合情推理--演繹推理(公安三中：陳剛公開課精品課件)

1、 一、合情推理 第一課時(shí)：歸納推理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、了解歸納推理的含義 2、能利用歸納的含義進(jìn)行簡單的推理 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 1.由鐵、金等金屬能導(dǎo)電，歸納出金屬都能導(dǎo)電對嗎？ 2、由歸納得出的結(jié)論一定正確嗎？ 結(jié)論： 二、新課導(dǎo)學(xué) 在日常生活中，人們常常需要進(jìn)行這樣那樣的推理。在日常生活中，人們常常需要進(jìn)行這樣那樣的推理。例如例如:醫(yī)生診斷病人的病癥，醫(yī)生診斷病人的病癥，警察偵破案件，警察偵破案件，氣象專家預(yù)測天氣的可能狀態(tài)，氣象專家預(yù)測天氣的可能狀態(tài)，考古學(xué)家推斷遺址的年代，考古學(xué)家推斷遺址的年代，數(shù)學(xué)家論證命題的真?zhèn)蔚鹊?。?shù)學(xué)家論證命題的真?zhèn)蔚鹊?。在?shù)學(xué)中，證明的過程更離不開推理。在

2、數(shù)學(xué)中，證明的過程更離不開推理。1.歸納推理的定義歸納推理的定義: 由某類事物的部分對象具有某些特征由某類事物的部分對象具有某些特征, ,推推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理, ,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理, ,稱為稱為歸納推理歸納推理( (簡稱歸納簡稱歸納). ). 簡言之簡言之, ,歸納推理是由歸納推理是由部分到整體、部分到整體、由由個(gè)個(gè)別到一般別到一般的推理。的推理。例如：例如： 金受熱后體積膨脹，金受熱后體積膨脹， 銀受熱后體積膨脹，銀受熱后體積膨脹， 銅受熱后體積膨脹，銅受熱后體積膨脹， 鐵受熱

3、后體積膨脹，鐵受熱后體積膨脹，金、銀、銅、鐵是金屬的部分小類對象，它們受熱金、銀、銅、鐵是金屬的部分小類對象，它們受熱后分子的凝聚力減弱，分子運(yùn)動(dòng)加速，分子彼此后分子的凝聚力減弱，分子運(yùn)動(dòng)加速，分子彼此距離加大，從距離加大，從而導(dǎo)致體積而導(dǎo)致體積膨膨脹脹 所以，所有的金屬受熱后都體積膨脹。所以，所有的金屬受熱后都體積膨脹。銅能導(dǎo)電銅能導(dǎo)電鋁能導(dǎo)電鋁能導(dǎo)電金能導(dǎo)電金能導(dǎo)電銀能導(dǎo)電銀能導(dǎo)電一切金屬一切金屬都能導(dǎo)電都能導(dǎo)電.三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和為為凸四邊形內(nèi)角凸四邊形內(nèi)角和為和為凸五邊形內(nèi)角凸五邊形內(nèi)角和為和為 180360540凸凸n邊形邊形內(nèi)角和為內(nèi)角和為.1802n第一個(gè)芒果是第一個(gè)芒果是

4、甜的甜的第二個(gè)芒果是第二個(gè)芒果是甜的甜的第三個(gè)芒果是第三個(gè)芒果是甜的甜的這個(gè)果園這個(gè)果園的芒果都的芒果都是甜的是甜的第一個(gè)數(shù)為第一個(gè)數(shù)為2第二個(gè)數(shù)為第二個(gè)數(shù)為4第三個(gè)數(shù)為第三個(gè)數(shù)為6第四個(gè)數(shù)為第四個(gè)數(shù)為8第第n個(gè)個(gè)數(shù)為數(shù)為2n.銅能導(dǎo)電銅能導(dǎo)電鋁能導(dǎo)電鋁能導(dǎo)電金能導(dǎo)電金能導(dǎo)電銀能導(dǎo)電銀能導(dǎo)電一切金屬一切金屬都能導(dǎo)電都能導(dǎo)電.三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和為為凸四邊形內(nèi)角凸四邊形內(nèi)角和為和為凸五邊形內(nèi)角凸五邊形內(nèi)角和為和為 180360540凸凸n邊形邊形內(nèi)角和為內(nèi)角和為.1802n第一個(gè)芒果是第一個(gè)芒果是甜的甜的第二個(gè)芒果是第二個(gè)芒果是甜的甜的第三個(gè)芒果是第三個(gè)芒果是甜的甜的這個(gè)果園這個(gè)果園的芒果都

5、的芒果都是甜的是甜的第一個(gè)數(shù)為第一個(gè)數(shù)為2第二個(gè)數(shù)為第二個(gè)數(shù)為4第三個(gè)數(shù)為第三個(gè)數(shù)為6第四個(gè)數(shù)為第四個(gè)數(shù)為8第第n個(gè)個(gè)數(shù)為數(shù)為2n.部分部分個(gè)別個(gè)別整整 體體一一 般般例例: :觀察下圖觀察下圖, ,可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)1+3+(2n1)=n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，典型例題；三、總結(jié)提升：歸納推理三、總結(jié)提升：歸納推理的一般步驟的一般步驟 檢驗(yàn)猜想。檢驗(yàn)猜想。 提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想； 對有限的資料進(jìn)行觀察、分析、對有限的資料進(jìn)行觀察、分析、 歸納整理；歸納整理；通俗地說，合情推理是指

6、通俗地說，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。 數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們常能幫助我們猜測猜測和和發(fā)現(xiàn)結(jié)論發(fā)現(xiàn)結(jié)論； 證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的提供證明的思路思路和和方向方向。合情推理在數(shù)學(xué)中的合情推理在數(shù)學(xué)中的作用作用： 從具體從具體問題出發(fā)問題出發(fā) 歸納、歸納、類比類比提出提出猜想猜想觀察、分析、觀察、分析、比較、聯(lián)想比較、聯(lián)想我們把上面所進(jìn)行的推理過程概括為：我們把上面所進(jìn)行的推理過程概括為：學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）

7、A.很好 B.較好 C.一般 D.較差課后檢測 1111.:2,5,11,20, ,47,111,2 ,2nnnABCxxaaanann關(guān)于歸納推理，下列說法正確的是（ ）歸納推理是一般到一般的推理歸納推理是一般到個(gè)別的推理歸納推理的結(jié)論一定是正確D.歸納推理的結(jié)論不一定正確2.數(shù)列 a中的 等于（）A.28. B.32. C. 33. D. 273.在數(shù)列 a中，猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式當(dāng)堂檢測 11234n2n14.a,2a ,222 nnnnnSaSS SS SSN nnn個(gè)個(gè)2已知數(shù)列的前 項(xiàng)和滿足計(jì)算3并猜想S 的表達(dá)式5.猜想 111-的值 由兩類對象具有某些類似特征，和其由兩類對象

8、具有某些類似特征，和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為對象也具有這些特征的推理稱為類比推理類比推理（簡稱類比）（簡稱類比）2.類比推理的定義類比推理的定義: 簡言之，類比推理是由簡言之，類比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理 發(fā)發(fā)明行星三大明行星三大運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)定律的定律的開開普勒普勒曾說類曾說類比比推理是自然奧妙的推理是自然奧妙的參與者參與者和自己最好和自己最好的老的老師師 數(shù)學(xué)家波利亞曾指出數(shù)學(xué)家波利亞曾指出“類比是一個(gè)偉大的類比是一個(gè)偉大的引路人引路人, ,求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類求解立體幾何往往有賴于平面幾

9、何的類比問題比問題.”.”類比推理類比推理“火星上是否有生命火星上是否有生命”【例例2】如圖，利用類比推測球的有關(guān)性質(zhì)如圖，利用類比推測球的有關(guān)性質(zhì) 圓 球 圓心與弦（非直徑）圓心與弦（非直徑）中點(diǎn)的連線垂直于弦中點(diǎn)的連線垂直于弦 與圓心距離相等的與圓心距離相等的 兩條弦長相等兩條弦長相等 圓的周長圓的周長C= 圓的面積圓的面積S=d2r 球心與截面圓（不經(jīng)過球心與截面圓（不經(jīng)過球心的截面圓）圓心的球心的截面圓）圓心的連線垂直于截面圓。連線垂直于截面圓。與球心距離相等的兩個(gè)截面與球心距離相等的兩個(gè)截面圓面積相等；與球心距離不圓面積相等；與球心距離不等的兩個(gè)截面圓面積不等；等的兩個(gè)截面圓面積不等

10、；與球心距離較近的截面圓面與球心距離較近的截面圓面積較大。積較大。球的表面積球的表面積24 rS 球的體積球的體積334rV 例例3 3: :已知兩個(gè)圓已知兩個(gè)圓x x2 2+y+y2 2=1:=1:與與x x2 2+(y-3+(y-3)2)2=1=1, ,則由則由式減去式可得上述兩圓的對稱軸方程式減去式可得上述兩圓的對稱軸方程. .將上述將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣, ,即要求得即要求得到一個(gè)更一般的命題到一個(gè)更一般的命題, ,而已知命題應(yīng)成為所推廣命而已知命題應(yīng)成為所推廣命題的一個(gè)特例題的一個(gè)特例, ,推廣的命題為推廣的命題為- -(x-a)(

11、x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2與與(x-c)(x-c)2 2+(y-d)+(y-d)2 2=r=r2 2（a acc或或設(shè)圓的方程為設(shè)圓的方程為bd),bd),則由則由式減去式可得上述兩圓的對稱軸式減去式可得上述兩圓的對稱軸方程方程. .類比推理的一般步驟：類比推理的一般步驟： 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征， 從而得出一個(gè)猜想；從而得出一個(gè)猜想； 檢驗(yàn)猜想。檢驗(yàn)猜想。類比推理的幾個(gè)特點(diǎn)類比推理的幾個(gè)特點(diǎn); ;1.1.類比是從人們

12、已經(jīng)掌握了的事物的屬性類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性, ,推測正推測正在研究的事物的屬性在研究的事物的屬性, ,是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)是以舊有的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ), ,類比類比出新的結(jié)果出新的結(jié)果. .2.2.類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性特殊屬性. .3.3.類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠類比的結(jié)果是猜測性的不一定可靠, ,單它卻有發(fā)單它卻有發(fā)現(xiàn)的功能現(xiàn)的功能. .例例3 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試試 給出空間給出空間 中四面體性質(zhì)的猜想中四面體性質(zhì)的猜想直角三角形直角三角形3個(gè)面兩兩垂直的四面體個(gè)

13、面兩兩垂直的四面體C903個(gè)邊的長度個(gè)邊的長度a，b，c 2條直角邊條直角邊a，b和和1條斜邊條斜邊cPDFPDEEDF90 4個(gè)面的面積個(gè)面的面積S1，S2，S3和和S 3個(gè)個(gè)“直角面直角面” S1，S2，S3和和1個(gè)個(gè)“斜面斜面” S例例5 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試試 給出空間中四面體性質(zhì)的猜想給出空間中四面體性質(zhì)的猜想, , ,S,_.ABCa b cABC 例例4 4：已已知知三三邊邊長長為為面面積積為為 則則內(nèi)內(nèi)切切圓圓半半徑徑r r= =2Sabc 分析：面積法分析：面積法1234,A-BCD,R_.S SSSV 根根據(jù)據(jù)類類比比推推理理的的

14、方方法法 若若一一個(gè)個(gè)四四面面體體四四個(gè)個(gè)面面的的面面積積分分別別為為體體積積為為 ，則則四四面面體體的的內(nèi)內(nèi)切切球球半半徑徑12343VSSSS , , ,S,2.ABCa b cSABCabc 變變式式： 已已知知三三邊邊長長為為面面積積為為 則則內(nèi)內(nèi)切切圓圓半半徑徑r r= =ABCDOO例例5.從具體問從具體問題出發(fā)題出發(fā)觀察、分析、觀察、分析、比較、聯(lián)想比較、聯(lián)想歸納、歸納、類比類比提出提出猜想猜想通俗地說，合情推理是指通俗地說，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理歸納推理歸納推理類比推理類比推理 從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下從一般性的原理出發(fā)，推

15、出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理演繹推理簡言之，簡言之，演繹推理演繹推理是由是由一般一般到到特殊特殊的推理；的推理；演繹推理的一般模式演繹推理的一般模式“三段論三段論” 大前提大前提-已知的一般原理已知的一般原理小前提小前提-所研究的特殊情況所研究的特殊情況結(jié)論結(jié)論-根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷演繹推理的定義演繹推理的定義例例8.8.用三段論的形式寫出下列演繹推理用三段論的形式寫出下列演繹推理（1)1)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以，矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以，正方形的對角線相等。正方形的對角線相等。矩形的

16、對角線相等矩形的對角線相等 （大前提）（大前提）正方形是矩形正方形是矩形 （小前題）（小前題）正方形的對角線相等正方形的對角線相等 （結(jié)論）（結(jié)論）（2) ysinx是三角函數(shù)，三角函數(shù)是周期函數(shù)，是三角函數(shù)，三角函數(shù)是周期函數(shù)，ysinx（x為為R）是周期函數(shù)。）是周期函數(shù)。三角函數(shù)是周期函數(shù)三角函數(shù)是周期函數(shù)（大前提）（大前提）ysinx是三角函數(shù)是三角函數(shù)（小前題）（小前題）ysinx是周期函數(shù)是周期函數(shù)（結(jié)論）（結(jié)論）3.3.三段論的基本格式三段論的基本格式MP（M是是P）SM（S是是M）所以所以 SP（S是是P）（大前提）（大前提）（小前提）（小前提）（結(jié)論）（結(jié)論）M MP PS

17、SM MS SP P三角函數(shù)三角函數(shù)是是周期函數(shù)周期函數(shù)y ysinxsinx是是三角函數(shù)三角函數(shù) y ysinxsinx是是周期函數(shù)周期函數(shù)4. 4. 用集合的觀點(diǎn)來理解用集合的觀點(diǎn)來理解: :若若集合集合M M的所有元素的所有元素都具有都具有性質(zhì)性質(zhì)P,P, S S是是M M的一個(gè)子集的一個(gè)子集, ,那么那么S S中所有元素也中所有元素也都具有都具有性質(zhì)性質(zhì)P P. .M MS Sp演繹推理演繹推理矩形矩形的的對角線相等對角線相等 （大前提）（大前提）正方形正方形是是矩形矩形 （小前題）（小前題）正方形正方形的的對角線相等對角線相等 （結(jié)論）（結(jié)論）例例1010推理形式正確，但推理結(jié)論錯(cuò)誤

18、，因?yàn)橥评硇问秸_，但推理結(jié)論錯(cuò)誤，因?yàn)榇笄疤徨e(cuò)誤。大前提錯(cuò)誤。因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)因?yàn)橹笖?shù)函數(shù) 是增函數(shù)（是增函數(shù)（大前提大前提）而而 是指數(shù)函數(shù)（是指數(shù)函數(shù)（小前提小前提）所以所以 是增函數(shù)（是增函數(shù)（結(jié)論結(jié)論）（1)1)上面的推理形式正確嗎？上面的推理形式正確嗎？（2)2)推理的結(jié)論正確嗎？為什么？推理的結(jié)論正確嗎？為什么？xy a1( )2xy1( )2xy 錯(cuò)誤的前提和推理形式可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論錯(cuò)誤的前提和推理形式可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論；錯(cuò)誤的前提和推理形式可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論錯(cuò)誤的前提和推理形式可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論；正確的正確的前提前提和和推理形式推理形式一定能得到一定能得到正確正確的的結(jié)論！結(jié)論！但是但是因而，演繹推理可以作為數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具因而，演繹推理可以作為數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具1212,(,1),xxxx 任任取取且且22121122()()(2)(2)fxfxxxxx 2121()(2)xxxx 122112211212,0;,1,20.()()0,()().xxxxxxxxf xf