八年級數(shù)學(xué)(下冊)一元二次方程培優(yōu)組卷(含答案)

1、數(shù)學(xué)一元二次方程一選擇題（共1小題）1滿足（n2n1）n+2=1的整數(shù)n有幾個（）a4個 b3個 c2個 d1個二填空題（共1小題）2若（x2+y2）25（x2+y2）6=0，則x2+y2=三解答題（共27小題）3已知x45x3+8x25x+1=0，求的值4解方程：5如果實(shí)數(shù)a，b，c滿足a=2b+，且ab+c2+，那么的值是多少？6滿足（x3）2+（y3）2=6的所有實(shí)數(shù)對（x，y）中，的最大值是多少？7a，b為兩個不相等且都不為零的數(shù)，同時有a2+pa+q=0，b2+pb+q=0，求的值8先化簡，再求值：，其中a是方程的解9已知x1、x2是方程4x2（3m5）x6m2=0的兩根，且，求m的

2、值10已知一元二次方程2x26x1=0的兩實(shí)數(shù)根為x1、x2，不解方程，求代數(shù)式的值11已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，求的值12已知關(guān)于x的方程x2+2（k3）x+k2=0有兩個實(shí)數(shù)根x1、x2（1）求k的取值范圍；（2）若|x1+x29|=x1x2，求k的值13若a，b，c為abc的三邊，且關(guān)于x的方程：4x2+4（a2+b2+c2）x+3（a2b2+b2c2+c2a2）=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，試證abc是等邊三角形14解下列方程：（1）；（2）；（3）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120；15已知關(guān)于x的方程（m21）x23（3m1）x+18=0有兩個正整數(shù)根（m

3、是正整數(shù)）abc的三邊a、b、c滿足，m2+a2m8a=0，m2+b2m8b=0求：（1）m的值；（2）abc的面積16如圖，a、b、c、d為矩形的四個頂點(diǎn)，ab=16cm，ad=6cm，動點(diǎn)p、q分別從點(diǎn)a、c同時出發(fā)，點(diǎn)p以3cm/s的速度向點(diǎn)b移動，一直到達(dá)b為止，點(diǎn)q以2 cm/s的速度向d移動（1）p、q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒？四邊形pbcq的面積為33cm2；（2）p、q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時？點(diǎn)p和點(diǎn)q的距離是10cm17如圖，四邊形acde是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是rtabc和rtbed邊長，易知，這時我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”請解

4、決下列問題：（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）若x=1是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形acde的周長是6，求abc面積18等腰abc的直角邊ab=bc=10cm，點(diǎn)p、q分別從a、c兩點(diǎn)同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線運(yùn)動，已知p沿射線ab運(yùn)動，q沿邊bc的延長線運(yùn)動，pq與直線ac相交于點(diǎn)d設(shè)p點(diǎn)運(yùn)動時間為t，pcq的面積為s（1）求出s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動幾秒時，spcq=sabc？（3）作peac于點(diǎn)e，當(dāng)點(diǎn)p、q運(yùn)動時，線段de的長度是否改變？證明你的結(jié)論19端午節(jié)期間，某食品店平均每天可賣出3

5、00只粽子，賣出1只粽子的利潤是1元經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價每降0.1元，每天可多賣出100只粽子為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價下降m（0m1）元（1）零售單價下降m元后，該店平均每天可賣出只粽子，利潤為元（2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)m定為多少時，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多？20已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：（2）若x1，x2是原方程的兩根，且|x1x2|=2，求m的值，并求出此時方程的兩根21已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2（4k+1）x+3k+3=0 （k是整數(shù)）（1）

6、求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1，x2（其中x1x2），設(shè)y=x2x1，判斷y是否為變量k的函數(shù)？如果是，請寫出函數(shù)解析式；若不是，請說明理由22某水果經(jīng)銷商銷售一種水果，如果每千克盈利1元，每月可售出5000千克經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價0.1元，月銷售量將減少400千克現(xiàn)該經(jīng)銷商要在批發(fā)這種高檔水果中保證每月盈利5060元，同時又要價格盡可能的低，那么每千克應(yīng)漲價多少元？23先閱讀，再填空解答：方程x23x4=0的根是：x1=1，x2=4，則x1+x2=3，x1x2=4；方程3x2+10x+8=0的根是：x1=2，則x1+x2=，x

7、1x2=（1）方程2x2+x3=0的根是：x1=，x2=，則x1+x2=，x1x2=；（2）若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，且a，b，c為常數(shù)）的兩個實(shí)數(shù)根，那么x1+x2，x1x2與系數(shù)a，b，c的關(guān)系是：x1+x2=，x1x2=；（3）如果x1，x2是方程x2+x3=0的兩個根，根據(jù)（2）所得結(jié)論，求x12+x22的值24某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？25小明

8、將勤工儉學(xué)掙得的100元錢按一年定期存入銀行，到期后取出50元用來購買學(xué)習(xí)用品，剩下的50元和應(yīng)得的利息又全部按一年定期存入若存款的年利率保持不變，這樣到期后可得本金和利息共66元，求這種存款的年利率26已知：關(guān)于x的方程有實(shí)根（1）求a取值范圍；（2）若原方程的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，且，求a的值27已知abc的一條邊bc的長為5，另兩邊ab、ac的長是關(guān)于x的一元二次方程x2（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實(shí)數(shù)根，（1）求證：無論k為何值時，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）k為何值時，abc是以bc為斜邊的直角三角形；（3）k為何值時，abc是等腰三角形，并求abc的周長28如圖

9、，有一長方形的地，該地塊長為x米，寬為120米，建筑商將它分成三部分：甲、乙、丙甲和乙為正方形現(xiàn)計劃甲建設(shè)住宅區(qū)，乙建設(shè)商場，丙開辟成公司若已知丙地的面積為3200平方米，你能算出x的值嗎？29某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過1 000t，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量（t）與費(fèi)用（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（1）；該產(chǎn)品的年銷售量（t）與每噸銷售價（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，則年產(chǎn)量為多少噸時，當(dāng)年可獲得7500萬元毛利潤？（毛利潤=銷售額費(fèi)用）2016年12月15日小北的初中數(shù)學(xué)一元二次方程培優(yōu)組卷參考答案與試題解析一選擇題（共1小題）1（2012浙江校級自主招生）滿足（n2n1）

10、n+2=1的整數(shù)n有幾個（）a4個b3個c2個d1個【考點(diǎn)】一元二次方程的解；零指數(shù)冪菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題【分析】因?yàn)?的任何次冪為1，1的偶次冪為1，非0數(shù)的0次冪為1，所以應(yīng)分三種情況討論n的值【解答】解：（1）n2n1=1，解得：n=2或n=1；（2），解得：n=0；（3），解得：n=2故選：a【點(diǎn)評】本題比較復(fù)雜，解答此題時要注意1的任何次冪為1，1的偶次冪為1，非0數(shù)的0次冪為1，三種情況，不要漏解二填空題（共1小題）2（2016磴口縣校級二模）若（x2+y2）25（x2+y2）6=0，則x2+y2=6【考點(diǎn)】換元法解一元二次方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】換元法【分析】設(shè)x2+y

11、2=t則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程t25t6=0，即（t6）（t+1）=0；然后解關(guān)于t的方程即可【解答】解：設(shè)x2+y2=t（t0）則t25t6=0，即（t6）（t+1）=0，解得，t=6或t=1（不合題意，舍去）；故x2+y2=6故答案是：6【點(diǎn)評】本題考查了換元法解一元二次方程解答該題時，注意x2+y2=t中的t的取值范圍：t0三解答題（共27小題）3已知x45x3+8x25x+1=0，求的值【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；整體思想【分析】通過觀察可看到方程中各項(xiàng)系數(shù)關(guān)于中間項(xiàng)對稱，x0，在方程兩邊同除以x2，可得到一個以為整體的一元二次方程，可求解【解答】

12、解：設(shè)通過觀察可看到方程中各項(xiàng)系數(shù)關(guān)于中間項(xiàng)對稱，x0，在方程兩邊同除以x2，得（x2+）5（x+）+8=0即5（x+）+6=0解得：x+=2或x+=3【點(diǎn)評】本題的關(guān)鍵是找到題目的特點(diǎn)各項(xiàng)系數(shù)關(guān)于中間項(xiàng)對稱以及把x+看作一個整體求解4解方程：【考點(diǎn)】無理方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題【分析】先把方程移項(xiàng)，然后兩邊平方化為一元二次方程，檢驗(yàn)根后即可得出答案【解答】解：移項(xiàng)得=，兩邊平方后整理得：=12，再兩邊平方后整理得x2+3x28=0，所以x1=4，x2=7經(jīng)檢驗(yàn)知，x2=7為增根，所以原方程的根為x=4說明用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號）來解無理方程，往往會產(chǎn)生增

13、根，應(yīng)注意驗(yàn)根【點(diǎn)評】本題考查了無理方程，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是注意用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號）來解無理方程，往往會產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根5如果實(shí)數(shù)a，b，c滿足a=2b+，且ab+c2+，那么的值是多少？【考點(diǎn)】根的判別式；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】將a=2b+代入ab+c2+中，利用配方法將等式變形為兩個非負(fù)數(shù)的和為0的形式，利用幾個非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個非負(fù)數(shù)都為0，即可得出答案【解答】解：將a=2b+代入ab+c2+得：ab+c2+=（2b+）b+c2+=（b）2+2（b）+（）2+c2=（b+）2+c2=0，c=0，b=，=0【點(diǎn)評】此題考查了配方

14、法在等式變形中的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是通過配方求出c、b的值6滿足（x3）2+（y3）2=6的所有實(shí)數(shù)對（x，y）中，的最大值是多少？【考點(diǎn)】根的判別式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；函數(shù)思想【分析】設(shè)y=kx，根據(jù)直線y=kx與圓（x3）2+（y3）2=6相切時k有最大值和最小值，把y=kx代入（x3）2+（y3）2=6，得到關(guān)于x的一元二次方程，令=0，得到關(guān)于k的一元二次方程，然后解方程，最大解為所求【解答】解：設(shè)y=kx，則直線y=kx與圓（x3）2+（y3）2=6相切時k有最大值和最小值，把y=kx代入（x3）2+（y3）2=6，得（1+k2）x26（k+1）x+12=0，=36（

15、k+1）24×12×（1+k2）=0，即k26k+1=0，解此方程得，k=3+2或32所以=k的最大值是3+2【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式當(dāng)0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0，方程沒有實(shí)數(shù)根同時考查了運(yùn)用解決函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)問題和一元二次方程的解法7a，b為兩個不相等且都不為零的數(shù)，同時有a2+pa+q=0，b2+pb+q=0，求的值【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題【分析】由一元二次方程的解的定義可以知道，a，b是方程x2+px+q=0的兩個根，再

16、由根與系數(shù)的關(guān)系，得到a+b和ab的值，代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值【解答】解：因?yàn)閍，b同時滿足a2+pa+q=0，b2+pb+q=0，所以a，b是方程x2+px+q=0的兩個根根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有：a+b=p，ab=q+=【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意可以知道a，b是方程x2+px+q=0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系，可以得到a+b和ab的值，代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值8（2013重慶模擬）先化簡，再求值：，其中a是方程的解【考點(diǎn)】一元二次方程的解；分式的化簡求值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；壓軸題【分析】根據(jù)題意先解方程求出a的值，然后把代數(shù)式化簡，再把a(bǔ)的值代入即可【

17、解答】解：a是方程的解，a2a=0，解方程得：a=，=÷a2=÷a2=×a2=aa2，當(dāng)a=時，原式=（1）=×=；當(dāng)a=時，原式=（1）=×=，代數(shù)式的值為【點(diǎn)評】此題主要考查了方程解的定義和分式的運(yùn)算，此類題型的特點(diǎn)是，利用方程解的定義找到相等關(guān)系，再把所求的代數(shù)式化簡后整理出所找到的相等關(guān)系的形式，再把此相等關(guān)系整體代入所求代數(shù)式，即可求出代數(shù)式的值9（2010山東模擬）已知x1、x2是方程4x2（3m5）x6m2=0的兩根，且，求m的值【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到兩

18、根之和與兩根之積用m表示的形式，也可以根據(jù)兩根之積得到x1x20，從而可以去掉已知等式的絕對值符號，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求出m的值【解答】解：a=4，b=53m，c=6m2，=（53m）2+4×4×6m2=（53m）2+96m2，53m=0與m=0不能同時成立=（53m）2+96m20則：x1x20，又，又，解得：m1=1，m2=5【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法10（2014大慶校級模擬）已知一元二次方程2x26x1=0的兩實(shí)數(shù)根為x1、x2，不解方程，求代數(shù)式的值【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)

19、系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；壓軸題【分析】首先將所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為含有x1+x2、x1x2的形式，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2、x1x2的值，最后將其代入所求的代數(shù)式并求值即可【解答】解：由韋達(dá)定理得，x1+x2=3（1分）（2分）故 =（3分）=（4分）=（5分）=20（6分）【點(diǎn)評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法11（2011西城區(qū)一模）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，求的值【考點(diǎn)】根的判別式；分式的化簡求值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；判別式法【分析】若一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式=0，

20、據(jù)此可求出b2=2a的值；然后將其代入化簡后的，并求值即可【解答】解：由題意，（1分）b2=2a（2分）原式=（3分）=（4分）a0，原式=（5分）【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式與分式的化簡求值本題利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根12（2014番禺區(qū)校級模擬）已知關(guān)于x的方程x2+2（k3）x+k2=0有兩個實(shí)數(shù)根x1、x2（1）求k的取值范圍；（2）若|x1+x29|=x1x2，求k的值【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式=b24ac0來求k的取值范圍；（2

21、）利用韋達(dá)定理求的關(guān)于k的一元二次方程|2k+3|=k2；然后根據(jù)（1）的k的取值范圍，需要對其分類討論：當(dāng)2k+30，即k時，2k+3=k2，通過解方程求的k的值即可；當(dāng)2k+30，即k時，2k3=k2，通過解方程求的k的值即可【解答】解：（1）根據(jù)題意，得0，即2（k3）24k20，解得，k；（2）根據(jù)韋達(dá)定理，得x1+x2=2（k3），x1x2=k2，由|x1+x29|=x1x2，得|2（k3）9|=k2，即|2k+3|=k2，以下分兩種情況討論：當(dāng)2k+30，即k時，2k+3=k2，即k22k3=0，解得，k1=1，k2=3；又由（1）知，k，k，k2=3不合題意，舍去，即k1=1；當(dāng)

22、2k+30，即k時，2k3=k2，即k2+2k+3=0，此方程無實(shí)數(shù)解綜合可知，k=1【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）0方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）=0方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）0方程沒有實(shí)數(shù)根13若a，b，c為abc的三邊，且關(guān)于x的方程：4x2+4（a2+b2+c2）x+3（a2b2+b2c2+c2a2）=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，試證abc是等邊三角形【考點(diǎn)】根的判別式；因式分解的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，得=16（a2+b2+c2）24×4×3（a2b2+b2c2+c2a2）=0，得

23、a4+b4+c4a2b2a2c2b2c2=0，兩邊乘以2，然后進(jìn)行配方得，（a2b2）2+（b2c2）2+（c2a2）2=0，所以有a=b=c，即abc是等邊三角形【解答】證明：由題得，=16（a2+b2+c2）24×4×3（a2b2+b2c2+c2a2）=0，所以有，a4+b4+c4a2b2a2c2b2c2=0，2（a4+b4+c4a2b2a2c2b2c2）=0，得到（a2b2）2+（b2c2）2+（c2a2）2=0，所以a2b2=0且b2c2=0且c2a2=0，即有a=b=c所以abc是等邊三角形【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根的判別式當(dāng)0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

24、當(dāng)=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0，沒有實(shí)數(shù)根也考查了因式分解的能力和幾個非負(fù)數(shù)的和為0的性質(zhì)14解下列方程：（1）；（2）；（3）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120；【考點(diǎn)】高次方程；換元法解分式方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題；換元法【分析】（1）由于=1+，此時發(fā)現(xiàn)兩個分式具備倒數(shù)關(guān)系，設(shè)y=，則原方程另一個分式為1+，可用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的分式方程先求y，再求x結(jié)果需檢驗(yàn)（2）觀察發(fā)現(xiàn)方程左邊三個分式的分母都是關(guān)于未知數(shù)x的二次三項(xiàng)式，且二次項(xiàng)都是x2，常數(shù)項(xiàng)都是8，設(shè)y=x2+2x8，可用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的分式方程先求y，再求x結(jié)果需檢驗(yàn)（3）先運(yùn)用乘法交換律與

25、結(jié)合律將（x+1）與（x+4）相乘，（x+2）與（x+3）相乘，再設(shè)x2+5x+4=y，則原方程化為y2+2y120=0用換元法解一元二次方程先求y，再求x【解答】解：（1）原方程可變形為+1+=，+=令y=，則原方程可變?yōu)閥+=，解得y1=，y2=當(dāng)y1=時，=，解得x=1；當(dāng)y2=時，=，解得x=經(jīng)檢驗(yàn)：x=1或都是原方程的解故原方程的解為x1=1，x2=，x3=（2）設(shè)x2+2x8=y，則原方程可化為：+=0，方程的兩邊同乘y（y+9x）（y15x），整理得y24xy45x2=0，解得y=9x或y=5x當(dāng)y=9x時，x2+2x8=9x，x27x8=0，解得x1=8，x2=1；當(dāng)y=5x時

26、，x2+2x8=5x，x2+7x8=0，解得x3=8，x4=1經(jīng)檢驗(yàn)：x1=8，x2=1，x3=8，x4=1都是原方程的解故原方程的解為x1=8，x2=1，x3=8，x4=1（3）（x+1）（x+4）（x+2）（x+3）=120，（x2+5x+4）（x2+5x+6）=120，設(shè)x2+5x+4=y，則y（y+2）=120，y2+2y120=0，解得y=10或y=12當(dāng)y=10時，x2+5x+4=10，x2+5x6=0，解得x1=6，x2=1；當(dāng)y=12時，x2+5x+4=12，x2+5x+16=0，=2564=390，故此方程無實(shí)根故原方程的解為x1=6，x2=1【點(diǎn)評】本題主要考查高次方程求解

27、的問題，解決此類問題的關(guān)鍵是把高次方程轉(zhuǎn)變成低次方程進(jìn)行求解，注意運(yùn)用換元法進(jìn)行解題，此類題具有一定的難度，同學(xué)們解決時需要細(xì)心15（2015黃岡中學(xué)自主招生）已知關(guān)于x的方程（m21）x23（3m1）x+18=0有兩個正整數(shù)根（m是正整數(shù)）abc的三邊a、b、c滿足，m2+a2m8a=0，m2+b2m8b=0求：（1）m的值；（2）abc的面積【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的定義；一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】應(yīng)用題；壓軸題；分類討論；方程思想【分析】（1）本題可先求出方程（m21）x23（3m1）x+1

28、8=0的兩個根，然后根據(jù)這兩個根都是正整數(shù)求出m的值（2）由（1）得出的m的值，然后將m2+a2m8a=0，m2+b2m8b=0進(jìn)行化簡，得出a，b的值然后再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系來確定符合條件的a，b的值，進(jìn)而得出三角形的面積【解答】解：（1）關(guān)于x的方程（m21）x23（3m1）x+18=0有兩個正整數(shù)根（m是整數(shù)）a=m21，b=9m+3，c=18，b24ac=（9m3）272（m21）=9（m3）20，設(shè)x1，x2是此方程的兩個根，x1x2=，也是正整數(shù)，即m21=1或2或3或6或9或18，又m為正整數(shù)，m=2；（2）把m=2代入兩等式，化簡得a24a+2=0，b24b+2=0當(dāng)a=b時

29、，當(dāng)ab時，a、b是方程x24x+2=0的兩根，而0，由韋達(dá)定理得a+b=40，ab=20，則a0、b0ab，時，由于a2+b2=（a+b）22ab=164=12=c2故abc為直角三角形，且c=90°，sabc=a=b=2，c=2時，因，故不能構(gòu)成三角形，不合題意，舍去a=b=2+，c=2時，因，故能構(gòu)成三角形sabc=×（2）×=綜上，abc的面積為1或【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理等知識點(diǎn)，本題中分類對a，b的值進(jìn)行討論，并通過計算得出三角形的形狀是解題的關(guān)鍵16（2016漢川市模擬）如圖，a、b、c、d為矩形的四個頂點(diǎn)，ab=16

30、cm，ad=6cm，動點(diǎn)p、q分別從點(diǎn)a、c同時出發(fā)，點(diǎn)p以3cm/s的速度向點(diǎn)b移動，一直到達(dá)b為止，點(diǎn)q以2 cm/s的速度向d移動（1）p、q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒？四邊形pbcq的面積為33cm2；（2）p、q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時？點(diǎn)p和點(diǎn)q的距離是10cm【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何動點(diǎn)問題；壓軸題【分析】（1）設(shè)p、q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到x秒時四邊形pbcq的面積為33cm2，則pb=（163x）cm，qc=2xcm，根據(jù)梯形的面積公式可列方程：（163x+2x）×6=33，解方程可得解；（2）作qeab，垂足為e，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，用t表示線段長，用

31、勾股定理列方程求解【解答】解：（1）設(shè)p、q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到x秒時四邊形pbcq的面積為33cm2，則pb=（163x）cm，qc=2xcm，根據(jù)梯形的面積公式得（163x+2x）×6=33，解之得x=5，（2）設(shè)p，q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時，點(diǎn)p，q間的距離是10cm，作qeab，垂足為e，則qe=ad=6，pq=10，pa=3t，cq=be=2t，pe=abapbe=|165t|，由勾股定理，得（165t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6答：（1）p、q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到5秒時四邊形pbcq的面積為33cm2；（2）從出發(fā)到1.6秒或4.8秒時，點(diǎn)p和點(diǎn)q的距離是10

32、cm【點(diǎn)評】（1）主要用到了梯形的面積公式：s=（上底+下底）×高；（2）作輔助線是關(guān)鍵，構(gòu)成直角三角形后，用了勾股定理17（2016濉溪縣三模）如圖，四邊形acde是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是rtabc和rtbed邊長，易知，這時我們把關(guān)于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”請解決下列問題：（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）若x=1是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形acde的周長是6，求abc面積【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；勾股定理的證明菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何圖形問題；壓軸題【分析】（1

33、）直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；（2）通過判斷根的判別式的正負(fù)來證明結(jié)論；（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關(guān)系先求得c的值，根據(jù)完全平方公式求得ab的值，從而可求得面積【解答】（1）解：當(dāng)a=3，b=4，c=5時勾系一元二次方程為3x2+5x+4=0；（2）證明：根據(jù)題意，得=（c）24ab=2c24aba2+b2=c22c24ab=2（a2+b2）4ab=2（ab）20即0勾系一元二次方程必有實(shí)數(shù)根；（3）解：當(dāng)x=1時，有ac+b=0，即a+b=c2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=63c=6c=2a2+b2=c2=4，a+b=2（a+b）2=a2+b2+2abab=2sabc=a

34、b=1【點(diǎn)評】此類題目要讀懂題意，根據(jù)題目中所給的材料結(jié)合勾股定理和根的判別式解題18（2014江西模擬）等腰abc的直角邊ab=bc=10cm，點(diǎn)p、q分別從a、c兩點(diǎn)同時出發(fā)，均以1cm/秒的相同速度作直線運(yùn)動，已知p沿射線ab運(yùn)動，q沿邊bc的延長線運(yùn)動，pq與直線ac相交于點(diǎn)d設(shè)p點(diǎn)運(yùn)動時間為t，pcq的面積為s（1）求出s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動幾秒時，spcq=sabc？（3）作peac于點(diǎn)e，當(dāng)點(diǎn)p、q運(yùn)動時，線段de的長度是否改變？證明你的結(jié)論【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；全等三角形的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何動點(diǎn)問題；壓軸題【分析】由題可以看出p沿ab向右運(yùn)動，

35、q沿bc向上運(yùn)動，且速度都為1cm/s，s=qc×pb，所以求出qc、pb與t的關(guān)系式就可得出s與t的關(guān)系，另外應(yīng)注意p點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，它不僅在b點(diǎn)左側(cè)運(yùn)動，達(dá)到一定時間后會運(yùn)動到右側(cè)，所以一些問題可能會有兩種可能出現(xiàn)的情況，這時我們應(yīng)分條回答【解答】解：（1）當(dāng)t10秒時，p在線段ab上，此時cq=t，pb=10t當(dāng)t10秒時，p在線段ab得延長線上，此時cq=t，pb=t10（4分）（2）sabc=（5分）當(dāng)t10秒時，spcq=整理得t210t+100=0無解（6分）當(dāng)t10秒時，spcq=整理得t210t100=0解得t=5±5（舍去負(fù)值）（7分）當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動秒時，sp

36、cq=sabc（8分）（3）當(dāng)點(diǎn)p、q運(yùn)動時，線段de的長度不會改變證明：過q作qmac，交直線ac于點(diǎn)m易證apeqcm，ae=pe=cm=qm=t，四邊形peqm是平行四邊形，且de是對角線em的一半又em=ac=10de=5當(dāng)點(diǎn)p、q運(yùn)動時，線段de的長度不會改變同理，當(dāng)點(diǎn)p在點(diǎn)b右側(cè)時，de=5綜上所述，當(dāng)點(diǎn)p、q運(yùn)動時，線段de的長度不會改變【點(diǎn)評】做此類題應(yīng)首先找出未知量與已知量的對應(yīng)關(guān)系，利用已知量來表示未知量，許多問題就會迎刃而解19（2014亳州一模）端午節(jié)期間，某食品店平均每天可賣出300只粽子，賣出1只粽子的利潤是1元經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零售單價每降0.1元，每天可多賣出100只

37、粽子為了使每天獲取的利潤更多，該店決定把零售單價下降m（0m1）元（1）零售單價下降m元后，該店平均每天可賣出300+100×只粽子，利潤為（1m）（300+100×）元（2）在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)m定為多少時，才能使該店每天獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多？【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】銷售問題；壓軸題【分析】（1）每天的銷售量等于原有銷售量加上增加的銷售量即可；利潤等于銷售量乘以單價即可得到；（2）利用總利潤等于銷售量乘以每件的利潤即可得到方程求解【解答】解：（1）300+100×，（1m）（300+100×）（2）令（

38、1m）（300+100×）=420化簡得，100m270m+12=0即，m20.7m+0.12=0解得m=0.4或m=0.3可得，當(dāng)m=0.4時賣出的粽子更多 答：當(dāng)m定為0.4時，才能使商店每天銷售該粽子獲取的利潤是420元并且賣出的粽子更多【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解總利潤的計算方法，并用相關(guān)的量表示出來20（2012孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：（2）若x1，x2是原方程的兩根，且|x1x2|=2，求m的值，并求出此時方程的兩根【考點(diǎn)】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)

39、版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判別式=b24ac的符號來判定該方程的根的情況；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2=（m+3），x1x2=m+1；然后由已知條件“|x1x2|=2”可以求得（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=8，從而列出關(guān)于m的方程，通過解該方程即可求得m的值；最后將m值代入原方程并解方程【解答】（1）證明：=（m+3）24（m+1）=（m+1）2+4，無論m取何值，（m+1）2+4恒大于0，原方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根（2）x1，x2是原方程的兩根，x1+x2=（m+3），x1x2=m+1，|x1x2

40、|=2（x1x2）2=（2）2，（x1+x2）24x1x2=8，（m+3）24（m+1）=8m2+2m3=0，解得：m1=3，m2=1當(dāng)m=3時，原方程化為：x22=0，解得：x1=，x2=，當(dāng)m=1時，原方程化為：x2+4x+2=0，解得：x1=2+，x2=2【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式=b24ac當(dāng)0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0，方程沒有實(shí)數(shù)根21（2012房山區(qū)一模）已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2（4k+1）x+3k+3=0 （k是整數(shù)）（1）求證：方程有兩個不相等

41、的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1，x2（其中x1x2），設(shè)y=x2x1，判斷y是否為變量k的函數(shù)？如果是，請寫出函數(shù)解析式；若不是，請說明理由【考點(diǎn)】根的判別式；解一元二次方程-公式法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題；壓軸題【分析】（1）根據(jù)一元二次方程定義得k0，再計算=（4k+1）24k（3k+3），配方得=（2k1）2，而k是整數(shù)，則2k10，得到=（2k1）20，根據(jù)的意義即可得到方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）先根據(jù)求根公式求出一元二次方程kx2（4k+1）x+3k+3=0 的解為x=3或x=1+，而k是整數(shù)，x1x2，則有x1=1+，x2=3，于是得到y(tǒng)=3（1+）=2【解

42、答】（1）證明：k0，=（4k+1）24k（3k+3）=（2k1）2，k是整數(shù)，k，2k10，=（2k1）20，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：y是k的函數(shù)解方程得，x=，x=3或x=1+，k是整數(shù)，1，1+23又x1x2，x1=1+，x2=3，y=3（1+）=2【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式=b24ac：當(dāng)0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0，方程沒有實(shí)數(shù)根也考查了利用公式法解一元二次方程22（2012重慶模擬）某水果經(jīng)銷商銷售一種水果，如果每千克盈利1元，每月可售出5000千克經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若

43、每千克漲價0.1元，月銷售量將減少400千克現(xiàn)該經(jīng)銷商要在批發(fā)這種高檔水果中保證每月盈利5060元，同時又要價格盡可能的低，那么每千克應(yīng)漲價多少元？【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】銷售問題；壓軸題【分析】設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，得出月銷售量將減少400×千克，再由盈利額=每千克盈利×月銷售量，依題意得方程求解即可【解答】解：設(shè)每千克應(yīng)漲價x元，依題意得方程：（5000400×）（1+x）=5060，整理，得200x250x+3=0，解這個方程，得x1=0.1，x2=0.15又要價格盡可能的低，應(yīng)取x=0.1答：每千克應(yīng)漲價0.1元【點(diǎn)評】此題主要考查了

44、一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)盈利額=每千克盈利×月銷售量，得出等式方程是解題關(guān)鍵23（2007青海）先閱讀，再填空解答：方程x23x4=0的根是：x1=1，x2=4，則x1+x2=3，x1x2=4；方程3x2+10x+8=0的根是：x1=2，則x1+x2=，x1x2=（1）方程2x2+x3=0的根是：x1=，x2=1，則x1+x2=，x1x2=；（2）若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，且a，b，c為常數(shù)）的兩個實(shí)數(shù)根，那么x1+x2，x1x2與系數(shù)a，b，c的關(guān)系是：x1+x2=，x1x2=；（3）如果x1，x2是方程x2+x3=0的兩個根，根據(jù)（2）所得結(jié)論

45、，求x12+x22的值【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法；根與系數(shù)的關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題；閱讀型【分析】（1）解方程求出方程的兩個根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和，與兩根之積；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=，x1x2=；（3）利用完全平方公式把x12+x22變化成（x1+x2）22x1x2的形式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求值【解答】解：（1）2x2+x3=0，（2x+3）（x1）=0，x1=，x2=1，x1+x2=，x1x2=；故填空答案：，1，（2）x1+x2=，x1x2=；故填空答案：，（3）解：根據(jù)（2）可知：x1+x2=1，x1x2=3，則x12+x22=（x1+

46、x2）22x1x2=（1）22×（3）=7【點(diǎn)評】本題是一個信息題，通過閱讀題目所給材料，然后根據(jù)材料解決題目問題，注意題目中每個小題的聯(lián)系，在解題的過程中善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵24（2005揚(yáng)州）某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】銷售問題；壓軸題【分析】設(shè)每千克水果應(yīng)漲價x元，得出日銷售量將減少20x千克，再由盈利額=每千克盈利&#

47、215;日銷售量，依題意得方程求解即可【解答】解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價x元，依題意得方程：（50020x）（10+x）=6000，整理，得x215x+50=0，解這個方程，得x1=5，x2=10要使顧客得到實(shí)惠，應(yīng)取x=5答：每千克水果應(yīng)漲價5元【點(diǎn)評】解答此題的關(guān)鍵是熟知此題的等量關(guān)系是：盈利額=每千克盈利×日銷售量25（1997南京）小明將勤工儉學(xué)掙得的100元錢按一年定期存入銀行，到期后取出50元用來購買學(xué)習(xí)用品，剩下的50元和應(yīng)得的利息又全部按一年定期存入若存款的年利率保持不變，這樣到期后可得本金和利息共66元，求這種存款的年利率【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】

48、應(yīng)用題；壓軸題【分析】可以設(shè)存款利率為x，第一年提取50元后存款為100×（1+x）50=50+100x，第二年后可得存款為（50+100x）（1+x）=66，求方程的解即可【解答】解：設(shè)存款利率為x，則第一年提取50元后存款為100×（1+x）50，根據(jù)題意第二年的存款為66元，可列方程為：100×（1+x）50×（1+x）=66，解得x=0.1=10%或x=1.6（舍去）答：這種存款的年利率為10%【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程26已知：關(guān)于x的方程有實(shí)根（1）求a取值

49、范圍；（2）若原方程的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，且，求a的值【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計算題【分析】（1）設(shè)=y，分兩種情況討論，方程為一元一次方程，方程為二元一次方程，那么有（a21）y2（2a+7）y+11=0，根據(jù)0即可求解；（2）設(shè)y1=，y2=，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解【解答】解：設(shè)=y，當(dāng)方程為一次方程時，即a21=0 a=±1當(dāng)方程為二次方程時，a210 則a±1，原方程可化為：（a21）y2（2a+7）y+11=0，=b24ac=（2a+7）24（a21）×110，40a228a930，解得：a；（2）設(shè)y1=，y2=

50、，則y1，y2是方程（a21）y2（2a+7）y+11=0的兩個根，y1+y2=，解得：a=或a=10（舍去）a=【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行解題27（2011南充自主招生）已知abc的一條邊bc的長為5，另兩邊ab、ac的長是關(guān)于x的一元二次方程x2（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實(shí)數(shù)根，（1）求證：無論k為何值時，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）k為何值時，abc是以bc為斜邊的直角三角形；（3）k為何值時，abc是等腰三角形，并求abc的周長【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程-因式分解法；根的判別式；等腰三角形的判定；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題；探究型【分析】（1