不定積分習例題講解(二)

1、高等數(shù)學（1 ）學習輔導（9）不定積分習例題講解(二)計算題21. 已知 f'(X)二 sec x sin X，且 f(0) =1，求函數(shù) f(x)解：f(x) = f'(x)dx = (sec2 x sin x)dx= sec xdx 亠 isinxdx =tanx -cosx c將f (0) = 1代入，得c = 2貝U f (x)二 tan x - cosx 22. 若 f (t)d F(t) c,則1f (at b)dt F (at b) c1(a = 0)a證明：用不定積分定義證明：.f(t)dt 二 F(t) c,所以 F'(t)二 f (t)又；d 11二

2、F(at b)二一F'(u)_ b(at b)' dt aa二 F'(u)“ 廠 f(u)“t b 二 f(at b)1 - F(at b)是f(at b)的一個原函數(shù)，a1由不定積分定義有f(at b)dt = F(at b) c1a另證，用第一換元積分法證明。1f (at b)dt f (at b)d(at b)a L11f(u)du F(u) caa1F(at b) G a采用“湊微分，使變量一致”的方法，將所求積分化成已知結(jié)果的不 定積分或基本積分公式的那種形式，就可求得該積分。3.”I I解: 原式=(1-)dx = arctann- C1 + x4.3xrd

3、x1 x解:2x 2dx221 (1x)-121x2 d(x2)5.£ dx2d(x2 1)冷伙2 - In(x2 1) c I 入厶xcos(l-2j)di解:原式cos(l- 2j?)d(l-2) + 044 解：利用第一換元法1d(x 廠二一越)二- d( . 1 - x2) = 1 - x2 c7.解:f L 我至原式=xdx-一x® + C158.解:原式-_i 丄J(1 - 3x) adh= - - J (1 - 3x)- 3x)9. . tan3 xdxtan3 xdx = tan2 x.tanxdx2=(sec x -1) tan xdx二 sec xtan

4、xdx - tanxdx、sinx=tan xd(tanx)-=-tan2 x21 . 2dx cosxd(cosx) cosxtan2 x In cosx c10.解:r arc sin x原式二-arcsinzVl-=-Vl-x arcsinx +-廣 arcsinx + x + CiQx211.2 dxx解：利用第二換元法，設x=sint, dx = costdt1 -x2 , cost cost 一2 dx 2 dtxsin t.2sintsint訥_x2-cott -t carcsin x cx12.dx-x-6解:原式.1 占!_ 怦+2)-(_3)U+2)(i3)5(x+2)(3

5、)dxf (J - L_-(In | x-3|-ln | x + 2|) + C1 x-3 x+2513. arc sxdx解：利用分部積分法arcs in xdx 二 xarcs inx - xd(arcs inx)=x a r c s xn-dx二 xarcsin x2d(1_x )二 x a r c sX n 一 1 - x2 c14. J - I解：-'1 + x=jcarctam_l f+：) rarctan工_丄蛻+ /)+(72J 1+x215.求不定積分x2 a2dx解：第二換元法求解令 x =ata nt,t =arcta nx,dx =asec2 tdt,a-x2

6、a2dx 二 a2 sec tdt.又sec? tdt 二 sect.sec td sectd tant=sect.tant- tan21sectdt2=sect.tant - (sec t T)sectdt3=sect.tant 亠 isectdt - sectdt= -.Qx2+a2 +1 nsect+ta nt Jsec'tdt a二sec'tdt =Jx2 +a2 +- ln x + Jx2 +a2 + c 2a22 2 ,貝 X Jx2 +a2 dx = Ux2 + a2 + l nx+Jx2+a2 +c 2 2另解(分部積分法求解)j 叮x2 a2 dx = x x

7、2 a2 _ xd ( x2 a2)16.解:17.解:=x x2a2=x . x2 a2,dxx2 a2z 222(x a ) - aX2 a2dx"仏叮x2In x , dx利用分部積分法In x dx原式dxx2a2.dxx2 a2!：x2 a2dx2a2In x + a2 +cIn xd( _丄)x1-2x(n 豐一1)Inx 1d(In x)' xIn x 1 dxc丄必）xM+1 + C18.求積分 xf''(x)dx解:xf''(x)dx 二 xdf'(x) = xf'(x) - f'(x)dx=xf'(x) - f (x) c19. J 1解：原式=J Id昇=-x解：令 X =atant,dx =asec tdt=sectdt=ln sect +tant +qex + 八2沁=- 2J xd© " =K - 2xb + 2 總 %"(F + 2x+2)h+C20.j (x -1) sm 2 皿解:(X- l)aJcO5 2jr-(x l)cos2x+ * J