【數(shù)學(xué)】第十八屆華杯賽初賽試卷_小學(xué)高年級(jí)組解析

1、第十八屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽第十八屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽 初初賽賽試題試題 c（小學(xué)高年級(jí)組）（小學(xué)高年級(jí)組） （時(shí)間: 2013 年 3 月 23 日） 一、選擇題一、選擇題 (每小題 10 分, 滿(mǎn)分 60 分. 以下每題的四個(gè)選項(xiàng)中, 僅有一個(gè)是正確的, 請(qǐng)將表示正確答案的英文字母寫(xiě)在每題的圓括號(hào)內(nèi).) 1. 如果（其中 m與n 為互質(zhì)的自然數(shù)） , 那么 m+n 的值是 （ ） . （a）1243 （b）1343 （c）4025 （d）4029 解答：b。 在考試中，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê苤匾?。這道題，看到這道題后，我第一個(gè)想法就是歸納。 、寫(xiě)完前三個(gè)，發(fā)現(xiàn)第二個(gè)算式很不和諧，又寫(xiě)出

2、了第四個(gè)，仔細(xì)一想，原來(lái)第二個(gè)可以寫(xiě)成，規(guī)律找到了，分子是原式中分子部分的一個(gè)因數(shù)，分母比分子大 3！答案一定是，很簡(jiǎn)單，第一題是很容易的年份題，等等，年份 2013 這個(gè)數(shù)是我們非常熟悉的，2013=31161，是 3 的倍數(shù)，那么加 3 不還是 3 的倍數(shù)么？可以約分，所以最后的答案是所以選 b！ 如果本題需要詳細(xì)的過(guò)程，那么用規(guī)納的方法是不合適的，因?yàn)檫@是不完全歸納法，你這么知道前幾個(gè)適用的情況下，最后的 2013 也適用呢，所以最正確的方法是這樣思考：如果這道題直接計(jì)算，分別算出分子分母，然后必然需要一個(gè)約分的過(guò)程（從選項(xiàng)可以看出） ，那么就太麻煩了，如果不計(jì)算出最后結(jié)果就可以約分，是

3、件好事兒，那么轉(zhuǎn)化分子還是轉(zhuǎn)化分母呢？我們都知道，當(dāng)分子分母都是乘法的形式，是比較好約分的，所以要轉(zhuǎn)化分母，要在分母中“湊”出 2013.具體過(guò)程是這樣的： 這個(gè)題做完了，很容易得分的一道題，也是容易馬虎的一個(gè)題，如果不仔細(xì)讀題，忽略了“m與n 為互質(zhì)的自然數(shù)” ，那么就容易把答案寫(xiě)成 d。 2. 甲、 乙、 丙三位同學(xué)都把 25 克糖放入 100 克水中混合成糖水, 然后他們又分別做了以下事情: 最終,（ ）得到的糖水最甜. （a）甲 （b）乙 （c）丙 （d）乙和丙 解答：c。 根據(jù)題意和我們所學(xué)過(guò)的公式，可以分別求出三人得到的糖水的最終濃度！ (1) 甲配得的糖水含糖率：; (2) 乙配

4、得的糖水含糖率：; (3) 丙配得的糖水含糖率：. 所以，丙最甜！其實(shí)我們還可以用另一種方法來(lái)解答，如果對(duì)概念理解的比較清晰的話(huà)，我們可以知道，向共同的糖水中加另一種糖水，加的糖水的濃度越大，糖水質(zhì)量越多就越甜。甲又加入的是濃度為：20%的糖水 50 克 乙又加入的是濃度為 20（20+30）=40%的糖水 50 克 丙又加入的是濃度為 2（2+3）=40%的糖水 100 克 很明顯，丙往里面加的糖水更甜，更多，所以最甜的一定是丙。 3. 一只青蛙 8 點(diǎn)從深為 12 米的井底向上爬, 它每向上爬 3 米, 因?yàn)榫诖蚧? 就會(huì)下滑 1米, 下滑 1 米的時(shí)間是向上爬 3 米所用時(shí)間的三分之一

5、. 8 點(diǎn) 17 分時(shí), 青蛙第二次爬至離井口 3 米之處, 那么青蛙從井底爬到井口時(shí)所花的時(shí)間為（ ）分鐘. （a）22 （b）20 （c）17 （d）16 解答：a。 無(wú)論上還是下，每一米所用的時(shí)間都是一樣的，根據(jù)題意，每向上爬 3 米會(huì)下降 1 米，我們列一個(gè)表格。 青蛙實(shí)際高度 3 2 5 4 7 6 9 8 9 11 10 12 向上爬 3 0 3 0 3 0 3 0 1 2 0 2 向下滑 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 從上表可以看出，當(dāng)?shù)诙蔚竭_(dá)了離井口 3 的地方的時(shí)候，青蛙運(yùn)動(dòng)了，34+1+14=17米。而當(dāng)這只青蛙跳出井口的時(shí)候共走了 35+2+15=22

6、 米。根據(jù)題意 171722=22 分鐘。 再加入 50 克含糖率 20%的糖水. 再加入 20 克糖和 30 克水. 再加入 100 克糖與水的比是2:3 的糖水. 4. 已知正整數(shù) a 分解質(zhì)因數(shù)可以寫(xiě)成, 其中、 是自然數(shù). 如果a的二分之一是完全平方數(shù), a的三分之一是完全立方數(shù), a的五分之一是某個(gè)自然數(shù)的五次方, 那么 的最小值是（ ）. （a）10 （b）17 （c）23 （d）31 解答：d。 根據(jù)“a 的二分之一是完全平方數(shù)”可以知道， （-1） 、都是 2 的倍數(shù)。 根據(jù)“a 的三分之一是完全立方數(shù)”可以知道，、 （-1） 、都是 3 的倍數(shù)。 根據(jù)“a 的五分之一是某個(gè)自

7、然數(shù)的五次方”可以知道，、 （-1）都是 5 的倍數(shù)。 同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件的的最小值恰好是3,5=15；的最小值恰好是2,5=10； 的最小值恰好是2,3=6。所以， 的最小值是 15+10+6=31。 5. 今有甲、乙兩個(gè)大小相同的正三角形, 各畫(huà)出了一條兩邊中點(diǎn)的連線(xiàn). 如圖, 甲、乙位置左右對(duì)稱(chēng), 但甲、乙內(nèi)部所畫(huà)線(xiàn)段的位置不對(duì)稱(chēng). 從圖中所示的位置開(kāi)始, 甲向右水平移動(dòng), 直至兩個(gè)三角形重疊后再離開(kāi). 在移動(dòng)過(guò)程中的每個(gè)位置, 甲與乙所組成的圖形中都有若干個(gè)三角形. 那么在三角形個(gè)數(shù)最多的位置, 圖形中有（ ）個(gè)三角形. （a）9 （b）10 （c）11 （d）12 解答：c。 可以把所

8、有的情況都畫(huà)出來(lái)然后通過(guò)比較找出三角形最多的圖形， 再仔細(xì)的數(shù)一下，發(fā)現(xiàn)有 11 個(gè)，所有的圖如下： 還有一種辦法， 如果沒(méi)有三角形內(nèi)部的兩條線(xiàn)搗亂的話(huà)， 那么這個(gè)題就簡(jiǎn)單多了，我們從簡(jiǎn)單的情況入手！當(dāng)沒(méi)有三角形內(nèi)部的兩條線(xiàn)時(shí)， 這兩個(gè)三角形在移動(dòng)的過(guò)程中， 最多可以有8 個(gè)三角形（如圖 1） ，在這種情況下再按照題中條件，再添兩條線(xiàn)，在不與已有邊重合的情況下，至少多 2 個(gè)三角形（如圖 2） ，而最多只能多 3 個(gè)（如圖 3） 。 6. 從 111 這 11 個(gè)整數(shù)中任意取出 6 個(gè)數(shù), 則下列結(jié)論正確的有（ ）個(gè). 其中必有兩個(gè)數(shù)互質(zhì); 其中必有一個(gè)數(shù)是其中另一個(gè)數(shù)的倍數(shù); 其中必有一個(gè)數(shù)

9、的 2 倍是其中另一個(gè)數(shù)的倍數(shù). （a）3 （b）2 （c）1 （d）0 解答：b。 對(duì)于“任意必有”這樣的語(yǔ)句，應(yīng)該考慮到“抽屜原理” 。如果需要證明結(jié)論正確的話(huà)，那就要構(gòu)造抽屜，而抽屜的個(gè)數(shù)，應(yīng)該是小于 6 的！看題： 第一句說(shuō)必有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，如果這是正確的話(huà)，那么就要構(gòu)造出小于 6 的抽屜，且每一組抽屜中的數(shù)一定是兩兩互質(zhì)的，而很容易想到，每相鄰的兩個(gè)數(shù)都是互質(zhì)的，所以可以這樣構(gòu)造（1,2,3） （4,5） （6,7） （8,9） （10,11）其實(shí)構(gòu)造的方法不是唯一的，還有很多構(gòu)造方法如： 【 （1,3,4） （2,9） （8，11） （5，6） （7,10） 】 ； 第二句很容易舉出

10、反例， （6、7、8、9、10、11）最大的六個(gè)數(shù)就沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系，同樣的還有： （4、5、6、7、9、11） ； 第三句，根據(jù)第二句話(huà)的反例，可以看出，第三句話(huà)是成立的，那么就要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明一下，還是要構(gòu)造抽屜，按照什么構(gòu)造呢，可以按照 1 到 11 中的 5 個(gè)質(zhì)因數(shù)來(lái)構(gòu)造 5 個(gè)抽屜，1 放在哪個(gè)抽屜里都可以,（1,2,4,8） （3,6,9） （5,10） （7） （11）這五個(gè)抽屜中，要任意取6 個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中，就必滿(mǎn)足其中一個(gè)數(shù)的 2 倍是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。 所以有兩句是正確的，最后的答案是 b。 二、填空題二、填空題 (每小題 10 分, 滿(mǎn)分 40 分) 7. 有四個(gè)

11、人去書(shū)店買(mǎi)書(shū), 每人買(mǎi)了 4 本不同的書(shū), 且每?jī)蓚€(gè)人恰有 2 本書(shū)相同, 那么這 4個(gè)人至少買(mǎi)了_種書(shū). 解答：7。 從簡(jiǎn)單的情況思考，若只有兩個(gè)人，那么為了符合題意，一定有 6 本不同的書(shū)，我們可以給這 6 本數(shù)編號(hào)為 1、2、3、4、5、6，那么設(shè)甲買(mǎi)的是 1、2、3、4，乙買(mǎi)的是 1、2、5、6.這時(shí)候又來(lái)了第三個(gè)人，我們稱(chēng)呼他為丙，這是丙為了符合題意，他可以選擇不買(mǎi)其他的書(shū)，他買(mǎi)編號(hào)為 3、4、5、6 也符合題意，這時(shí)要注意的是，當(dāng)三個(gè)人，只買(mǎi) 6 本書(shū)的時(shí)候，當(dāng)甲、乙買(mǎi)的書(shū)確定之后，丙購(gòu)買(mǎi)的編號(hào)是唯一的，就是丙不能買(mǎi)甲、乙都買(mǎi)的書(shū)，如果他買(mǎi)了一本甲乙都買(mǎi)的書(shū)，那么他就必須再買(mǎi)一本他

12、自己“獨(dú)有”的書(shū)！列一個(gè)表格讓我剛才說(shuō)的更清晰： 1 2 3 4 5 6 甲 乙 丙 把 3 個(gè)人的情況弄明白之后，看四個(gè)人的，這時(shí)丁來(lái)了，站在剛才丙的角度思考，他至少要有一本“獨(dú)有”的書(shū)了，所以 4 個(gè)人的時(shí)候至少是 7 本，可以給出構(gòu)造如下： 1 2 3 4 5 6 7 甲 乙 丙 丁 即甲買(mǎi)的書(shū)編號(hào)為（1, 2, 3, 4）, 那么乙買(mǎi)的書(shū)的編號(hào)為（1, 2, 5, 6）, 為使種數(shù)最少, 丙買(mǎi)的書(shū)的編號(hào)為（3, 4, 5, 6）, 此時(shí)丁可以買(mǎi)（1, 3, 5, 7）. 8. 每天, 小明上學(xué)都要經(jīng)過(guò)一段平路 ab、 一段上坡路 bc 和一段下坡路 cd （如右圖） . 已知 ab:b

13、c:cd = 1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比為 3:2:4. 如果小明上學(xué)與放學(xué)回家所用的時(shí)間比是(其中 m 與 n 是互質(zhì)的自然數(shù))，那么 m+n的值是 . 解答：35。 簡(jiǎn)單的賦值法可以計(jì)算出結(jié)果，設(shè) ab 是 100 米，那么 bc 的路程就是 200 米，cd 的路程就是 100 米；設(shè)小明平路的速度是 3 米/秒，那么他上坡路、下坡路上的速度就分別是 2米/秒、4 米/秒.根據(jù)賦值來(lái)計(jì)算， 小明上學(xué)的時(shí)間是： 小明放學(xué)回家的時(shí)間是： 所以時(shí)間比為！ 如果覺(jué)得賦值法不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑?huà)，那么可以設(shè), 則, ; 設(shè) , 則 , . 可以計(jì)算這些算式得： , , 所以 ，m

14、+n=35。 9. 黑板上有 11 個(gè) 1, 22 個(gè) 2, 33 個(gè) 3, 44 個(gè) 4. 做以下操作: 每次擦掉 3 個(gè)不同的數(shù)字,并且把沒(méi)擦掉的第四種數(shù)字多寫(xiě) 2 個(gè). 例如: 某次操作擦掉 1 個(gè) 1, 1 個(gè) 2, 1 個(gè) 3, 那就再寫(xiě)上2 個(gè) 4. 經(jīng)過(guò)若干次操作后, 黑板上只剩下 3 個(gè)數(shù)字, 而且無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行操作, 那么最后剩下的三個(gè)數(shù)字的乘積是 . 解答：12。 仔細(xì)閱讀題中所說(shuō)的操作，會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)論如何操作，任意兩種數(shù)的個(gè)數(shù)的差只有不變，加3 和減 3 三種情況！ （比如說(shuō) 1 和 2 的個(gè)數(shù)，無(wú)論怎樣操作，對(duì)于這兩個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)只有 3 類(lèi)情況，要么同時(shí)減少一個(gè)；要么 1 的個(gè)

15、數(shù)加 2 個(gè)，2 的個(gè)數(shù)少一個(gè)；要么 1 的個(gè)數(shù)少 1 個(gè)，2 的個(gè)數(shù)加 2 個(gè)） 。那么繼續(xù)，看 1 的個(gè)數(shù)和 2 的個(gè)數(shù)，用 2 的個(gè)數(shù)減去 1 的個(gè)數(shù)，他們的差是 22-11=11，11 除以 3 的余數(shù)是 2，那就是說(shuō)當(dāng)數(shù)字 2 的個(gè)數(shù)比 1 的個(gè)數(shù)多時(shí)，他們的差一定是除以 3 余 2 的； 但如果數(shù)字 1 的個(gè)數(shù)比 2 多的話(huà)， 那么這個(gè)差除以 3 的余數(shù)一定是 1，（可以試著操作幾次，讓 1 的個(gè)數(shù)多與 2 的個(gè)數(shù)） 。這樣都算下來(lái)比較麻煩，觀(guān)察一些特殊的，不用分類(lèi)討論的，可以發(fā)現(xiàn) 1 的個(gè)數(shù)和 4 的個(gè)數(shù)，它們的差是 33，正好是 3 的倍數(shù)，也就是說(shuō)，操作到最后，剩下的 1 的

16、個(gè)數(shù)和 4 的個(gè)數(shù)要么一樣多，要么個(gè)數(shù)差 3。再根據(jù)題意，最后只剩下 3 個(gè)數(shù)，如果 1 的個(gè)數(shù)為 3，那么 2 的個(gè)數(shù)必然為 2，不合題意。如果的個(gè)數(shù)為 3，而 1 和 2 不可能都為 0 個(gè)，所以操作到最后時(shí) 1 的個(gè)數(shù)和 4 的個(gè)數(shù)都只能為 0，而2 的個(gè)數(shù)一定是 2，那么 3 的個(gè)數(shù)就是 1，所以剩下的三個(gè)數(shù)是 2 個(gè) 2 和 1 個(gè) 3，他們乘積是12. 這個(gè)題， 說(shuō)了好多， 其實(shí)就是考察模 3 同余的問(wèn)題。 同余是數(shù)論問(wèn)題中比較難的一部分，而華杯中的數(shù)論問(wèn)題是不可缺少的，看完答案的同學(xué)，如果你可以走進(jìn)決賽，那就一定要在數(shù)論中再下一番功夫， 功夫的重點(diǎn)在用代數(shù)式的形式解決數(shù)論問(wèn)題，

17、還有就是同余的應(yīng)用等。 10. 如右圖, 正方形 abcd 被分成了面積相同的 8 個(gè)三角形, 如果dg = 5, 那么正方形 abcd 面積是 . 解答：64。 題中只給出了一個(gè)具體數(shù)據(jù) dg=5，要求出正方形的面積，我們可以用一個(gè)未知數(shù) x 作為過(guò)渡，找到 dg 和正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系，關(guān)系有了，就可以求出邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出面積。設(shè)邊長(zhǎng)是 8x。 所以 bi=ah， 若整個(gè)正方形的面積是 8 份的話(huà)， adh的面積是 1 份，ah 是 ab 的，即 ah=bi=2x，hi=4x，如果連接 ch，那么chi 的面積是cbi 的 2 倍，就是 2 份，而fhi 的面積是 1 份，所以 cf=fi，進(jìn)行不下去了，要向 dg 靠攏，所以做條輔助線(xiàn)：延長(zhǎng) fg交 dh 于 n, da 于 m （如右圖） 根據(jù)燕尾模型， dn=nh， 在梯形 cdhi中，cf=fi,dn=nh，所以 fn 與 cd、hi 平行（平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例） ，所以 dm=ma 平行后，fg 與 hi 之間的距離相等，而所以 fg=hi=4x 又因?yàn)槿切?fdg 的面積是三角形 dgn 面積的