2(21) ,2(21) )()kkkz 0, 所以

15、,于是有,3cos25 2(2(21) ,2(21) )()2kkkz 4sin2512x y=1xyao12x 414ay2yxxa,所以.sin24tan2cos23 tan(2 )441tantan2134471tantan2143 (15)直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是 .1y 2yxxaa15.(1,【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)、不等式的解法,著重考查了數(shù)5)4形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.【解析】如圖，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出直線與曲線,觀圖可知，a1y 2yxxa的取值必須滿足解得.1,4114aa514a(16)已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段fcb的延長(zhǎng)線交

16、于點(diǎn)，且，則的離心率為 .bfcdbf2fduu ruurc16.23【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)” ，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化問(wèn)題的捷徑.【解析】如圖，,22|bfbca作軸于點(diǎn) d1,則由，得1ddybf2fduu ruur,所以,1|2|3ofbfddbd133|22ddofc即,由橢圓的第二定義得32dcx 2233|()22accfdeaca又由,得,整理得.| 2|bffd232ccaa22320caac兩邊都除以,得,解得.2a2320ee 1()e 舍去，或23e

17、 三解答題：本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟(17)(本小題滿分 10 分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效) 已知的內(nèi)角，及其對(duì)邊，滿足，求內(nèi)角abcvababcotcotabaabbxoybf1ddc17. 【命題意圖】本小題主要考查三角恒等變形、利用正弦、余弦定理處理三角形中的邊角關(guān)系，突出考查邊角互化的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.(18)(本小題滿分 12 分)（注意：在試題卷上作答無(wú)效) 投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審若能通過(guò)兩位初審專家的評(píng)審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過(guò)，則不予錄用；若恰能通過(guò)一位初審專家的評(píng)審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若

18、能通過(guò)復(fù)審專家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄用設(shè)稿件能通過(guò)各初審專家評(píng)審的概率均為 05，復(fù)審的稿件能通過(guò)評(píng)審的概率為03各專家獨(dú)立評(píng)審 (i)求投到該雜志的 1 篇稿件被錄用的概率； (ii)記表示投到該雜志的 4 篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求的分布列及期望xx18. 【命題意圖】本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨(dú)立事件、相互獨(dú)立試驗(yàn)、分布列、數(shù)學(xué)期望等知識(shí),以及運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.（19） （本小題滿分 12 分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）如圖，四棱錐 s-abcd 中，sd底面abcd，ab/dc，addc，ab=ad=1，dc=sd=2，e 為棱 sb 上的一點(diǎn)，平面 edc平面 sbc .（）證明：se=2eb；（）求二面角 a-de-c 的大小 .【命題意圖】本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力. (20)(本小題滿分 12 分)（注意：在試題卷上作答無(wú)效）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）已知函數(shù).( )(1)ln1f xxxx（）若，求的取值范圍；2( )1xfxxaxa