2022年2022年無(wú)窮級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)介紹整理人王浩

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載專轉(zhuǎn)本專題學(xué)問(wèn)點(diǎn)- 無(wú)窮級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定義 1 設(shè)給定一個(gè)數(shù)列u1、 u2 、 u3、.、 un 、.、 就和式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載u1u2u 3.un.（ 11.1）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù),簡(jiǎn)記為un 、即n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載un = u1n 1u 2u 3.

2、un.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其中,第 n 項(xiàng) u n 稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)或者通項(xiàng)；式（11.1）的前 n 項(xiàng)和精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載snu1u 2nu3.unukk 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載稱為式（ 11.1）的前 n 項(xiàng)部分和；當(dāng)n 依次取 1, 2, 3,.時(shí),部分和s1 、 s2 、 s3、.、 sn .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列sn,數(shù)列sn也稱為部分和數(shù)列精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定義 2 如級(jí)數(shù)un 的部分和數(shù)列

3、n 1sn有極限 s精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim sns ,n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就稱級(jí)數(shù)un 收斂,稱s 為級(jí)數(shù)n 1un 的和,即n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sunn 1u1u2u3.u n.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載假如部分和數(shù)列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)sn沒(méi)有極限,就稱為級(jí)數(shù)un 發(fā)散n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）如級(jí)數(shù)un 和級(jí)數(shù)n 1vn 都收斂, 它們的和分別為s 和,就級(jí)數(shù)n

4、1unvn 也n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載收斂,且其和為s精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）如級(jí)數(shù)un 收斂,且其和為s,就它的每一項(xiàng)都乘以一個(gè)不為零的常數(shù)k、 所得到的n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載級(jí)數(shù)kun n 1也收斂,且其和為ks精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（3）在一個(gè)級(jí)數(shù)前面加上（或去掉）有限項(xiàng),級(jí)數(shù)的斂散性不變精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（4）如 級(jí) 數(shù)un收 斂 , 就 將

5、這 個(gè) 級(jí) 數(shù) 的 項(xiàng) 任 意 加 括 號(hào) 后 , 所 成 的 級(jí) 數(shù)n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載u1u2.un1 un1 1.un2 .unk 1.unk .也收斂,且與原級(jí)數(shù)有相同的和精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（5）（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）如級(jí)數(shù)un 收斂,就n 1lim un0n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載綜上所述,幾何級(jí)數(shù)n 1aq的斂散性q1、收斂,其和為a 1- q精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

6、料 - - - 歡迎下載n 1q1,發(fā)散；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載調(diào)和級(jí)數(shù)1 的斂散性發(fā)散n 1 n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性討論對(duì)象：正項(xiàng)級(jí)數(shù).交叉級(jí)數(shù).任意項(xiàng)級(jí)數(shù)一正項(xiàng)級(jí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載正項(xiàng)級(jí)數(shù)：如級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)un = u1u2n 1u3.u n. 滿意條件 un0n1、2、3、.,就稱此精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理 1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件為其部分和數(shù)列sn有界精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

7、習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理 2（ 比較判別法） 如級(jí)數(shù)那么：un 和級(jí)數(shù)n 1vn 為兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且 unn 1vn n1、2、3、. ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）如級(jí)數(shù)vn 收斂時(shí),級(jí)數(shù)n 1un 也收斂n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）如級(jí)數(shù)un 發(fā)散時(shí),級(jí)數(shù)n 1vn 也發(fā)散n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載那么 p級(jí)數(shù)1npn 1的斂散性為p1、 發(fā)散p1,

8、收斂精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理 3（達(dá)朗貝爾比值判別法）如正項(xiàng)級(jí)數(shù)un （ unn 10、 n1、2、3、. ）滿意條件精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limnu n 1l u n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就（1）當(dāng) l（2）當(dāng) l（3）當(dāng) l1時(shí),級(jí)數(shù)收斂1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)撒1時(shí),無(wú)法判定此級(jí)數(shù)的斂散性精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二交叉級(jí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載級(jí)

9、數(shù)1n u（ u0、 n1、2、3、. ）稱為交叉級(jí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nnn 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理 4（萊布尼茲判別法）如交叉級(jí)數(shù)1n unn 1（ un0、 n1、2、3、. ）滿意以下條件精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1） u nun 1（2） lim un0n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就交叉級(jí)數(shù)1n unn 1收斂,其和su1 、 其余項(xiàng)的肯定值rnun 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n三肯定收斂和條件收斂精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如級(jí)數(shù)n 11n u

10、的各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù),就稱級(jí)數(shù)un 為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定義假如任意項(xiàng)級(jí)數(shù)un 的各項(xiàng)肯定值組成的級(jí)數(shù)n 1un 收斂,就稱級(jí)數(shù)n 1un 肯定收n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載斂；假如un 發(fā)散,而n 1un 收斂,就稱級(jí)數(shù)n 1un 條件收斂n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理 5假如級(jí)數(shù)un 肯定收斂,就級(jí)數(shù)n 1un 必收斂n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

11、下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理 6假如任意項(xiàng)級(jí)數(shù)un 滿意條件n 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）當(dāng) l（2）當(dāng) l冪級(jí)數(shù)1時(shí),級(jí)數(shù)肯定收斂1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)撒limnun 1l u n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定義 1 假如u x n1、2、3、.為定義在某個(gè)區(qū)間i 上的函數(shù),就稱函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載un xn 1u1 xu2 x.un x. （ 11

12、.4 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為區(qū)間 i 上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定義 2 形如an xn 1x na0a1xx0 a2 xx 2.a n xx n. （ 11.5 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載000的級(jí)數(shù)稱為 xx0 的冪級(jí)數(shù),其中a0 、 a1 、a 2 、.、 an 、. 均為常數(shù),稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)；當(dāng)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x00 時(shí),級(jí)數(shù)a xnnn 1a0a1xa x2.a xn. （ 11

13、.6 ）稱為 x 的冪級(jí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2n定義 3對(duì)于形如式（ 11.6 ）的冪級(jí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如設(shè) limnan 1anl ,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n1unlimun 1liman 1xliman 1xlx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nnnan xnan依據(jù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法可知：（1）當(dāng) l0 時(shí),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如 lx如 lx如 lx1,即 x1 l1 ,即 x1 l1 ,即 x1 lr ,式（ 11.

14、6 ）肯定收斂r ,式（ 11.6 ）發(fā)散r ,就比值判別法失效,式（11.6 ）可能收斂也可能發(fā)散精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）當(dāng) l0 ,由于 lx01,式（ 11.6 ）對(duì)任何x 都收斂精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1稱 r為冪級(jí)數(shù)式（11.6 ）的收斂半徑l定理 1 假如冪級(jí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載na xnn 1a0a1 xa x2.a xn.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

15、 - - 歡迎下載的系數(shù)滿意條件limnan 12nanl ,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（1）當(dāng) 0l時(shí), r1 l精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）當(dāng) l0 時(shí), r（3）當(dāng) l時(shí), r0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)nan xb xn精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n設(shè)冪級(jí)數(shù) n 0與 n 0的收斂半徑分別為r1 與 r2 （ r1 與r2 均不為 0）,它們的和函精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載數(shù)分別為

16、s1 x 與 s2 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n1. （加法與減法運(yùn)算）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載na xnn 0b xnnn 0 ann 0b xns1 xs2 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n所得的冪級(jí)數(shù)n2.（乘法運(yùn)算）an0b xn仍收斂,且收斂半徑為r1 與 r2 中較小的一個(gè)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nan x nbn x a0b0a0b1a1b0 xa0b22a1b1a2b0 x.a0bna1bn1n.anb0 x.n 0n 0s1 xs2 x精品學(xué)習(xí)資料

17、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載兩冪級(jí)數(shù)相乘所得的冪級(jí)數(shù)仍收斂,且收斂半徑為r1 與 r2 中較小的一個(gè)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3.（微分運(yùn)算）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如冪級(jí)數(shù)a xnnn 0的收斂半徑r,就在（ -r、r）內(nèi)和函數(shù)sx 可導(dǎo),且有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s xann 0xn ann 0xn na n xn1n 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載且求導(dǎo)后所得的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為r 4.（積分運(yùn)算）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如冪級(jí)數(shù)

18、a xnnn 0的收斂半徑r,就和函數(shù)sx 在該區(qū)間內(nèi)可積,且有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xsxdxxa xn dxxa xndxanxn 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載00nn 00nn 0n 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n1且求導(dǎo)后所得的冪級(jí)數(shù)仍收斂,且收斂半徑仍為r函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)1. 泰勒級(jí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) f x 在 xx0 處任意階可導(dǎo),就冪級(jí)數(shù)f n x 0 xn 1n.x n 稱為f x 在 xx0 處的泰精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0勒級(jí)數(shù)2. 麥克勞林公式f n 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) x00 時(shí),級(jí)數(shù)n 0xn 稱為n.f x的麥克勞林級(jí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3. 幾個(gè)常見(jiàn)的麥克勞林綻開(kāi)式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11xnx n 、 x01、1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11xn 01nxn 、 x1