【精品】數(shù)學建模論文1

1、對儲油罐的變位識別與罐容表標定的研究摘要本文是一個研究儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。針對問題一，我們運用了微積分知識，采用微元法對其建立了一個微積分模 型。首先，我們分別對罐體無變位和有傾斜角為q的縱向變位兩種情況運用微積 分知識對其建立了基于機理分析的數(shù)學模型；接著，對這兩種情況下的模型進行 比較分析研究，建立出罐體變位后對罐容表影響的基于機理分析的數(shù)學模型；然 后，針對附件中所提供的罐體無變位和傾斜角為。=4.1。的縱向變位兩種情況做的 實驗數(shù)據(jù)，利用spss軟件對其建立了罐體變位后對罐容表影響的基于數(shù)據(jù)擬 合分析的數(shù)學模型；其次，對從機理分析和基于數(shù)據(jù)擬合分析兩種角度建立的數(shù) 學模

2、型進行比較分析后確定岀相對更合理的是基于機理分析的數(shù)學模型；再次， 根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)對我們確定出的模型進行了檢驗與修正，得到了更為合理的 修正后的最終模型；最后，利用matlab軟件把不同高度值代入最終模型求解 岀了罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值，其結(jié)果為：油位高度為 1cm時，罐容表標定值為1.4185l ;油位高度為40cm時，罐容表標定值為 960.82l ;油位高度為120cm時，罐容表標定值為4029.47l。針對問題二，我們綜合采用了微元法、拆分法、等效法和投影法，對其建立 了基于微積分的實際罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型。首先，我們對實際罐體 無變位時的情況建立了

3、基于微積分的數(shù)學模型；然后，結(jié)合罐體無變位時的情況綜合運用微元法、拆分法、等效法和投影法建立了實際罐體存在變位時的數(shù)學模 型；接著，我們先嘗試了利用matlab軟件用最小二乘法對其數(shù)學模型求解， 但由于求解比較困難而且基本上無法計算，對此我們采用一種近似的搜索算法結(jié) 合在excle中進行vb編程來對其進行求解確定其變位參數(shù)，求解結(jié)果為： 2.4。、隨后，我們又采取了一種將兩端的球冠體合并在一起近似為類似 的橢球冠的簡便方法來對變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值進行確 定，其結(jié)果為：油位高度為10cm時，罐容表標定值為610.772l ;油位高度為 100cm時，罐容表標定值為18942

4、.11l ;油位高度為300cm時，罐容表標定值 65970.53lo最后，我們對模型進行了檢驗和可靠性分析，驗證了模型的正確性 與可靠性。本文的特色在于，綜合運用了微元法、拆分法、等效法、投影法、最小二乘 法、搜索算法等方法和spss軟件、matlab軟件和vb編程等，問題一中對 模型建立上從基于機理分析和數(shù)據(jù)擬合分析兩方面進行了對比分析，對模型的確 定上進行了層層優(yōu)化與修正，并對模型進行了驗證，得到了最終的更為合理的修 正模型；問題二中運用微積分知識建立了精確的數(shù)學模型，對其求解上采用了搜 索算法和橢球冠等效進行了近似求解，最后并對模型進行了檢驗和可靠性分析， 驗證了模型的正確性與可靠性。

5、關鍵詞：微元法 拆分法 數(shù)據(jù)擬合搜索算法靈敏度分析-問題的提出通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的 “油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等 數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應關系）進行實時 計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生 縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)牛改變。按照有關規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形 狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是英罐體縱向傾斜變位的示意

6、圖，圖3是罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。請你們用數(shù)學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。（1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩 端平頭的橢鬪柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為"4. 1。的縱向變位兩種情況 做了實驗，實驗數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容農(nóng)的 影響，并給出罐體變位后汕位高度間隔為lcm的罐容表標定值。地平線油位探針油位探測裝置油浮子油位戶度二模型的假設j出汕管m6m注檢 油查（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型, 即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度q和橫向偏轉(zhuǎn)

7、角度0）之間 的一般關系。請利用罐體變位后在進/出油過程屮的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2）, 根據(jù)你們所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給岀罐體變位后油位高度間隔為 10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗你們模 型的正確性與方法的可靠性。1>2、3、4、5、假設儲訕躍扁摩屢本計t吧 丄也假設罐容表圭要是由儲油鐲颯腐施正需堰窗狀和是否變位決定曲 假設儲油罐的只會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)；假設在儲油罐變位后，儲油罐的尺寸和幾何形狀不變；假設地理及變形等原因會影響儲油罐的變位三符號的說明v：儲油罐的體積測量到儲油罐內(nèi)油位高度h2:傾斜后儲油罐內(nèi)油位的等效高度l：儲油罐的長度厶：

8、儲油罐油位探針入測點到油罐邊緣的距離/?：球冠體的半徑a :儲油罐縱向傾斜角0：儲油罐橫向傾斜角四、模型的建立與求解4.1問題一模型的建立與求解4.1.1問題總體分析.，、木問題耍求我們針對小橢i員i型儲油罐，結(jié)合其分別對罐體無變位和傾斜角為a = 4.1的縱向變位兩種情況做的實驗數(shù)據(jù)，建立具數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為lcni的罐容表標定值。對此, 我們擬定，首先分別對罐體無變位和冇傾斜角為q的縱向變位兩種情況運用微積 分知識對其進行機理分析，分別對其建立基于機理分析的數(shù)學模型；其次，對這 兩種情況下的模型進行比較分析研究，建立出罐體變位后對罐容表影響

9、的基于機 理分析的數(shù)學模型。然后，針對附件屮所提供的罐體無變位和傾斜角為6z = 4.1°的縱向變位兩種 情況做的實驗數(shù)據(jù)，對其進行數(shù)拯擬合分析，分別建立其基于數(shù)拯擬合分析的數(shù) 學模型；接著，對這兩種情況下的模型進行比較分析研究，建立出罐體變位后對 罐容表影響的基于數(shù)據(jù)擬合分析的數(shù)學模型。最后，對從基于機理分析和基于數(shù)據(jù)擬合分析兩種角度建立的數(shù)學模型，進 行比較分析，用基于數(shù)據(jù)擬合分析建立的數(shù)學模型來檢驗與修正基于機理分析建 立的數(shù)學模型，從而確定出最終的更為合理、更為可行的罐體變位后對罐容表影 響的數(shù)學模型。4.1.2基于機理分析的數(shù)學模型的建立與求解（1）罐體無變位時基于機理分析

10、的數(shù)學模型的建立與求解 罐體無變位時基于機理分析的數(shù)學模型的建立stepl：建立如圖1所示坐標系，設圖1屮其橢圓形截面的長半軸為a,短半軸為b,罐內(nèi)油位高度為儲油罐長度為l。dv = sdys=2xlstep3：建立橢i員i方程式:+3=1a"b2(1.1)(1.2)(13)step4：在閉區(qū)間0, hj上作定積分求儲油量：(1.4)% = f sdy綜上所述，我們建立以下罐體無變位時基于機理分析的數(shù)學模型: 砒=sdys = 2xl£a 2 b2x = £' say 罐體無變位時基于機理分析的數(shù)學模型的求解stepl：根據(jù)橢圓方程式(1.3)求解出兀，得

11、到:x = b2-(y-b)2bstep2：將求解出的x值與s的表達式(1.2)代入式(1. 1),求解出=2厶上新-(y-勿陰 b匕=f *ylb2-(y-b)2dystep3：采用換元法，求解儲油量：根據(jù) +=,又 *+()f)=,則令:ct by-b = bsinl口j得：y = b + bsin tdy = bcostdt y-bt = arcsin 則:rcsinvbcost bcostdt怙晉陽丄(),說_ 2alb2dl o 嚴csin 零 2 j=bcos" tdtb hresin年 1 + cos 2t ,tf2=tzz?larcsin - + + sin(2 ar

12、csin ) 一 sin(；r) b 22b 2.b 7i h、_b l h b 21=ablarcsm + + ji-(門b 2/? v b綜上所述，我們得出罐體無變位時基于機理分析的罐容表：v)= 6z/?l arcsinh、bb(1.5)其中：為儲油量，0為罐內(nèi)油位高度，l為儲油罐長度,a為橢圓形截面的長半軸，b為短半軸。（2）罐體發(fā)生傾斜角為喇縱向變位時基于機理分析的數(shù)學模型的建立與求解罐體發(fā)生傾斜角為q的縱向變位時基于機理分析的數(shù)學模型的建立當罐體發(fā)牛傾斜角為。的縱向變位吋，其儲油量的確定將因其罐內(nèi)油位高度 位置的不同而不同，對此我們以罐內(nèi)油位高端截面為參考面，分如圖2所示的三 個區(qū)

13、段分別對其儲油量進行確定。圖2軸向切面區(qū)段圖1°、罐內(nèi)油位高度在之間時罐容表模型的建立stepl:建立如圖3所示坐標系和示意圖，其中：qg = h、, fq = 2bstep2：將垂直罐底的油位高（hj轉(zhuǎn)換為水平狀態(tài)下的油位高（hq 利用其儲油體積相同，又由于英俯視圖如圖4所示：曲積分中值定理的相關知識，可運用其面積轉(zhuǎn)化思想。上可得出其兩 端的長度和與等效的矩形面兩端的長度和相等，即aw + bu2dd", 又因英體積相同，則由積分屮值定理的相關知識有其矩形而積與其梯形而 積相等,bij：v 一 «° ekoc °abocsaboc=boac）

14、l（1.6）v -hi°ekoc - n2bo = h + 厶 tanaac = bo -lianastep3：將比代入式（15）建立其罐容表模型:.h2 b 7i h2_b i hjb2v, =6z/?lfarcsin- + + 1-（ 一）b 2 b b綜上所述，我們建立以下罐內(nèi)油位高度在m|m2之間時罐容表的數(shù)學模型:v/. h-b 兀 h.-b i h-bvl = cz/?larcsin= + + = a/l-(= b2 b bsekoc = s aboc<s 碗廠 *30 +ac) lv -hi°ek0c bo = h + 厶 tan aac = bo-lt

15、ana2°、罐內(nèi)油位高度低于cm】時罐容表模型的建立stepl：建立如圖5所示坐標系和示意圖step2：將垂直罐底的油位高（0）轉(zhuǎn)換為水平狀態(tài)下的油位高（hjs/xabo = s ek01step3：將丹2代入式（1.5）建立其罐容表模型:其推理過程與油位高度在mm2z間的情況類同，最終可建立以下罐內(nèi)油位高度低于cm】時罐容表的數(shù)學模型：.h 2_b 7i h 2 b i b 21 % = "uarcsin一 + +一 j1 一 （一門 b 2 b bv =只abo _ ekol< sbo =bo bocotas ekoa = h2lbo = h + 厶 tan a3

16、°、罐內(nèi)油位高度高于cm?時罐容表模型的建立stepl：建立如圖6所示坐標系和示意圖step2：將垂直罐底的油位高(比)轉(zhuǎn)換為水平狀態(tài)下的油位高(h?)q = c°aabj _ ° ekpjstep3：將比代入式(1.5)建立其罐容表模型:其推理過程與油位高度在之間的情況類同,最終可建立以下罐內(nèi)油位高度高于cm,時罐容表的數(shù)學模型為:v = tz/?larcsinbib+冬+邑二(牛藝門sub丿二 sekpjsbj =aj2cosasekpj =(2b - h?)laj = (2b-hl) + (l-ll)tana罐體發(fā)生傾斜角為q的縱向變位時基于機理分析的數(shù)學模

17、型的求解1°、罐內(nèi)油位高度在之間時罐容表模型的求解stepl：根據(jù)式(1.6)將厲轉(zhuǎn)換為水平狀態(tài)下的油位高(w2)：f/2l = 2(hj + 厶 tan a)-l tan alh? = h、+ 厶 tana lianastep2：將求解岀的h畀弋入式（1.5）求解出其罐容表模型:i|i|a/】+厶 tana一厶tana-bh +1 tana一一 ltan-/? i厶 tana一厶tana-b« 曲gin+£+-2'1-(j冋b2bb2°、罐內(nèi)油位高度低于cm】時罐容表模型的求解其求解過程與油位高度在mm2之間的情況類同，最終可求解出罐內(nèi)油位高1

18、 口 1_h +厶 tana-b1-(j)2b度低tcm時得罐容表模型為:+-ltana-b 托 -h+-ly tana-/?vj =abcot a(hl + 厶 tan(z)arcsin+ b2b3°、罐內(nèi)油位高度高于時罐容表模型的求解其求解過程與油位高度在之間的情況類同，最終可求解出罐內(nèi)油位高zyb-詈仙-耳）+（厶）如盯1-（也:）2度高于cm丄時得罐容表模型為:竽（乃一耳）+（厶_厶）伽肝1警（乃-厲）+（厶-厶）呦訶v； =d 龐（arcsin叢;+-+仏 兩種無法克服的系統(tǒng)誤差1°當油的液面低于q點后，就不能測量出油的體積，即當0=0以下的油的 體積存在誤差，不

19、能測量出其油的體積，該不能測量的體積即為楔形pb0 的體積，也即為誤差體積。將英參考前而罐內(nèi)油位高度低于cm】時罐容表模型，對英進行求解可得其 誤差體積：1z nqo nai/1 f 0.01125-0.4 7i 0.01125-0.4 （0.01125-0.4）10.420.4 v i 0.4 丿=0.00863m32°當油的液面高于f點后，就不能精確測量出油的體積，即h=2b以上的油 的體積存在誤差，不能精確測量出其油的體積，該不能精確測量的體積即為 楔形afj的體積，也即為誤差體積。將其參考前面罐內(nèi)油位高度高于cm?時罐容表模型，對其進行求解可得其謀羌體積:v, =0.89x0

20、.6x2.45x1385-0.6 7i 1.1385-0.6 iarcsin1+j1-20.60.6（1.1385 0.6、0.6 丿4.056/其儲油量整體開始出現(xiàn)誤差的臨界體積為：v = 7rabl-v =0.89x0.6x2.45-4.056 = 0.0541（3）罐體變位后對罐容表影響的基于機理分析的數(shù)學模型的建立與求解嶺=db/jarcsi n且一+比 » h -（勺 與（無變位）b 2 b b縱向傾斜角為a時：h、+ 厶 tana一ltana-bir）2j（厶一厶）tana v & <2/?- tana lit：h +厶 tana一ltana方h、+ 厶 t

21、ana一一ltana-bv = dbllarcsin+h1h2h0<h <（l-厶）lana時：-h. +-l tana-/? hx +-l tana-/? j -h, +-ltanabv； =abcota（h + 厶 tana）arcsin + i-（-x jh2bb"一厶伽時：方一型（% 耳）+ （厶一厶）tana2（-/1）+（l-£,）tana2型（功_盡）+（乙一厶）tanafb半h嚴0時存在的謀差體積：v； = 0.00863/ 、"|h嚴2b時存在的誤羌體積：v； = 4.05亦v； = dblfarcsin 孔；+|+也” 1-（亠；）

22、24.1.3基于數(shù)據(jù)擬合分析的數(shù)學模型的建立與求解（1）罐體無變位時基于數(shù)據(jù)擬合分析的數(shù)學模型的建立與求解 運用spss軟件對無變位進油情況下的數(shù)據(jù)進行擬合分析 stepl：數(shù)據(jù)預處理儲油量二罐內(nèi)油量初值+累加進油量且將儲油量單位化為亦,油位高度化為mstep2：運用spss軟件對其進行數(shù)據(jù)擬合分析我們將油位高度作為自變量，儲油量作為因變量，在spss中運用曲線冋歸，分別擬合出其線性模型、對數(shù)模型、逆模型、復合模型、指數(shù)模型、幕模型等多種曲線，其各種模型擬合結(jié)果和擬合曲線如下：各種模型擬合結(jié)果o observedbnear logarthmcaverseyo nipound -power. 5

23、growth exponential -4-otstocdedendent variable:儲油里fauationmndpl imrrv)rvparamptprr sauarefdf1df2simconsta rdb1linear.99723058.53c176.000-.3453.868logarithmic.9441284.018176.0003.2782.059inverse.763245.098176.0003.704-.782compound.901694.289176.000.4319.336power.99515665522176.0003.6721.284s.9541581.

24、387176.0001.652-.531growth.901694289176.0008422.234expo nential.901694.289176.000.4312.234logistic.901694.289176.0002.322107the indeoendent variable is 油滸高席step3：比較分析，確定最佳擬合模型由于回歸方程的擬合優(yōu)度"越接近1,擬合效果越好；冋歸方程的顯著性f值越大越好；回歸系數(shù)的顯著性sig值應小于0. 05；對此通過以上指標對各種模型擬合結(jié)果進行對比分析后，可知擬合出的線性模型其r2 =0.997, f=23058.530,

25、sig二0,為最佳擬合模型。up：% = 0.354+ 3.86 附step4：模型檢驗對擬合出的模型進行殘差分析檢驗，其殘差分析圖如下:qod e3 patsadx 山從殘差分析圖屮，我們可以看出其散點基木都在直線上或直線附近，均勻分布,可說明變量z間呈線性分布，驗證了模型的合理性和有效性。 運用spss軟件對無變位出油情況下的數(shù)據(jù)進行擬合分析 stepl：數(shù)據(jù)預處理運用上面擬合的模型確定出罐內(nèi)油量初值=1.1507 v, =4.1069儲油量二罐內(nèi)油量初值-累加出油量月將儲油量單位化為亦,油位高度化為加step2：運用spss軟件對其進行數(shù)據(jù)擬合分析并確定最佳擬合模型同無變位進油情況完全類

26、似，將油位高度作為自變量，儲油量作為因變 量，在spss中運用曲線冋歸，并對各種模型擬合結(jié)果進行對比分析，最終確定 其最佳擬合模型為：% =-0.229 + 3.910/,step3：模型檢驗同無變位進油情況完全類似，在其殘差分析圖中其散點基本都在直線上或直 線附近，均勻分布，說明變量之間呈線性分布，驗證了模型的合理性和有效性。比較分析得出罐體無變位時基于數(shù)據(jù)擬合分析的數(shù)學模型通過比較分析兩種情況下擬合出的模型，由于都呈線性模型，我們最后采用 了通過計算平均值的方法來確定了其罐體無變位時基于數(shù)據(jù)擬合分析的最終數(shù) 學模型：v, =-0.287 + 3.889/,（2）傾斜角6z = 4.1

27、76;的縱向變位時基于數(shù)據(jù)擬合分析的數(shù)學模型的建立與求解 運用spss軟件對傾斜變位進油情況下的數(shù)據(jù)進行擬合分析同無變位進油情況完全類似，我們可得到其最佳擬合模型為：=-0.78 + 4.178/, 運用spss軟件對傾斜變位岀油情況下的數(shù)據(jù)進行擬合分析同無變位出油情況完全類似，我們可得到其最佳擬合模型為：v, =-0.831 + 4.209/, 比較分析得出傾斜角0 = 4.1°的縱向變位時基于數(shù)據(jù)擬合分析的數(shù)學模型 同理，通過比較分析兩種情況下擬合出的模型，由于都呈線性模型，我們最 后采用了通過計算平均值的方法來確定了其罐體傾斜角q = 4.1°的縱向變位時基 丁數(shù)據(jù)擬

28、合分析的最終數(shù)學模型：叫= 0.8055 + 4.19350（3）罐體傾斜角& = 4.1°的縱向變位吋對罐容表影響的基于數(shù)據(jù)擬合分析的數(shù)學模型的建立與求解 模型的建立我們假設0。、$為無變位時的油位高度和儲油體積，0、為變位后的油位高度和儲油體積。我們假定當h10 = h時，變位后對儲油體積的影響,存在變位系數(shù)為k,變位常數(shù)為b的影響。則：罐體傾斜角& = 4.1°的縱向變位時對罐容表影響的基于數(shù)據(jù)擬合分析的數(shù)學 模型為：v1（）=3.889hi0-0.287"v, =-0.8055 + 4.1935/7, 模型的求解由上面建立的模型可求解出：k

29、 = 1.0783 b = -0.496則罐體傾斜角a = 4.1°的縱向變位時對罐容表影響為：% =1.0783%（）0.4964.1.4模型的檢驗與修正對從機理分析和基于數(shù)據(jù)擬合分析兩種角度建立的數(shù)學模型進行比較分析 由于對于無變位時的罐容表是相對精確的，而存在變位時的罐容表卻有一定 的誤差，還不夠精確。對此我們特意對存在變位吋的罐容表進行了比較分析。對于罐體發(fā)生傾斜角為q的縱向變位吋基于機理分析的數(shù)學模型存在因油 位高度不同而儲油量模型不同的原因，對此我們應確定其三區(qū)段的臨界值，在圖 2屮，我們可以很容易求得其臨界值：cm】處分界點的高/ =0.1469/?/c'm?處

30、分界點的高h = 1.171m然后，根據(jù)英高度與臨界值的比較可確定英所對應的模型，隨后代入模型就可以 求得其對應高度下的儲油量 ,我們稱此儲油量為儲油量的理論值。將其油位高度代入基于數(shù)據(jù)擬合求得的模型，將得到對應的儲油量嶺的擬合值。然后將其儲油量的理論值與其對應的儲油量的擬合值進行比較分析， 可得其對比圖如下：間隔lcm時儲油量嶺的理論與擬合曲線由附件1確定出的儲油量的理論與擬合值（1為儲汕量的擬合illi線，2為儲汕量的理論illi線）由對比圖可以清楚地看出擬合曲線在始末兩端出現(xiàn)嚴重的誤差與實際情況 相悖，對此可知基于機理分析的數(shù)學模型更合理，更符合實際情況。對基于機理分析的數(shù)學模型進行修正

31、由附件1確定出的儲油量的理論與擬合值對比圖可知，其理論值都相對 略高于其擬合值，對此我們首先做岀每個高度對應儲油量的理論與擬合值的隨 機誤差:隨機誤差二儲油量嶺的理論值-儲油量的擬合值然后，求出其平均隨機誤差0,利用這平均隨機誤差£做為我們的修正值， 因為其曲線都呈線性，則只需要對其平移即可，于是得到其修正模型為：修正模型二原模型 -平均隨機誤差£這里求得其平均隨機誤差0二0. 093596986,并做出了其修正后儲油量嶺的理 論與擬合值的對比圖如下所示：修正后儲油量的理論與擬合值的對比圖1為儲油量的擬合曲線，2為儲油量的理論曲線，由對比圖可以清晰的看出修止后取得的良好效果

32、，對此可以更加說明其修正后模型的更合理性與準確 性。 對基于機理分析的數(shù)學模型進行檢驗為了檢驗修正后模型的合理性與可靠性，我們對其修正前與修正后的值與所 給測量數(shù)據(jù)進行了方差分析，得到其修正前后的方差為：修止前的方差為：0. 00915202 修正后的方差為：0. 00040475對此我們可以清晰地看出修正后模型的合理性與可靠性，驗證了修正后模型 的合理與可靠。4.1.5計算結(jié)果與標定綜合問題一的全部分析，可得出其最終修正后更為合理的關于罐體變位后對 罐容表影響的的數(shù)學模型lt罟珂佇卜（罟門（無珈縱向傾斜角為a時:(l一厶)tana< <2/? 厶 tana時：1 + 人 lan

33、a廳 lian a-b+ 人 tan a牙 laan a 一b i+ 人 lan al tan a 一b匕=("心arcsin2+-+2j 1-(2)2-0.093596986b2bbo</( <(l-/1)tana時：丄/,+-厶(ana-b-hx+-llana-b i -/.+-厶l“na_b6+二+ l 1一( l門一0.093596986b2hh方-罟（%-仏）+（厶）伽燈v；=（姐 arcsin紐bm厶 tana</¥| 時:學(”_j+(l_a)tan 2學(%_j+(1_/jtana2篁111-(也尸 j-0.093596986hh為h產(chǎn)0時

34、存在的誤強體積：« = 0.00863/h4 當h產(chǎn)2/?時存在的誤差體積：v； = 4.05&j利用matlab軟件把不同高度值代入最終模型求解罐體變位后油位高度間隔為 lcm的罐容表標定值（見附錄一，下表為其中的一部分）變位后油位高度間隔lcm罐容表標定值序號vi理論hl/m10.001418514020.0030417180.0130.0054429810. 0240.0087149930. 0350.012940440. 04 1173.9482677531. 161183.9717144321. 171193.9928624881. 181204.012295336

35、1. 191214.0294705171.24. 2、問題二模型的建立與求解4. 2.1問題總體分析木問題要求我們針對實際儲油罐，建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型, 即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度efu橫向偏轉(zhuǎn)角度0 ）之間 的一般關系；并利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2）, 根據(jù)所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的 罐容表標定值；且利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗模型的止確性與方法 的可靠性。對此，我們擬定首先對罐體無變位時的情況進行分析建模，對其建模過程 中運用微積分知識對其進行建模，并把罐體拆分為主體的i員i柱體和

36、兩端的球冠體 兩部分進行分別求體積，最后再合并表示總體積。在對其主體的圓柱體部分求解 時，我們可直接利用問題一建立的模型進行求解；在對其兩端球冠體部分求解時 我們將用微元法對其準確求解；最后再合并起來建立和求解出罐體無變位時的罐 容表。然后，我們再對其罐體存在變位時的情況進行分析建模，對其建模的主耍 思想是通過巧妙的建立坐標系和相關轉(zhuǎn)化，使之將存在變位時的情況傳化為與罐 體無變位時類似的情況，其中有關縱向傾斜角度q和橫向偏轉(zhuǎn)角度0的知識時， 我們利用立體空間和映射的知識進行分解與合并，從而使之將存在變位吋的情況 很好地轉(zhuǎn)化為與罐體無變位吋類似的情況，最后再利用前一步得岀的罐體無變位 時的罐容表

37、來求解出罐體存在變位時的罐容表。在利用罐體變位后在進/出油過程屮的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2）,根據(jù)所建 立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)時，我們將先假定出變位參數(shù)，然后再利用搜索算法 搜索出最優(yōu)的變位參數(shù)，使得用變位參數(shù)求出的數(shù)據(jù)與所給實際檢測數(shù)據(jù)差距最 小。隨后再利用所求得的變位參數(shù)代入建立的數(shù)學模型中，得出罐體變位后油位 高度間隔為10cm的罐容表標定值。最后，再利用附件2屮的實際檢測數(shù)據(jù)與我們模型求得的數(shù)據(jù)進行分析對 比，從其波動情況（方差）、穩(wěn)定性和靈敏度分析等角度檢驗模型的正確性與方 法的可靠性。4. 2. 2模型的建立（1）實際罐體無變位時的數(shù)學模型的建立stepl：對屮間圓柱體的體積匕進行確

38、定由問題一建立的模型可知，只需令問題一中的a=b = r即可求出其對應的° h、 r 7t h r i 了 h、一 r 21v, = /?larcsin!+ + jl-(!)-r 2 r n rstep2：建立如圖7所示坐標系與示意圖step3：用微元法求兩個球冠體的體積微元d«,根據(jù)微積分的知識可得:dv = 2sdys = -7i 1 -(y-/?)2180 l v 71.53step4：以左邊球罐體為例建立其曲線對應函數(shù)：x2+(y-/?)2+(z-0.5)2=lstep5：在閉區(qū)間0,上作定積分求兩個球冠體的體積：(2. 1)(2.2)% 2sdystep6：確定儲

39、油罐的體積v :v = v,+v2綜上所述，我們建立以下實際罐體無變位時的數(shù)學模型：v=vl+v2-iv2 = /?2larcsin h'r 71 h'r dv = 2sdys180 l 2丿a 0.5 1 cos 0 -=一1.53兀 2+(y_ 町+(z_0.5)2 =1 % = f 2sdy（2）實際罐體存在變位時的數(shù)學模型的建立建立坐標體系建立如圖8的坐標系，z軸為水平軸向右上方傳動g度，x軸為水平軸向 前上方轉(zhuǎn)動0度，由于y軸即垂直于x軸也垂直于z軸，根據(jù)圖9可知y軸圖9向左后方轉(zhuǎn)動了圖8則冇：tan / =a(2.3)v tan q =c b tan 0 =兩個球冠

40、體的體積的確定stepl：建立左右邊球冠體的曲線對應函數(shù)：左邊球冠體的曲線：（y-町+心-0.5）2=7?2右邊球冠體的曲線：（y -町+ （-厶+ 0.5）2二f（2.4）step2：用微元法求兩個球冠體的體積微元d«,根據(jù)微積分的知識可得：dv = sdy(2.5).e o e1 i 180- 180& = $ cos 丄= 70.533step3：作儲油罐在xy平面的投影如下圖，確定厲與h的關系wp = h , gq = h, og=t h,ow = ogcos0 =(r-hjcos0,(2.6)wp=r-0w(2.7)cq = gqcnmnstep5：確定v中間柱體的

41、體積卩2的確定丹20與00的關系同問題一,即當液高低于cm1時，/o =丄(丹10 +厶伽a), 口底氏厶=(h|o +厶tan&)cotq<2/當液高高于 cm1 低于 cm2 時，/2() = h()+ 厶 tan <7-ltan a/2當液高高于 cm2 時，/20 = 2/?-2/?-h10+(l-ll)tan22<zstep2：由儲油罐在xy平面的投影，確定與丹口的關系比嚴 r_(r_h"cos0step3：確定嶺由圖叫知 a】=hu sin a , c】=hl0 cos a , bx = hn sin p , cx = hu cos 0h = j

42、dj + /?j2 + c2 , a2 = w20 sin a , c2 = w20 cos a f b2= h2i sin 0 , c2 = h2l cos 0 h2 =+z?22 +c22 ,代入公式口j得：v2 = /?2 larcsin邑豈+ - +邑豈 匸匹石r 2 b v r 儲油罐的總體積v的確定7=+72(2.8)綜上所述，我們建立以下實際罐體存在變位時的數(shù)學模型:v=vi+v2h2q = hq +厶tana-ltana/2 (液高高于cm】低于cm?時)（液高高于cm?時）h2=r_(r_hjcos0 ax = hg sin a, q = 7/i0 cos a, b、= h

43、i sin 0, q = h cos 0 h =jaf+b；+cf a2 = h20 sin a, c2 = /20 cos a b2 = h2 sin 0，c2 = h2l cos0 h2+ /?22 + c22tan y = 'q；batan cr =ca btan /?=(y 町+qoh)" (y-町+(e-厶+ 0.5=f jvj = sdy0-ars cos = 70.533o w = og cos 0 = (r - 耳)cos /?h =r-owcq = gqcnmnmn = cd lianacn = l,gq = h,qn =厶mnrcdsxdv +4. 2.

44、3模型的求解（1）實際罐體無變位時的數(shù)學模型的求解stepl：根據(jù)c賂罟斗推耐70.53。step2：根據(jù)表達式（2.1）求解“磊-町創(chuàng)= 4.924(y 叭 +心2_”3|= 4.924(l_f)a+昭2_討3step3：根據(jù)表達式(2.2)求解vv = 4.924（1 疋）厲+昭2討3 +尺2厶血csin綜上所述，我們得出實際罐體無變位時的罐容表:v = 4.924 (1_/)/+叭_丄比+ /?2lfarcsinh、rr71 + +2（2）實際罐體存在變位時的數(shù)學模型的求解stepl：根據(jù)式（2. 3）求解tany=5/tan2 a + tan2 /3step2：根據(jù)式(2.4)求解 z

45、、z2防 jf_(y_ 町+0.5z2 =町 +l-0.5step3：根據(jù)式(2.6)求解hh 二 r (r hjcos0step4：根據(jù)式（2.7）求解 mn、cdmn =hll-llj icd =l tan ql l、step5：根據(jù)式（2.8）求解% = 0兀(護2_©_町2 +05)0/-ltanady+ l 7i 180_(y_町-t-l-0.52 -cly18() *step6：求解匕5罟號中忤rstep7：求解 vy =嚴4強2_(),_ 町 +0.5)hl2 eh2 r 7i h2 r i h2 7? 2i+ r - l arcsm + + jl-( ) jr 2 b

46、 rdy+ 廬 皿"4/?2_（,_尺）2 + 厶一0 5t/y1803綜上所述，我們得出實際罐體存在變位時的罐容表:+旳心罟+分罟卜豊環(huán)4. 2. 4變位參數(shù)的確定與變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值的確定（1）利用搜索算法對變位參數(shù)進行確定問題要求我們利用罐休變位后在進/dy由過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2）, 根據(jù)所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，由于其數(shù)學模型求解比較復雜，利用 matlab軟件用最小二乘法基本無法計算，對此我們將采用一種近似的搜索算法來進行求解，先假定出變位參數(shù)，然后再利用搜索算法搜索出最優(yōu)的變位參數(shù),使得用變位參數(shù)求出的數(shù)據(jù)與所給實際檢測數(shù)據(jù)差距最小。利

47、用搜索算法對變位參數(shù)進行確定的數(shù)學模型的建立目標分析：由于其數(shù)學模型求解比較復雜，對此我們將采用一種近似的搜索算法 來進行求解，結(jié)合最小二乘法的原理，以其用變位參數(shù)求出的數(shù)據(jù)與 所給實際檢測數(shù)據(jù)作羌，再進行求平方和，使其總的羌距最小，即：min y =（v_v）2w為用變位參數(shù)代入模型求出的體積，v為所給實際檢測的體積約束分析：stepl：對所給實際檢測的體積v進行處理通過對所給數(shù)據(jù)表的深入觀察和研究后，發(fā)現(xiàn)單純的顯示油量容積存在較 大誤差，對此以第一組數(shù)據(jù)為準，先通過油高確定出初始油量，然后通過進出油 量確定出罐體內(nèi)油量，即：7+v進-step2：用變位參數(shù)代入模型求出理論體積v宀廬彳缺_卜

48、_町+o.5侖心，+廬“列/ -（y-町+厶-0.5盒dy + rgsin罟+爭晉卜（罟門其中由g、0值可確定出表達式的各變量，然后再代入求出的變量就可以整體求 解岀理論體積v，綜上所述，我們可得出利用搜索算法對變位參數(shù)進行確定的數(shù)學模型:miny = (v-v)2v"初+v進-v出hl / i2 nv丄產(chǎn)刑宀b-町+0.5）而dy+廬町+厶_0.5）2需嚴+嚴厶亦站魚二理+蘭+邑二£匸匡環(huán)r 2 b r利用搜索算法對變位參數(shù)進行確定的數(shù)學模型的求解通過在excle屮進行vb編程（源程序見附錄二）可得到其最優(yōu)的變位參數(shù)為:& = 2.4°、0 = 0.8&

49、#176;（2）變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值的確定利用上面所求得的變位參數(shù)代入建立的數(shù)學模型中，便可得岀罐體變位后 油位高度間隔為10cm的罐容表標定值，但由于其精確的數(shù)學模型求解比較困難, 對此我們對其進行了近似處理，把兩端的球罐體合并在一起近似為類似的橢球 冠，然后再按原模型同機理的方法進行求解，便可以較好地求出其油位高度間隔 為10cm的罐容表標定值，其油位高度間隔為10cm的罐容表標定值為：間隔10cm罐容表理論計算值h1近似vh1近似vh1近似v00. 00051.121.65842. 252. 19500. 10. 61081.224. 43572.354.62490

50、.21.74161.327. 25822.456. 92050.33. 20981.430.11062.559.05840.44. 94311. 532. 97782.661.01120.56. 89571.635. 84502.762. 74510.69. 03351. 738.69722.864.21450.711. 32921.841.51962.965. 34820.813. 75941.944. 2967365. 97050.916. 3033247.0128118. 94212. 149.65144. 2. 5模型的檢驗與可靠性分析(1)模型的正確性檢驗通過對附件二中顯示油高和顯示

51、油量容積運用spss軟件進行擬合，可得到線性模型 =-7.373 + 26.4680,并以10cm為間隔分別用擬合模型和理論模型求出對應的并畫出曲線，其曲線圖如2由曲線圖可知在厲<0.5或者耳2.6吋，擬合曲線存在很大的變差，因此,我們只用0.5 <7/ 2.6內(nèi)的數(shù)據(jù)用理論與擬合的方差表示其波動性，用其波動情 況檢驗英模世的正確性，其求得的波動表格為：驗證波動性h1v理論v擬合v理論-v擬合0.56.8956575. 8611.07051610.69.0335328. 50780.276394130. 711. 3292411. 15460.030498120.813. 7593

52、813. 80140.00176560.916.3032816. 44820.02100306118.9421119. 0950.023373911. 121. 6584321.74180.006949751.224.4357424. 38860.002222381.327. 2582427. 03540.049655851.430.1105929. 68220. 183521571.532. 977832. 3290.420936591.635. 8449734. 97580. 755452861.738.6972437. 62261. 154842941.841.5195840. 26941.562961711.944. 296742.91621.90577641247.0127945. 5632. 101886382.