期權(quán)與投資決策

1、第六章 期權(quán)與投資決策期權(quán)的基本概念期權(quán)價(jià)值的影響因素期權(quán)評(píng)價(jià)模型實(shí)際期權(quán)第一節(jié) 期權(quán)的基本概念一、期權(quán)的基本要素期權(quán)(option)是一種合約，它賦予持有人在規(guī)定的時(shí)間按規(guī)定的價(jià)格購(gòu)買或賣出一定數(shù)量的某種資產(chǎn)的權(quán)利。期權(quán)的持有者擁有的是權(quán)利，而不是義務(wù)。 期權(quán)合約包括以下一些基本的要素：1，基礎(chǔ)資產(chǎn)(underlying asset)，也稱為標(biāo)的資產(chǎn)，是指期權(quán)合約規(guī)定的持有人有權(quán)購(gòu)買或賣出的資產(chǎn)。常見的基礎(chǔ)資產(chǎn)包括：股票、貨幣、指數(shù)、債券、期貨等。2，執(zhí)行價(jià)格(exercise price, or striking price)：是指期權(quán)合約規(guī)定的持有人據(jù)以購(gòu)買或賣出基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格。3，到期

2、日(expiration date)：執(zhí)行期權(quán)的最后有效日期。4，權(quán)利類型： 看漲期權(quán)(call option)：它賦予持有人購(gòu)買基礎(chǔ)資產(chǎn)的權(quán)利。 看跌期權(quán)(put option)：它賦予持有人賣出基本資產(chǎn)的權(quán)利。5，美式期權(quán)與歐式期權(quán)： 美式期權(quán)(American option)：指在到期之前或到期日都可執(zhí)行的期權(quán)。 歐式期權(quán)(European option)：指只有在到期 日才可執(zhí)行的期權(quán)。二、期權(quán)交易1，交易市場(chǎng)：交易所(exchange)與場(chǎng)外市場(chǎng)（OTC，over-the-counter market)。期權(quán)交易所交易的一般是標(biāo)準(zhǔn)化的期權(quán)。而場(chǎng)外市場(chǎng)交易的期權(quán)要素可以按交易雙方的需要

3、確定。利率期權(quán)和貨幣期權(quán)的場(chǎng)外交易非?；钴S。2，期權(quán)的買方與賣方： 期權(quán)的買方常稱為期權(quán)的持有人。 期權(quán)的賣方有時(shí)也稱為寫約人(writer)，他只有義務(wù)，而沒有權(quán)利。3，期權(quán)價(jià)格(option price)：期權(quán)價(jià)格有時(shí)也稱為期權(quán)費(fèi)(option premium)，指期權(quán)的買方為獲得期權(quán)而向賣方支付的價(jià)格。這個(gè)價(jià)格是由市場(chǎng)決定的。4，期權(quán)的履約：期權(quán)交易的履約有三種方式： 對(duì)沖； 執(zhí)行期權(quán)； 自動(dòng)失效。5，期權(quán)交易的保證金：在期權(quán)交易中，期權(quán)的買方不需要保證金。期權(quán)交易的賣方由于沒有權(quán)利、只有義務(wù)，所以為了保證其不違約，必須交納保證金。保證金又因賣出的期權(quán)是有保護(hù)的期權(quán)或無(wú)保護(hù)的期權(quán)而不同。

4、第二節(jié) 影響期權(quán)價(jià)值的因素一、期權(quán)在到期日的價(jià)值 在到期日，期權(quán)持有者只有兩種選擇： 執(zhí)行期權(quán)； 過(guò)期作廢。 因此，期權(quán)在到期日的價(jià)值取決于期權(quán)基礎(chǔ)資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格與期權(quán)執(zhí)行價(jià)格的關(guān)系。下面，以股票期權(quán)為例。1，看漲期權(quán)下面，使用下列符號(hào)：E：期權(quán)執(zhí)行價(jià)格；S：股票的市場(chǎng)價(jià)格；r：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；t：期權(quán)的有效期限（以年為單位）；C：看漲期權(quán)的價(jià)格；P：看跌期權(quán)的價(jià)格。C*S*E看漲期權(quán)在到期日的價(jià)值： C*=MaxS*-E，02，看跌期權(quán)看跌期權(quán)在到期日的價(jià)值： P*=MaxE-S*，0P*S*E二、影響期權(quán)價(jià)值的因素首先分析股票看漲期權(quán)。影響期權(quán)價(jià)值的因素主要有以下幾種：1，股票的市場(chǎng)價(jià)格S股票

5、價(jià)格越高，則S-E越大，因此，期權(quán)的價(jià)格越高。2，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格E執(zhí)行價(jià)格越高，則S-E越小，期權(quán)的價(jià)格越小。 期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值(intrinsic value)：內(nèi)在價(jià)值=MaxS-E，0 期權(quán)價(jià)格的上下限上限：看漲期權(quán)的價(jià)格不可能超過(guò)作為其基礎(chǔ)資產(chǎn)的股票的價(jià)格，因此，股票的市場(chǎng)價(jià)格是看漲期權(quán)的上限。 C S-E.e-rt證明：考慮兩個(gè)投資組合：組合A：看漲期權(quán)+金額為E.e-rt的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資；組合B：一股股票。 實(shí)值期權(quán)、平值期權(quán)和虛值期權(quán)實(shí)值(in the money)：SE；平值(at the money)：S=E；虛值(out of the money)：SE。即實(shí)值期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為正

6、，平值期權(quán)和虛值期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為零。E.e-rtCS3，期權(quán)的有效期限t：期權(quán)的有效期限越長(zhǎng)，看漲期權(quán)的價(jià)格越高。即：如果t1t2，則C(t1)C(t2)注意，這種關(guān)系對(duì)美式期權(quán)成立，但對(duì)歐式期權(quán)則不一定。4，股票價(jià)格的波動(dòng)性：看漲期權(quán)的持有人在股票價(jià)格上漲到超過(guò)執(zhí)行價(jià)格時(shí)會(huì)獲利，而當(dāng)股票價(jià)格下降到低于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，最大的損失是支付的期權(quán)價(jià)格。因此，股票價(jià)格的波動(dòng)性越大，看漲期權(quán)的價(jià)格越高。5，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r：利率的變動(dòng)對(duì)看漲期權(quán)有兩種影響，一是對(duì)股票價(jià)格的影響，二是對(duì)執(zhí)行價(jià)格現(xiàn)值的影響。從對(duì)執(zhí)行價(jià)格現(xiàn)值的影響來(lái)看，無(wú)利率越高，執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值越小，期權(quán)的價(jià)格越高。6，股票的現(xiàn)金股息d：如果在期權(quán)的

7、有效期內(nèi)，股票支付現(xiàn)金股息，除息后股票價(jià)格將下降，因此，股票的現(xiàn)金股息越高，期權(quán)的價(jià)格越低。三、美式看漲期權(quán)的最佳執(zhí)行時(shí)機(jī)1，不支付股息的看漲期權(quán)的最佳執(zhí)行時(shí)機(jī)結(jié)論：如果在期權(quán)的有效期限內(nèi)股票不支付現(xiàn)金股息，則期權(quán)的最佳執(zhí)行時(shí)機(jī)是期權(quán)到期日。因此，美式看漲期權(quán)的價(jià)格等于歐式看漲期權(quán)的價(jià)格。證明：考慮兩個(gè)投資組合： 看漲期權(quán)+金額為E.e-rt的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資； 一股股票。2，支付股息的看漲期權(quán)的最佳執(zhí)行時(shí)機(jī)如果有期權(quán)的有效期限內(nèi)預(yù)計(jì)股票要支付現(xiàn)金股息，則提前執(zhí)行期權(quán)可能是有利的。按上述的結(jié)論，在這種情況下，只需要比較在支付股息前執(zhí)行與到期執(zhí)行兩種情況。在支付股息前執(zhí)行，持有人可以獲得股息，但放棄了

8、到期情況下的利息收入。四、看跌期權(quán)的價(jià)格與影響因素的關(guān)系影響因素 P股票市場(chǎng)價(jià)格S期權(quán)執(zhí)行價(jià)格E 有效期限t 股票價(jià)格波動(dòng)性 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r 股票現(xiàn)金股息d 對(duì)歐式看跌期權(quán)來(lái)說(shuō)，有效期限與期權(quán)價(jià)格的關(guān)系不嚴(yán)格成立。五、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價(jià)原理1，歐式期權(quán) S-E.e-rt=C-P 2，美式期權(quán) S-EC-PS-E.e-rt第三節(jié) 期權(quán)評(píng)價(jià)模型一、二項(xiàng)樹模型（binomial tree model） 二項(xiàng)樹模型是為期權(quán)其它衍生證券評(píng)價(jià)的一個(gè)常見方法。1，單步二項(xiàng)樹模型例：某股票的歐式看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為21元，有效期限為三個(gè)月，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為12%，股票在現(xiàn)在的價(jià)格為20元，股票在三個(gè)月后的價(jià)

9、格有兩種可能性，分別為22元或18元。構(gòu)造一個(gè)包含股票的多頭和看漲期權(quán)空頭的組合，設(shè)組合中股票的數(shù)量為。的選擇要使得該組合在期權(quán)到期時(shí)的價(jià)格對(duì)兩個(gè)股票價(jià)格都是相等的，即該組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。即： 22-1=18 =0.25 S=20S.u=22fu=1S.d=18fd=0因此，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合由購(gòu)買0.25股股票、賣出一個(gè)期權(quán)構(gòu)成。如果股票價(jià)格上升為22，該組合的價(jià)值為： 22x0.25-1=4.5如果股票價(jià)格下降為18，組合的價(jià)值為： 18x0.25=4.5因此，組合現(xiàn)在的價(jià)值為三個(gè)月后4.5元的現(xiàn)值。即： 20 x0.25-C=4.5.e-0.12x0.25=4.367 C=0.633一般公式：du

10、rtfpfpef).1 (.dudeprt 股票預(yù)期收益的無(wú)關(guān)性。 風(fēng)險(xiǎn)中性評(píng)價(jià)。上述公式中的p可以解釋為股票價(jià)格上升的概率。則p.fu+(1-p).fd則是期權(quán)的預(yù)期收益。2，兩步二項(xiàng)樹模型24.23.2201.2823222.0257180.019.80.016.20.0.)1 ().1 (2.2220dduduurtfpfppfpef 一般公式：SfS.u fuS.dS.u.d，fudS.d.d，fddfdS.u.u，fuu二、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型對(duì)于不支付股息的歐式看漲期：式中：N（*）為期望值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計(jì)概率函數(shù)；為股票收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。 td

11、ttrESdttrESddNeEdNSCrt.).2/()/ln(.).2/()/ln(.1222121 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的推導(dǎo) 假設(shè)條件：無(wú)摩擦和連續(xù)市場(chǎng)：不存在交易成本，股票市場(chǎng)連續(xù)交易；賣空和借貸不受限制，借貸利率相等；股票價(jià)格變動(dòng)遵循、為常數(shù)的如下隨機(jī)過(guò)程： dS= Sdt +Sdz dz為維納過(guò)程（wiener process)。 即股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)； Ito定理：假設(shè)變量x的值遵循如下隨機(jī)過(guò)程： dx=a(x,t)dt + b(x,t)dz 其中，dz是一個(gè)維納過(guò)程，a與b是x和t的函數(shù)。Ito定理表明x和t的函數(shù)G遵循如下過(guò)程： B

12、lack-Scholes微分方程： 假設(shè)f是基于S的某個(gè)看漲期權(quán)或其它衍生證券的價(jià)格，變量f一定是S和t的某一函數(shù)。根據(jù)Ito定理可得：bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222f和S遵循的維納過(guò)程相同。所以選擇某種股票和衍生證券的組合可以消除維納過(guò)程。 證券組合為：賣空一份衍生證券，買入數(shù)量為 的股票。定義組合的價(jià)值為G。則：dt時(shí)間后組合的價(jià)值變化dG為：SdzxfdtSxftfSxfdf)21(2222SfSSffG.dSSfdfdG將df和dS代入上式，得到：在這個(gè)方程中，不含有dz，因此組合的是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。所以下式成立：將dG和G代入上式可以得到：代簡(jiǎn)得到Black-Schole

13、s微分方程：dtSSftfdG)21(2222rGdtdG dtSSffrdtSStff)()21(2222rfSSfSfrStf222221對(duì)于基礎(chǔ)證券的變量定義的所有衍生證券，此方程有許多解。特定的衍生證券取決于使用的邊界條件。這些邊界條件確定了在S和t的可能取值的邊界上衍生證券的價(jià)值。對(duì)于歐式看漲期權(quán)，關(guān)鍵的邊界條件是：f=max（S-E，0） 當(dāng)t=0時(shí)。對(duì)于歐式看跌期權(quán)，邊界條件為：當(dāng)t=0時(shí)，f=max（E-S，0）。 Black-Scholes定價(jià)模型的應(yīng)用： 某股票現(xiàn)在的價(jià)格為30元，股票收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為30%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，計(jì)算執(zhí)行價(jià)格為30，有效期限為6個(gè)月的歐式看漲

14、期權(quán)與看跌期權(quán)的價(jià)格。 已知：S=30，E=30，r=10%，=30%，t=0.5第一步，計(jì)算d1，d2：第二步，計(jì)算N(d1)和N(d2):130. 05 . 03 . 0342. 0342. 05 . 03 . 05 . 0)2/3 . 0%10()30/30ln(1221tddd通過(guò)查表得：N(d1)=0.633, N(d2)=0.552第三步，計(jì)算看漲期權(quán)的價(jià)格：C=S.N(d1)-E.e-10%x0.5.N(d2) =30 x0.633-30 x0.951x0.552 =3.24 第四步，根據(jù)平價(jià)原理計(jì)算看跌期權(quán)的價(jià)格：根據(jù)平價(jià)原理可得：P=E.e-rt.N(-d2)-S.N(-d1

15、) =30 x0.951x0.448-30 x0.367 =1.77 存在股息情況下的Black-Scholes模型的調(diào)整 如果在期權(quán)的有效期限內(nèi)，股票支付現(xiàn)金股息，除息后，股票價(jià)格將下降，因此，看漲期權(quán)的價(jià)格下降，而看跌期權(quán)的價(jià)格將上升。 調(diào)整的方法是用S-PV（d）代替上述公式中的S。第四節(jié) 期權(quán)理論在投資決策中的應(yīng)用一、實(shí)際期權(quán)（real options） 擴(kuò)大投資，或進(jìn)行后續(xù)投資的選擇； 放棄投資項(xiàng)目的選擇； 投資時(shí)機(jī)的選擇； 改變生產(chǎn)方法的選擇； 實(shí)際期權(quán)本質(zhì)上，是企業(yè)投資和經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中具有的靈活性。二、后續(xù)投資機(jī)會(huì)的價(jià)值某投資項(xiàng)目的現(xiàn)金流量如下所示：（單位：百萬(wàn)元） 年份 0 1 2

16、 3 4 5NCF -450 60 59 195 310 125資本機(jī)會(huì)成本為20%，該項(xiàng)目的凈現(xiàn)值為：NPV= -46因此，該投資項(xiàng)目不可行。然而，進(jìn)行該項(xiàng)投資使公司有機(jī)會(huì)在將來(lái)進(jìn)行后續(xù)的第二期投資。否則公司將來(lái)進(jìn)入該產(chǎn)品市場(chǎng)的成本非常高昂。該投資項(xiàng)目的價(jià)值=NPV+期權(quán)的價(jià)值該期權(quán)價(jià)值的評(píng)估：假設(shè)： 三年后進(jìn)行第二期投資的決策； 第二期的投資估計(jì)為9億元； 第二期投資的現(xiàn)金流量的現(xiàn)值為4.63億元； 第二期投資現(xiàn)金流量的標(biāo)準(zhǔn)差為35%； 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5%。 第二期投資機(jī)會(huì)是一個(gè)有效期限為3年、執(zhí)行價(jià)格為9億元、資產(chǎn)價(jià)格為4。63億元的看漲期權(quán)。根據(jù)期權(quán)評(píng)價(jià)公式：該看漲期的價(jià)值為0.55億元

17、。因此，第一期投資的價(jià)值=-46+55=9（百萬(wàn)元）。三、放棄投資的價(jià)值 生產(chǎn)某產(chǎn)品可采用兩種生產(chǎn)技術(shù)，它們的初始投資相同，均為24萬(wàn)元，壽命期相同為三年。 A技術(shù)采用專用設(shè)備，不能轉(zhuǎn)作它用，經(jīng)營(yíng)成本較低。5.2;0.1820.8;0.55.2;0.541.6;0.410.4;0.12.6;0.483.2;0.3220.8;0.181.3;0.32 B生產(chǎn)技術(shù)采用通用設(shè)備，可轉(zhuǎn)作它用或銷售，但經(jīng)營(yíng)成本較高。其現(xiàn)金流量如下所示：20;0.55;0.540;0.410;0.12.5;0.480;0.3220;0.181.25;0.325;0.18 根據(jù)上一章凈現(xiàn)值的方法，應(yīng)分別計(jì)算兩個(gè)方案的凈現(xiàn)值

18、，選擇凈現(xiàn)值最大的方案，資本機(jī)會(huì)成本為20%。 A技術(shù)方案的凈現(xiàn)值=42.91-24=18.91萬(wàn)元； B技術(shù)方案的凈現(xiàn)值=41.26-24=17.26萬(wàn)元。 期權(quán)的方法： 首先計(jì)算B技術(shù)在各節(jié)點(diǎn)的價(jià)值：第三年末，價(jià)值為零。第二年末，其價(jià)值有四種可能性：（80 x0.8+20 x0.2)/1.2=56.67 (20 x0.8+5x0.2)/1.2=14.17 (20 x0.2+5x0.8)/1.2=6.67 (5x0.2+1.25x0.8)/1.2=1.67 第一年末，其價(jià)值有兩種可能性： (56.67+40)x0.8+(14.17+10)/1.2=68.47 (6.67+10)x0.2+(1.67+2.5)/1.2=5.56 投資期初，其價(jià)值為： （68.47+20)x0.5+(5.56+5)x0.5/