工程數(shù)學(xué)-線性代數(shù)第五版答案02

1、第二章矩陣及其運(yùn)算1 已知線性變換x12y12y2y3x23y1y25y3x33y12y23y3求從變量 x1 x2 x3 到變量 y1 y2 y3 的線性變換解由已知x22 1y11y2x231 5x332 3y2y12 2 1 1 x17 4 9y1故y23 1 5x26 3 7 y2y23 2 3x33 2 4y3y17x14x29x3y26x13x27x3y33x12x24x32 已知兩個(gè)線性變換x1 2y1 y3y13z1 z2x22y1 3y2 2y3y2 2z1 z3x3 4y1 y2 5y3y3z2 3z3求從 z1z2 z3到 x1 x2 x3的線性變換解由已知x2 0 1y

2、120 13 1 01x22 3 2y22 3 22 0 1x34 1 5y41 50 1 32大學(xué)數(shù)學(xué)z1z2z3613z112 4 9 z210 1 16 z3x16z1z23z3所以有 x212z14z29z3x310z1z216z31111232A 及 ATB3 設(shè) A111 B12 4求 3AB111051111123111解 3AB 2A 311112 42 111111051111058111213223 05 62 111217 202901114292111123058ATB 111 12 405 61110512904 計(jì)算下列乘積4317(1) 1232570143174

3、7321 135解12 3217(2)2316570157720 1493(2) (123)2 1大學(xué)數(shù)學(xué)3解(123)2(132231)(10)12(3)1(1 2)322(1) 222 4解1(12)1(1)121 233(1) 323 6131(4)21 4 001211 3 4131402131解214 001267811 3 41312056402a11a12a13x1(5) (x1 x2 x3) a12 a22 a23 x2 a13 a23 a33 x3解a11a12a13x1(x1 x2 x3) a12a22a23 x2a13a23a33x3x1(a11x1a12x2a13x3a

4、12x1a22x2a23x3a13x1a23x2 a33x3) x2x3a x2a x2a x22a x x 2a x x 2a x x11122233 3121213132323大學(xué)數(shù)學(xué)5 設(shè) A1 2B1 0問1 31 2(1)AB BA 嗎 ?解 ABBA因?yàn)?AB34BA1 2所以 AB BA463 8(2)(A B)2 A2 2AB B2 嗎?解 (A B)2 A2 2AB B2因?yàn)?AB2 22 5( AB)2222 28 142 52 514 29但A2 2AB B23 86 81 010 164 118 123 415 27所以 (A B)2A2 2AB B2(3)(A B)(

5、A B) A2 B2 嗎?解 (A B)(A B) A2 B2因?yàn)?AB2 2A B0 22 50 1( AB)( AB)2 20 20 62 50 10 9而A2 B23 810 284 113 41 7故(A B)(A B) A2 B26 舉反列說明下列命題是錯(cuò)誤的大學(xué)數(shù)學(xué)(1)若 A20則A0解 取 A0 1則 A20但A00 0(2)若 A2A 則A0或AE解 取 A1 1則 A2A 但A0且AE0 0(3)若AX AY 且A 0則 X Y解取A1 0X11Y1 10 01 10 1則AXAY且A0 但XY7 設(shè) A1 0求A2A3Ak1解 A21 01 0101121A3A2A101

6、01021131Ak10k110求 Ak8 設(shè) A010 0解 首先觀察大學(xué)數(shù)學(xué)1010221A20101022000000233 23A3A2A033 2003A4A344 36 2A044 3004A5A4A55 410 3055 4005k k k 1k(k1) k2k02Akk k100k用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng) k 2 時(shí) 顯然成立假設(shè) k 時(shí)成立，則 k 1 時(shí)，k k k1k(k1)k 210Ak 1 Ak A 02kk k 10 100k00k 1 (k1)k 1(k1)kk 10k1(k2k 11)00k 1大學(xué)數(shù)學(xué)由數(shù)學(xué)歸納法原理知kk k 1k(k 1)k 2Ak02kk k1

7、00k9設(shè) A B 為 n 階矩陣，且 A 為對稱矩陣，證明BTAB 也是對稱矩陣證明因?yàn)锳TA所以(BTAB)T BT(BTA)T BTATB BTAB 從而 BTAB 是對稱矩陣10 設(shè) A B 都是 n 階對稱矩陣，證明 AB 是對稱矩陣的充分必要條件是 AB BA證明充分性因?yàn)锳T A BT B且AB BA所以(AB)T (BA)T ATBT AB即 AB 是對稱矩陣必要性因?yàn)?AT A BT B且(AB)T AB所以AB (AB)T BTAT BA11 求下列矩陣的逆矩陣(1) 1 22 5解 A1 2|A| 1故 A1 存在因?yàn)? 5A*A11A2152A12A2221大學(xué)數(shù)學(xué)故A

8、 11 A*52| A|2 1(2)cossinsincos解Acossin|A| 10 故A1存在因?yàn)閟incosA*A11A21cossinA12A22sincos所以A 11 A*cossin| A|sincos121(3)342541A121|A|20故A1存在解342因?yàn)?41A11 A21 A31420A*A12 A22 A321361A13 A23 A3332 1421 A*210所以A 113 31| A|2216 71a1 a02(a aa0)(4)201nan大學(xué)數(shù)學(xué)a10Aa2解由對角矩陣的性質(zhì)知0an110a1A1a201an12 解下列矩陣方程(1)2 5X461 3

9、212 5163546223解X41 32112210821111 3(2)X 210432111X11 32111解4322101111 11 31012 3234323 302 218 5233(3)14X2 031121 101大學(xué)數(shù)學(xué)解X141312011 2011 112431101211011216 61 01 11 012301 240 1 01 0 0143(4)100X0 0 12010 0 10 1 01200 1 01431 0 011解X1002010 0 10 0 11200 1 00 1 01431 0 02101 0 02010 0 11340 0 11200 1

10、 010213 利用逆矩陣解下列線性方程組x12x23x3 1(1) 2x1 2x2 5x3 23x1 5x2 x3 3解方程組可表示為1 2 3x112 2 5x223 5 1x33x11 2 3111故x22 2 520x33 5 130大學(xué)數(shù)學(xué)x11從而有x20x30x1x2x32(2) 2x1 x2 3x3 13x1 2x2 5x3 0解方程組可表示為111x12213x21325x03x1111125故x221310x332503x15故有x20x3314 設(shè) Ak O (k 為正整數(shù) )證明(E A)1 E A A2Ak 1證明因?yàn)?Ak O 所以 E AkE 又因?yàn)镋 Ak (E

11、 A)(E A A2Ak 1)所以(E A)(E A A2Ak 1)E由定理 2推論知 (E A)可逆且(EA)1EAA2Ak 1證明一方面有 E (E A) 1(E A)另一方面由 Ak O有E (E A) (A A2) A2Ak 1 (Ak 1 Ak)大學(xué)數(shù)學(xué)(E A A2A k 1)(E A)故(E A) 1(E A) (E A A2Ak 1)(E A)兩端同時(shí)右乘 (E A) 1就有(E A) 1(E A) E A A2Ak 115 設(shè)方陣 A滿足 A2 A 2E O 證明 A及 A 2E都可逆 并求 A 1及(A 2E) 1證明由 A2A2E O得A2A2E即 A(A E)2E或A

12、1(AE)E2由定理 2推論知 A可逆 且A11(A E)2由A2 A 2E O得A2A 6E4E 即 (A 2E)(A 3E)4E或( A2E) 1(3E A)E4由定理 2 推論知 (A2E)可逆且(A 2E) 11(3E A)4證明由 A2 A 2E O 得 A2 A 2E兩端同時(shí)取行列式得|A2 A| 2即|A|A E| 2故|A| 0大學(xué)數(shù)學(xué)所以 A 可逆而 A 2E A2 |A 2E| |A2| |A|2 0故 A 2E 也可逆由A2A2EO A(AE)2EA 1A(A E) 2A 1E A11( AE)2又由A2A2EO(A 2E)A 3(A 2E)4E(A 2E)(A3E)4

13、E所以(A 2E) 1(A 2E)(A3E)4(A 2E) 1(A2E) 1 1(3E A)416設(shè)A為3階矩陣|A|1求 |(2A) 15A*|2解因?yàn)?A11 A*所以| A|(2A) 1 5A*| |1 A 1 5|A|A 1| |1 A 15A1|222| 2A 1| ( 2)3|A 1|8|A| 182 1617 設(shè)矩陣 A 可逆 證明其伴隨陣 A*也可逆 且(A*) 1(A 1)*證明由 A 11 A*得 A*|A|A 1所以當(dāng) A 可逆時(shí)有| A|A*|A|n|A 1| |A|n 1 0從而 A* 也可逆因?yàn)?A*|A|A 1所以(A*)1 |A| 1A又 A1(A 1)* |A

14、|(A 1)*所以1| A |大學(xué)數(shù)學(xué)(A*) 1 |A| 1A |A| 1|A|(A 1)*(A 1)*18 設(shè) n 階矩陣 A 的伴隨矩陣為 A* 證明(1)若|A| 0則 |A*| 0(2)|A*| |A|n 1證明(1)用反證法證明假設(shè) |A*| 0則有 A*( A*) 1 E由此得AA A*( A*) 1|A|E(A*) 1O所以A* O這與 |A*| 0 矛盾，故當(dāng) |A| 0 時(shí) 有|A*|0(2)由于A11 A*則 AA* |A|E 取行列式得到|A|A|A*|A|n若 |A| 0則 |A*| |A|n 1若 |A| 0 由 (1)知|A*| 0 此時(shí)命題也成立因此 |A*|A

15、|n 103319設(shè)A 11 0ABA2B求 B1 23解由AB A2E 可得 (A 2E)BA故1 A233103303 3B (A 2E)11 01101 2 31211 2 311 01 0 1且ABEA2B 求B20 設(shè)A 0201 0 1大學(xué)數(shù)學(xué)解由AB E A2 B得(A E)B A2 E即(A E)B (A E)(A E)0 0 1因?yàn)?|AE| 010 1 0 所以(AE)可逆從而1 0 0B2 0 1AE 0301 0 221設(shè) A diag(121) A*BA 2BA 8E 求 B解由 A* BA 2BA8E 得(A*2E)BA8EB8(A*2E) 1A 18A(A*2E)

16、 18(AA*2A) 18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA) 14diag(212)14diag(1 ,1, 1)2 2 2diag(1 2 1)100022已知矩陣 A的伴隨陣 A*0 10 0101003 0 8且ABA1 BA1 3E求B大學(xué)數(shù)學(xué)解由 |A*| |A|3 8得|A| 2由ABA1 BA1 3E得ABB3AB 3(A E) 1A 3A(EA 1) 1A3(E1A*) 16(2EA*) 1210 0016 0 00601 000 6 001 0 106 0 6003 060 3 0123 設(shè)P1AP其中 P141 0求 A11110 2解由P1AP得 A PP 1所

17、以 A11 A=P11P 1.|P| 3P*1 4P 1 1141 1311而1110111 00 20 2111410142731 2732故A113311021111683 6843324 設(shè)AP P1111其中P 10211115求 (A) A8(5E 6A A2)解( )8(5E 62)diag(1 1 58)diag(5 5 5) diag( 6 6 30) diag(1 1 25)大學(xué)數(shù)學(xué)diag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 0 0)(A) P ()P11 P()P*| P|1111 0 02222 1020 0 03031110 0 01211 1

18、141111 1 125 設(shè)矩陣 A、B及A B都可逆 證明 A1 B1也可逆 并求其逆陣證明因?yàn)锳1(A B)B1 B1A1A1B1而 A 1(A B)B 1 是三個(gè)可逆矩陣的乘積所以 A 1(A B)B 1 可逆即A1 B1可逆(A 1B1)1A 1(AB)B 1 1 B(A B) 1A1 21 01 03126 計(jì)算01 010 12100210 02300030 003解設(shè) A11 2A22 1B131B2230 10 32103AEE BAA BB則111112O A2O B2O A2B2而A1B1B21 23123520 1210324大學(xué)數(shù)學(xué)A2B22 123430 303091 252所以A1E EB1A1 A1B1 B20 124O A2O B2O A2B20 0430 00912101 0311 252即01010 1210 12400210 0230 04300030 0030 00927取ABC D1 0A B|A| |B|0 1驗(yàn)證CD|C| |D|101 0200 0A B0101 02002010解CD 1010 1010 0201401 0 101 0 1而|A| |B|1 10|C| |D |1 1故A B|A| |B|C D|C| |D |34O28設(shè) A4384O2 0求|A |及 A2 2解令 A