高三學(xué)知識(shí)點(diǎn)整理歸納之十四極限與導(dǎo)數(shù)

1、高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識(shí)點(diǎn)整理歸納之十四第十四章極限與導(dǎo)數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)1極限定義： （ 1）若數(shù)列 u n 滿足，對(duì)任意給定的正數(shù)時(shí)，恒有 |u n-A|< 成立（ A 為常數(shù)），則稱 A 為數(shù)列 ，總存在正數(shù) m，當(dāng) n>m且 n N un 當(dāng) n 趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限，記為limf ( x), limf ( x) ，另外 limf (x) =A 表示 x 大于 x0 且趨向于 x0 時(shí) f(x)極限為 A，稱右xxxx0極限。類似地 limf (x) 表示 x 小于 x0 且趨向于 x0 時(shí) f(x)的左極限。xx02 極限的四則運(yùn)算：如果limf(x)=a,limg(x)=b，

2、那么 limf(x)± g(x)=a± b,xx0x x0x x0limf(x)?g(x)=ab,limf ( x)a (b0).x x0x x0 g( x)b3. 連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在 x=x 0 處有定義，且 lim f(x)存在，并且 lim f(x)=f(x 0) ，則稱xx0x x0f(x)在 x=x 0 處連續(xù)。4最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間 a,b上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x) 在 a,b 上有最大值和最小值。5導(dǎo)數(shù)： 若函數(shù) f(x) 在 x0 附近有定義， 當(dāng)自變量 x 在 x0 處取得一個(gè)增量x 時(shí)（x 充分?。?，因變量 y也隨之取得增量y(y

3、=f(x 0+x)-f(x0). 若 limyf(x)在存在，則稱x 0xx0 處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)（或變化率） ，記作 f ' (x 0) 或 y' xx0或dy，即 f '( x0 )limf (x)f (x0 ) 。由定義知 f(x)在點(diǎn) x0 連續(xù)是 f(x)在 x0 可導(dǎo)的必dx x0xx0xx0要條件。若 f(x)在區(qū)間 I上有定義，且在每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是： f(x)在點(diǎn) x0處導(dǎo)數(shù) f ' (x 0) 等于曲線 y=f(x) 在點(diǎn) P(x 0,f(x0) 處切線的斜率。6幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

4、： （ 1） (c)' =0（ c 為常數(shù)）；（ 2） (xa )'axa 1（ a 為任意常數(shù)）；（ 3）(sin x)'cos x; (4) (cos x)'sin x ;(5)( a x )' a xln a;(6)(ex )'ex ; （ 7）(log a x)'1 log a x ；（ 8） (ln x)'1 .xx7導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若u(x),v(x)在 x 處可導(dǎo)，且 u(x)0, 則（ 1 ） u(x)v( x)'u' (x)v' (x)；（ 2 ） u( x)v( x)'u'

5、; (x)v( x) u( x)v'( x) ；（ 3 ） cu( x)' c u' ( x) （ c為 常 數(shù)）；（ 4） 1 'u'( x)；（5）u( x)u 2 (x) u(x)'u( x) v' (x) u' ( x)v(x) 。u(x)u 2 ( x)8復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x) ，已知(x) 在 x 處可導(dǎo)， f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u(u=(x) 處 可 導(dǎo) ， 則 復(fù) 合 函 數(shù) y=f(x)在 點(diǎn) x 處 可 導(dǎo) ， 且（f(x) )' = f ' ( x)'( x) .9

6、. 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)： （1）若 f(x) 在區(qū)間 I 上可導(dǎo)，則 f(x)在 I上連續(xù)；（2）若對(duì)一切 x(a,b)有 f ' (x) 0 ，則 f(x) 在 (a,b)單調(diào)遞增；（ 3）若對(duì)一切x (a,b) 有 f ' ( x) 0 ，則 f(x) 在 (a,b) 單調(diào)遞減。10極值的必要條件：若函數(shù)f(x) 在 x0 處可導(dǎo)，且在x0 處取得極值，則f '( x0 )0.11. 極值的第一充分條件：設(shè) f(x) 在 x0 處連續(xù)，在 x0 鄰域 (x 0- ,x 0+) 內(nèi)可導(dǎo)，（ 1）若當(dāng)x (x- ,x 0) 時(shí) f ' (x)0 ，當(dāng) x (x 0

7、,x 0+ ) 時(shí)f ' ( x) 0，則 f(x)在 x0 處取得極小值；（2）若當(dāng) x(x 0- ， x0) 時(shí) f '( x)0 ，當(dāng) x (x 0,x0+ ) 時(shí) f ' ( x)0，則 f(x) 在 x0 處取得極大值。12極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在 x0 的某領(lǐng)域 (x0- ,x 0+) 內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)， 且 f '( x0 ) 0,f ''( x0 )0 。（ 1）若 f ' '(x0 )0 ，則 f(x)在 x0 處取得極小值；（ 2）若 f ''( x0 ) 0，則 f(x

8、)在 x0 處取得極大值。13羅爾中值定理：若函數(shù)f(x) 在 a,b上連續(xù)，在 (a,b)上可導(dǎo)，且 f(a)=f(b) ，則存在 (a,b)，使 f ' ( )0.證明若當(dāng) x (a,b)，f(x) f(a) ，則對(duì)任意 x (a,b)， f ' (x) 0. 若當(dāng) x (a,b)時(shí)，f(x) f(a) ，因?yàn)?f(x)在a,b上連續(xù)， 所以 f(x) 在 a,b上有最大值和最小值， 必有一個(gè)不等于 f(a) ，不妨設(shè)最大值m>f(a) 且 f(c)=m ，則 c (a,b)，且 f(c)為最大值，故 f ' (c)0 ，綜上得證。14 Lagrange 中值

9、定理：若f(x) 在 a,b上連續(xù)，在 (a,b) 上可導(dǎo)，則存在 (a,b)，使f ' ( )f (b)f (a) .ba證明令 F(x)=f(x)-f (b)f ( a) (xa) , 則 F(x) 在 a,b上連續(xù)，在 (a,b) 上可導(dǎo)，且baf (b)f (a) .F(a)=F(b)，所以由 13知存在 (a,b)使 F'() =0，即 f ' ()ba15曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)， （ 1）如果對(duì)任意xI, f ' '( x)0 , 則曲線 y=f(x)在 I 內(nèi)是下凸的；（ 2）如果對(duì)任意 x I,f &

10、#39; ' ( x) 0 , 則 y=f(x)在 I 內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。16琴生不等式：設(shè) 12, ,n+12n是 a,b上的凸函, R ， + + =1。（ 1）若 f(x)數(shù)，則 x1,x 2, ,x n a,b有 f(a1x1+a2x2+anxn) a1f(x 1)+a 2f(x 2)+ +an f(x n).二、方法與例題1極限的求法。例 1求下列極限：（1 ） lim12n；（ 2 ） lima nn (a0) ；（ 3）n2n2n21 annlim111；（ 4） limn ( n1n ).n 2n 2n 2n12nn 解 （ 1） l

11、im12n= limn(n1)lim121 ；2222nnnnn2nn22n2（2）當(dāng) a>1 時(shí)， lima nlim111.1an1n1lim 1n1nnanaanlim a n0當(dāng) 0<a<1 時(shí)， limn0.an1lim a n10n1n當(dāng) a=1 時(shí)， lim1a nnlim111 .nan12（3）因?yàn)閚111n.n2n 2n 2n2n2n12n1而 limnlim11, lim1lim11,n21n21nnn1n1n1nn2所以 lim1111.n2n2n 2n12n（4） limn (n1n )limnlim11 .nnn1nn1112n例 2求下列極限：

12、（1） lim(1+x)(1+x2)(1+ x 22) (1+ x 2n)(|x|<1) ；n（2） lim31；（ 3） limx21。1 x3 x1 xx 1 1 x3x 1 解 （1） lim (1+x)(1+x 2)(1+ x2 2) (1+ x 2n)n= lim(1x)(1x)(1x 2 )(1x 2n)lim 1x2 n 11 .n1xn1x1x（2） lim313 1 x x2lim1 x 1 x21 xlim1 x31 x3x 1 1 x3x 1x 1= lim(1x)( 2x)lim2x1.1 x 3x 1x 1 1 xx2（3） limx 21lim( x 21)(

13、 3 x1 x )3x1x3x1x)(3x1x)x 1x1 (= lim ( x1)( x1)(3x1x )lim( x1)(3x1x )x12(1x)x 1222.2連續(xù)性的討論。例 3設(shè) f(x)在 (- ,+ ) 內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x)，又當(dāng)x 0,1) 時(shí)，f(x)=x(1-x)2，試討論 f(x)在 x=2 處的連續(xù)性。 解 當(dāng) x 0,1) 時(shí)，有 f(x)=x(1-x)2，在 f(x+1)=2f(x)中令 x+1=t ，則 x=t-1，當(dāng) x1,2)時(shí)，利用 f(x+1)=2f(x)有 f(t)=2f(t-1)，因?yàn)閠-1 0,1), 再由 f(x)=x(1-

14、x)2得 f(t-1)=(t-1)(2-t)2, 從而 t 1,2)時(shí), 有 f(t)=2(t-1)?(2-t)2；同理，當(dāng) x 1,2)時(shí)，令x+1=t， 則當(dāng)t 2,3)時(shí) ， 有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從 而f(x)=2(x1)( 2x)2 , x1,2 ;所以4(x2)(3x) 2 , x2,3 .limf (x)lim 2(x1)(2x)20, limf (x)lim 4(x2)(3x) 20 ，所以x2x2x2x2limlimf(x)=f(2)=0，所以 f(x)在 x=2 處連續(xù)。x2f(x)=x23利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。 解 因?yàn)辄c(diǎn) (

15、2,0)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x 0,y 0) ，則 y01，切線的斜率為x0x'|x011112，所以切線方程為y-y 0=2( xx0 ) ，即 yx02 ( xx0 ) 。又因?yàn)閤0x0x0此切線過(guò)點(diǎn)（2,0 ），所以11(2x0)，所以0x0x02x =1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即 x+y-2=0.4導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。例 5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （ 1）y=sin(3x+1)；（ 2） y5x23xx ；（ 3）y=ecos2x ；（ 4）xyln( xx21)；（ 5）y=(1-2x)x (x>0且 x1) 。2 解 （ 1） y'cos(3x 1)

16、(3x1)' 3cos(3x+1).(5x23xx)' x(5x 23xx )( x)'(2)y'x210x31x5x 23xx2xx 2512.x3（3）'cos2 x(cos2)'cos2 (sin 2 ) (2)'2cos2 xsin 2 .yexexxxex（4） y'1( xx21)'1x1xx21xx21x 211.x21（5） y'(12x) x ' ex ln(12 x) 'ex ln(1 2 x) ( x ln(12x)'(12x) xln(12x)2 x.12x5用導(dǎo)數(shù)討

17、論函數(shù)的單調(diào)性。例 6設(shè) a>0，求函數(shù) f(x)=x -ln(x+a)(x(0,+ )的單調(diào)區(qū)間。 解 f ' ( x)1xx1( x0) ，因?yàn)?x>0,a>0 ，所以 f ' (x)0x2+(2a-4)x+a 2>0；2af ' (x)0x2+(2a-4)x+a+<0.（1）當(dāng) a>1 時(shí)，對(duì)所有 x>0，有 x2+(2a-4)x+a2>0，即 f ' (x)>0,f(x)在 (0,+ ) 上單調(diào)遞增；（2）當(dāng) a=1 時(shí)，對(duì) x 1, 有 x2+(2a-4)x+a2>0，即 f ' (

18、x)0 ，所以 f(x)在（ 0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（ 1， +）內(nèi)遞增，又f(x)在 x=1 處連續(xù)，因此f(x) 在 (0,+ ) 內(nèi)遞增；（ 3）當(dāng)0<a<1時(shí)，令 f ' ( x)0，即22，解得x<2-a- 2 1a或x>2-a+ 2 1a，x +(2a-4)x+a >0因此， f(x)在 (0,2-a-21a ) 內(nèi)單調(diào)遞增，在 (2-a+ 2 1a ,+ )內(nèi)也單調(diào)遞增，而當(dāng)2-a-2 1a <x<2-a+2 1a 時(shí) ， x2+(2a-4)x+a2<0 ， 即 f ' ( x)0 ， 所 以 f(x)在(2-a-2

19、 1a ,2-a+2 1a ) 內(nèi)單調(diào)遞減。6利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。例 7設(shè) x(0, ) ，求證： sinx+tanx>2x.2證明設(shè) f(x)=sinx+tanx-2x， 則 f ' (x)=cosx+sec 2x-2， 當(dāng) x(0, )時(shí) ，2c o xs1c o xs12（ 因?yàn)?<cosx<1） ，所以c o2c o 2sx22sxc o xs212 0 . 又 f(x)在 0,上連續(xù)，所以 f(x) 在 0,f ' ( x) =cosx+sec x-2=cosx+cos2 x22上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x0,時(shí)， f(x)>f(0)=0，即 sinx

20、+tanx>2x.27. 利用導(dǎo)數(shù)討論極值。例 8設(shè) f(x)=alnx+bx212處都取得極值， 試求 a 與 b 的值，并指出這時(shí) f(x)+x 在 x=1 和 x =2在 x1 與 x2 處是取得極大值還是極小值。 解 因?yàn)?f(x) 在(0,+ ) 上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x) 在 x1=1， x2=2 處取得極值，所以aa2b10,a2 ,f ' (1) f ' (2)0 ，又 f ' ( x)a解得3+2bx+1，所以4b11x20,b.6所以 f ( x)2 ln x1 x 2x, f ' (x)21 x 1( x 1)( 2 x) .363x3

21、3x所以當(dāng) x(0,1)時(shí)， f ' ( x)0 ，所以 f(x)在 (0,1上遞減；當(dāng) x (1,2) 時(shí)， f ' ( x) 0 ，所以 f(x) 在 1 ， 2 上遞增；當(dāng) x (2,+ ) 時(shí)， f ' ( x) 0 ，所以 f(x) 在 2 ，+）上遞減。綜上可知 f(x) 在 x1=1 處取得極小值，在 x2=2 處取得極大值。例 9設(shè) x 0, ,y 0,1，試求函數(shù) f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。 解 首先，當(dāng) x0, ,y 0,1時(shí)，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)

22、2xsin(1 y) x 2 y 1 sin x=(1-y) 2x(1y) x(1y)2xsin(1y)xsin xy 2sin x(1y)xx(1y)2xg' ( x)cos x( xtan x) (x),x22，令 g(x)=sin x,x當(dāng) x0,時(shí)，因?yàn)閏osx>0,tanx>x，所以 g' ( x)0 ；2當(dāng) x,時(shí)，因?yàn)?cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以 g '( x)0 ；2又因?yàn)?g(x)在 (0, ) 上連續(xù)，所以 g(x) 在 (0,) 上單調(diào)遞減。又因?yàn)?0<(1-y)x<x< ，所

23、以 g(1-y)x>g(x)，即 sin(1y) xsin x0 ，(1y) xx又因?yàn)閥 2sin x0，所以當(dāng) x (0, ),y (0,1) 時(shí)， f(x,y)>0.(1y)2x其次，當(dāng) x=0 時(shí)， f(x,y)=0；當(dāng) x= 時(shí)， f(x,y)=(1-y)sin(1-y) 0.當(dāng) y=1 時(shí)， f(x,y)=-sinx+sinx=0；當(dāng) y=1 時(shí)， f(x,y)=sinx 0.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0 或 y=0 或 x= 且 y=1 時(shí)， f(x,y) 取最小值 0。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1 lim2 n13n12n3n=_.n2已知 limn 21b2，則 a-b=_.n1an

24、n1cos33x 24x13 lim2(n 1)lim_.n3nn3x2x 224 limx n1(n1) xn_.(x1)2x 15計(jì)算 lim2(1) nlim( x 21x21) _.nnx6若 f(x)是定義在 (- ,+ ) 上的偶函數(shù)，且f '(0) 存在，則 f ' (0)_.7函數(shù) f(x)在 (- ,+ ) 上可導(dǎo)， 且 f ' (2)1，則 lim f (2h) f ( 2h)_.h 02h8若曲線 f(x)=x 4-x 在點(diǎn) P 處的切線平行于直線3x-y=0 ，則點(diǎn) P 坐標(biāo)為 _.9函數(shù) f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是 _.10函數(shù)

25、f ( x)ln1x 2的導(dǎo)數(shù)為 _.1x 211若曲線 y( x 21在點(diǎn) M ( 2, 1) 處的切線的斜率為1 ，求實(shí)數(shù) a.ax)24412. 求 sin29 0 的近似值。13設(shè) 0<b<a<, 求證：2四、高考水平練習(xí)題sin aatan a .sin bbtan b1計(jì)算 lim1242n 113323n 1 =_.n2計(jì)算 limx3x2_.2x2x12x13函數(shù) f(x)=2x3-6x 2+7 的單調(diào)遞增區(qū)間是 _. 。exe4函數(shù) yexexx 的導(dǎo)數(shù)是 _.5函數(shù)f(x)在 x0鄰 域 內(nèi) 可 導(dǎo) ， a,b 為 實(shí) 常 數(shù) ， 若 f '( x

26、0 )c ， 則lf (x0a x)f ( x0b x)i mx_.x06函數(shù) f(x)=1ex (sinx+cosx),xx 0, 的值域?yàn)?_.227過(guò)拋物線2) 的切線方程為 _.x =2py 上一點(diǎn) (x ,y008當(dāng) x>0 時(shí)，比較大?。?ln(x+1) _x.9. 函數(shù) f(x)=x5-5x 4+5x3+1,x -1,2 的最大值為 _ ，最小值為 _.10曲線 y=e-x (x 0) 在點(diǎn) M(t,e-t) 處的切線 l 與 x 軸、 y 軸所圍成的三角形面積為S(t) ，則 S(t) 的最大值為 _.11若 x>0，求證： (x 2-1)lnx(x-1)2.12函

27、數(shù) y=f(x) 在區(qū)間 (0,+ ) 內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)f '( x) 是減函數(shù)，且f ' (x) >0， x0 (0,+ ).y=kx+m 是曲線y=f(x)在點(diǎn) (x 0,f(x 0) 處的切線方程，另設(shè)g(x)=kx+m ，（ 1 ）用x,f(x0), f '( x0 ) 表示 m；（ 2）證明：當(dāng) x (0,+ ) 時(shí)， g(x) f(x) ；（ 3）若關(guān)于 x 的不等02式 x2 +1 ax+b 3 x 3在 (0,+ ) 上恒成立，其中a,b 為實(shí)數(shù)，求 b 的取值范圍及 a,b 所滿2足的關(guān)系。13. 設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列 x11(n N ) , 證明

28、： x 1(n N). 滿足 lnx +nnn+xn 1五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1設(shè) M= （十進(jìn)制） n 位純小數(shù) 0? a1 a2an| ai只取0 或 1（ i=1,2, ,n-1 ）， a =1 ，nnTn 是 Mn 中元素的個(gè)數(shù)， Sn 是 Mn 中所有元素的和，則Sn_.limnTn2若 (1-2x)9111_.展開(kāi)式的第 3 項(xiàng)為 288，則 limx2xnnx3設(shè) f(x),g(x)分別是定義在R 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0 時(shí)，f ' (x)g( x)f ( x) g' (x)0 ，且 g(-3)=0，則不等式 f(x)g(x)<0的解集為 _.4曲線 y21 x2 與 y1 x32 的交點(diǎn)處的切線夾角是_.245已知 a R+，函數(shù) f(x