2022年2022年教案拋物線的幾何性質(zhì)

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載拋物線的幾何性質(zhì)教案教學目標1引導同學運用對比 同橢圓.雙曲線 和類比 拋物線之間 的思想得到拋物線的幾何性質(zhì)2使同學初步把握有關(guān)拋物線問題的解題方法,培育同學嚴謹.周密的摸索問題的才能及抽象概括才能3通過對拋物線幾何性質(zhì)的探究,強化同學的留意力及新舊學問的聯(lián)系,樹立同學求真的士氣和自信心教學重點與難點得出拋物線幾何性質(zhì)的思維過程, 把握運用拋物線的幾何性質(zhì)去解決問題的方法教學過程一.復習提問師：我們已經(jīng)學習了橢圓及雙曲線的幾何性質(zhì),請同學們回憶一下, 為從哪幾個方面爭論的？生：爭論了范疇.對稱性.頂點.離心率.漸近線幾個問題師：在爭論幾何性質(zhì)

2、時,對曲線的方程有無限制？生：為在曲線的標準方程條件下爭論的 說明：課前印發(fā)如下表格,請同學填出橢圓.雙曲線幾何性質(zhì)在課上引導同學對比看,聯(lián)想拋物線y2=2px 的幾何性質(zhì),再“類比看”填出y2=-2px 及 x2=±2py 的幾何性質(zhì) 橢圓雙曲線拋物線標y2=2px精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 1準方程a>b>0 1a>b>0=1a>0 ,b>0=1a>0 , b>0p>0精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載圖象范疇對稱精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載性 頂點離心率漸近線

3、二.類比橢圓.雙曲線得出拋物線的幾何性質(zhì)師：請同學們拿出課前發(fā)的表,你為怎樣與橢圓. 雙曲線的幾何性質(zhì)相比較而得出拋物線的幾何性質(zhì)？ 說明：同學們爭論 師：對于方程 y2=2px 所示拋物線的范疇,你為如何得出的？生：由 p0 可知, x 的取值范疇為 x0,所以拋物線在 y 軸的右側(cè) 師：當 x 的值增大時,圖象為如何變化的？生：當 x 的值增大時, |y|也增大, 說明拋物線向右上方和右下方無限延長師：由方程 y2 =2px,觀看所表示的圖象為對稱圖形嗎？為什么？生：當以 -y 代 y,方程 y2=2px 值不變,所以此拋物線關(guān)于x 軸對稱,即拋物線 y2=2px 的對稱軸為 x 軸師：什

4、么叫曲線的頂點？生：曲線與坐標軸的交點叫曲線的頂點師：拋物線 y2 =2px 的頂點在什么位置？為什么？生：在方程 y2 =2px 中,當 x=0 時, y=0,所以頂點在坐標原點師： 強調(diào) 在一個特殊位置師：拋物線 y2 =2px 的離心率如何得到？生：由拋物線定義可知,離心率e=1師：與橢圓.雙曲線的幾何性質(zhì)相比較,拋物線的幾何性質(zhì)又有何區(qū)分 說明：讓同學觀看圖象,總結(jié)特點精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載師：從拋物線位置上看生：拋物線的圖象只位于半個坐標平面內(nèi)師：有無漸近線？生：盡管拋物線也可以無限延長,但沒有漸近線生： 發(fā)覺 拋物線只有一條對稱軸,這條對稱軸

5、垂直于拋物線的準線又有同學指出,這條對稱軸同頂點和焦點的連線重合師：很好！兩種說法同樣正確,只為從不同的角度觀看問題得到的,結(jié)論為一樣的 勉勵同學連續(xù)觀看 生：拋物線只有一個頂點,它為焦點到準線距離的中點生：拋物線無中心師： 小結(jié) 同學們爭論得很好,拋物線的其它標準方程y2 =-2px ,x2=2py, x2=-2py 也有類似的結(jié)論, 它們的頂點都在坐標原點, 一次項的變量如為x 或 y ,就 x 軸 或 y 軸 為拋物線的對稱軸, 一次項的系數(shù)的符號打算拋物線的開口方向, 正號打算開口方向和對稱軸所在坐標軸的方向相同,負號打算開口方向和對稱軸 所在坐標軸方向相反 說明：請同學們完成填表師：

6、在拋物線方程中,參數(shù)p 對圖象有何影響？我們不妨看拋物線 運算機演示描點法作出以上3 個圖象 如圖 2-53 同學可直觀看到 p 值越大,拋物線開口也越大理由,對于同一個x 值,它們對應的 y 值不同, p 值大, |y|也大精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載三.應用拋物線的幾何性質(zhì),進一步探尋其特點例 1用運算機打出 或投影儀打出 拋物線 y2=2px 的圖象,且有一條過焦點垂直于對稱軸的弦 如圖 2-54 生：這條弦很特殊師：拋物線中過焦點且垂直于對稱軸的弦,叫拋物線的通徑能否知道它的長度？生： 很快發(fā)覺 這條通徑的長為2p 師： 追問 你為怎樣得到的？生：分別

7、過點 a.b 作準線 l的垂線,垂足分別為d.c 可由運算機演示出,或在投影片中畫出 由拋物線定義知 |af|=|ad|=p ,|bf|=|bc|=p ,所以|ab| |af|+|bf|2p另有同學用不同方法：由于 a.b 兩點在拋物線上,又|ab|=|y1-y 2 | 2p師：小結(jié)兩種不同的方法,方法一用拋物線定義得出,較簡捷方法二由解析法得出,這種解題思想很好師：引導同學觀看,由方法一在圖中看到,得到矩形abcd如圖 2-55 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載生： 反應出 這個矩形為由兩個正方形afed.bfec組成的師： 夸獎同學善于觀看問題,發(fā)覺問題,繼而

8、再將問題引申 連結(jié) df.cf后, dfc=？師：很好 勉勵同學大膽探究,再將問題引申運算機演示圖形變化,ab過點 f 但與 x 軸斜交,引出例 2 例 2過焦點的弦 ab不垂直于對稱軸,此時可得到什么圖形？dfc=？生：分別過點 a.b 作準線的垂線,垂足為d.c,得到直角梯形abcd 如 圖2-56 同學爭論 由拋物線定義可知： |af|=|ad| ,|bf|=|bc| ,所以 1=2, 3=4,又知adef, bcef,所以 2= 5, 6=4, 所以 1= 5, 3=6,所以 2 5+6=180°,所以 5+6=90°,即 dfc90°精品學習資料精選學習

9、資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載師：小結(jié)：如 ab為拋物線 y2=2px 的一條過焦點 f 的弦, a,b 在此時,同學對拋物線的問題很感愛好,激發(fā)起同學探究的欲望 老師借題發(fā)揮,連續(xù)引導,發(fā)覺新問題師：同學們再想一想例 3 當拋物線的焦點弦與對稱軸垂直時,它的長度為 2p當它與對稱軸不垂直時,它與對稱軸的夾角為 ,此時焦點弦長如何？ 運算機演示圖形,如圖 2-57 師生爭論用解析法利用弦長公式求設拋物線方程為 y2=2pxp 0 , 就焦點弦所在直線方程為：設過焦點的弦與拋物線交于ax 1, y1 ,bx 2,y2 兩點,就精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎

10、下載2p 為拋物線 y2=2pxp 0 的通徑長 師：由此得到結(jié)論如拋物線過焦點的弦與對稱軸的夾角為,通為 練習 2 拋物線 y2=12x 中,一條焦點弦的長為16,就此焦點弦所在直線的傾角為 說明將此結(jié)果作為體會型結(jié)論可直接用于填選題,加快解題速度, 但作為證明題時不行直接用此結(jié)論師：請同學們連續(xù)觀看下題例 4拋物線 y2=2pxp 0 上任意一點 px 0,y0 到焦點 f 的距離 |pf|= ？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載師：與橢圓.雙曲線相對比,這實質(zhì)為拋物線的焦半徑公式112例 5過拋物線 y2 =2pxp 0 的焦點的弦與拋物線交于兩點ax ,y

11、,bx ,y2 ,就 y1 y2=？設過 f 的直線為 ab 留意此時應分類爭論 1當弦 ab斜率 k 存在ky2-2py-kp 2=02方程的兩根 y1,y2 分別為 a.b 兩點的縱坐標,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1·y2=-p2 當弦 ab斜率不存在時, aby 軸22由拋物線定義知, y1=-y 2 =p,所以 y1·y2=-p 綜上可知： y1· y2 =-p 此題有同學想出了另外的方法由 a.f.b 三點共線知2由于 y1y2,所以 y1· y2=-p 師：我們不僅要知道問題的結(jié)論,更要體會得到結(jié)論的過程所用的方法 說明此時課堂氣氛活躍,老師連續(xù)激

12、發(fā)同學的愛好,夸獎同學有積極探究問題的士氣 例 6以拋物線 y2 =2pxp 0 的焦點弦為直徑的圓與它的準線有何關(guān)系？ 同學一時看不出來 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載師： 引導 探究問題的思路往往從特殊到一般,此問題的實質(zhì)為直線與圓的位置關(guān)系特殊情形應為相切生： 立刻受到啟示 猜想以焦點弦為直徑的圓與它的準線相切師：如何證相切？生：只要證出 ab的中點到準線 l的距離等于 ab長的一半 請同學證明 取 ab的中點 m,過點 m作 mm l 于 m,分別過點 a.b 作準線 l的垂線,垂足分別為a, b,就 m為 ab中點, 如圖 2-58所以,以焦點弦為直徑

13、的圓與它的準線相切另有同學有不同的證法設 a.b 及 ab中點 m的橫坐標分別為 x1 和 x2,xm,由拋物線定義知|ab|=|af|+|bf|=|aa|+|bb |=|x 1+x2+p| 老師夸獎同學積極摸索問題,善于以不同角度去分析問題解決問題師：拋物線問題有它的實際應用價值例 7探照燈反射鏡的縱斷面為拋物線的一部分,燈口直徑為60cm,燈深 40cm,求拋物線的標準方程和焦點的位置師：在什么條件下,可求拋物線的標準方程生：適當建立平面直角坐標系精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載師生爭論, 在縱斷面內(nèi), 以反射鏡的頂點 即拋物線的頂點 為坐標原點, 過頂點垂直

14、于燈口直徑的直線為x 軸,建立平面直角坐標系 運算機演示建立坐標系的過程,如圖2-59 師：在直角坐標系中,已知條件中燈口直徑為60cm,燈深 40cm,表示什么位置？生：如圖 2-59 ,ab 為燈口的直徑 ,依據(jù)燈反射鏡的燈口直徑在圖中為垂直于對稱軸的弦ab,就 a 點的坐標為 40 ,30 師：由已知條件及在建立的坐標系下,如何求拋物線的標準方程？生：設拋物線的標準方程為y2=2pxp 0 只須求出 p,而由點 a40,30在拋物線上這一條件,很簡單求出p師：分析得很好 與同學一起完整寫出解題過程解在縱斷面內(nèi),以反射鏡的頂點 即拋物線的頂點 為坐標原點,過頂點垂直于燈口直徑的直線為x 軸

15、,建立直角坐標系,如圖2-60 運算機演示 設拋物線的標準方程為y2=2pxp 0 ,由于,點 a40,30 在拋物線上,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載師： 小結(jié) 由已知條件求拋物線的標準方程時, 第一要建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?再依據(jù)所具備的條件確定拋物線的標準方程的類型, 求出方程中的參數(shù) p四.小結(jié) 師生共同完成 1類比橢圓.雙曲線的幾何性質(zhì),得出了拋物線的幾何性質(zhì) 回憶所填的表2探究了拋物線的其它特性,在探尋的過程中運用了拋物線的定義及幾何性質(zhì)3在解題過程中,特殊留意合理運用分類爭論,化歸的數(shù)學思想五.布置作業(yè)第 98 頁練習及習題八設計說明 一 本節(jié)課

16、依據(jù)高中數(shù)學大綱培育同學的才能二次曲線為平面解析幾何的主要爭論對象,在教學時, 留意挖掘它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)分, 不要孤立地和靜止地看待拋物線因此在爭論拋物線的幾何性質(zhì)時采納對比的方法進行教學,讓同學對比橢圓. 雙曲線的幾何性質(zhì), 去探求拋物線的幾何性質(zhì), 在進行對比時, 要留意橫向和縱向兩種對比,也就為既要留意每種曲線內(nèi)部的對比,同時也要留意幾種曲線之間的對比 二 在課堂教學中,引導同學積極探究問題本節(jié)課引導與組織同學, 爭論拋物線的幾何性質(zhì), 而拋物線幾何性質(zhì)的爭論項目.方法和結(jié)果同橢圓. 雙曲線很類似 同學很自然地用類比的方法填充給出的表,不僅可以使 3 種圓錐曲線的性質(zhì)得到對比, 而且可以提高同學對新學問的探究才能在授課方式上,老師細心設計提問,以便引導同學去探究,去創(chuàng)新富有藝 術(shù)性的提問, 能啟發(fā)同學思維, 進展同學智力和培育同學才能而問題的設置要從同學的實際動身, 能被同學所接受, 又要富有啟示性, 能激發(fā)同學的學習愛好, 調(diào)動同學積極摸索, 有利于教學目標的實