第4章多層平板波導

1、2021年12月1日星期三1黃衍堂黃衍堂UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 2 2由于多層平板波導在模場分布、模式截止和功率約由于多層平板波導在模場分布、模式截止和功率約束等方面具有許多獨特的性質，因此，這種結構在束等方面具有許多獨特的性質，因此，這種結構在半半導體激光器、光波導定向藕合器、光波導偏振器導體激光器、光波導定向藕合器、光波導偏振器等波等波導器件中有著重要的應用。本章首先分析非對稱平板導器件中有著重要的應用。本章首先分析非對稱平板波導的色散性質，然后再討論對稱多層平板波導及其波導的色散性質，然后再討論對稱多層平板波導及其重要

2、特性，最后，利用傳輸型色散方程和微擾理論分重要特性，最后，利用傳輸型色散方程和微擾理論分析平板藕合波導及其重要性質。析平板藕合波導及其重要性質。 第章第章 UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 3 3 4 . 1 . 1 非對稱四層平板波導非對稱四層平板波導UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 4 4 1 轉移矩陣理論轉移矩陣理論對圖對圖 4 . 1 所示的四層平板波導，傳播常數(shù)所示的四層平板波導，傳播常數(shù)有兩種選擇：有兩種選擇：對于這種情況，可知導波層位于（對于這種情況，可知導波層

3、位于（ 0 , h1 + h 2）的范圍，）的范圍，即在中間兩層薄膜中電磁場都是振蕩的，而在覆蓋層和即在中間兩層薄膜中電磁場都是振蕩的，而在覆蓋層和襯底中，電磁場是指數(shù)衰減的。襯底中，電磁場是指數(shù)衰減的。 根據(jù)第根據(jù)第 3 章的理論，章的理論，UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 5 5 可立刻寫出矩陣形式的模式本征方程：可立刻寫出矩陣形式的模式本征方程：UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 6 6由式（由式（ 4 2 ）和式（）和式（ 4 3 ）兩式，非對稱四層平）兩式，非對稱四層

4、平板波導的模式本征方程由（板波導的模式本征方程由（4.1）可寫成較為熟悉的）可寫成較為熟悉的形式形式UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 7 7為說明模式本征方程（為說明模式本征方程（ 4 . 5 ）的物理意義，做以下處）的物理意義，做以下處理，令理，令:UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 8 8)tanarctan()(.2 , 1 , 0),arctan()arctan()(:),9 . 4()8 . 4(),5 . 4()9 . 4()tan(arctan)arctan()8

5、 . 4.(3 , 2 , 1 , 0),arctan(),6 . 4()7 . 4()p(arctan2122231022112121223222222smppmshhpmpmh式中可得下述方程和式式聯(lián)合式而可得由UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 9 9 考慮方程（ 4 . 10 ) ，發(fā)現(xiàn)該方程與簡單三層平板波導的模式本征方程（ 2 . 7 ）十分類似，除了一項中(s)之外，其他各項的意義是非常清楚的。UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 1010 而上式右邊一項表示光從 n

6、1介質射向 n2介質時的反射系數(shù)。因此，(s)可理解為一階反射子波的相位貢獻。 (s)是由兩種介質界面引起的一個反射量，該量的大小由兩種介質的折射率差決定。折射率差大，則(s)也大；折射率差小，則(s)也小。 綜合上述分析，可得以下重要結論：對多層平綜合上述分析，可得以下重要結論：對多層平板波導，不僅要考慮主波的相位貢獻，而且要板波導，不僅要考慮主波的相位貢獻，而且要考慮層間反射子波的相位貢獻?？紤]層間反射子波的相位貢獻。UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 1111UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期

7、三 共共2929頁頁 1212 2 場匹配理論場匹配理論設橫向電場分布為設橫向電場分布為UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 1313p.23UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 1414UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 1515 而方程（ 4 . 19 ）中左邊第二、三項前的振幅分別是主波從 n1 介質射向 n2介質和主波從n2介質射向 nl 介質時的反射系數(shù)。可見這兩項代表波導傳輸?shù)姆瓷渥硬?。主波與反射子波的相干疊加構成

8、了四層波導中的導波. 式（ 4 . 19 ）可約化為如下形式：UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 1616 4 . 1 . 2 非對稱多層平板波導UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 1717 對于如圖 4 . 3 所示的非對稱 l 十 2 層平板波導，只要推廣 4 . 1 . 1 節(jié)的結果，便可得到 TE 波的矩陣形式的模式本征方程: 式中，相應于第 i 層薄膜的轉移矩陣 Mi由下式表示UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁

9、1818化簡式（化簡式（ 4 . 23 ) ，容易得到，容易得到UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 1919 式中式（式（ 4 . 25 ）和式（）和式（ 4 . 26 ）兩式完全確定了非對）兩式完全確定了非對稱多層平板波導的色散性質。稱多層平板波導的色散性質。式式 ( 4 . 26 ）是一遞推公式，在）是一遞推公式，在 Pi + 1 已知的情況下，已知的情況下，才可求得才可求得 pi，并以此類推，最終才可求得，并以此類推，最終才可求得 p2。當。當 l = 2 時，多層平板波導退化為簡單的四層平板波導，時，多層平板波導退化為簡單的四層

10、平板波導，而式而式 ( 4 . 26 ）也退化為四層平板波導相應的公式）也退化為四層平板波導相應的公式（ 4 . 6 ）。）。UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 2020 為區(qū)別主波與子波的相位關系，令:UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 2121UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 2222式中式（ 4 . 34 ）是適用于任意多層平板波導的模式本征方程UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星

11、期三 共共2929頁頁 2323 4 . 2 . 1 對稱三層平板波導 設襯底和覆蓋層的折射率均為n，折射率為n 1 的導波層的厚度設為 2h 。于是三層對稱平板波導矩陣形式的模式本征方程為如下形式：UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 2424UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 2525 4 . 2 . 2 對稱五層平板波導UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 2626 對稱五層平板波導矩陣形式的模式本征方程為：式中式中UP

12、DOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 2727借用借用 4 . 2 . 1 節(jié)的結果，得節(jié)的結果，得UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 2828利用上述方法，完全可把以上結果推廣到對稱利用上述方法，完全可把以上結果推廣到對稱 2k + 1 ( k 為正整數(shù)）層平板波導，而且所得模式本征方程的形式與為正整數(shù)）層平板波導，而且所得模式本征方程的形式與三層平板波導完全一致，不同之處僅在于三層平板波導完全一致，不同之處僅在于 p的定義的定義UPDOWNBACK20212021年年1212月月1

13、 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 2929 五層平板波導約束電磁場的能力在一定條件下比三層平板波導強，利用這個性質可以制成性能良好的半導體激光器。 為了說明這一點，下面計算功率約束因子 r ，即波導芯子功率占總功率的百分比。波導芯子是指厚度為 2h1 的薄膜。定義UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 3030利用第 2 章中給出的 TE 模的場分布，代人式（ 4 . 56 ) ，并應用歸一化變量，可得UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 3131 4 . 2 . 3 “W”型波導UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 3232UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 3333UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 3434UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三 共共2929頁頁 3535UPDOWNBACK20212021年年1212月月1 1日星期三日星期三