向量組的線性相關(guān)性的判定方法淺析

1、楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）1目錄目錄摘摘 要：要：.I關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：.IAbstract.IIKeywords：.II1前言.12預(yù)備知識(shí).12.1 線性相關(guān)性的概念及性質(zhì).12.1.1 線性相關(guān)的概念.12.1.2 線性相關(guān)的性質(zhì).23.向量組線性相關(guān)的判定方法.33.1 定義法.33.2 根據(jù)齊次線性方程組的解進(jìn)行判定.43.3 利用矩陣的秩進(jìn)行判定.53.4 利用行列式值進(jìn)行判定.63.5 反證法.73.6 數(shù)學(xué)歸納法.73.7 用線性變換的性質(zhì)進(jìn)行判定.83.8 利用朗斯基行列式來判定.104.結(jié)束語.11參考文獻(xiàn).12致謝.13楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）I向量組的線性相關(guān)性的判定

2、方法淺析向量組的線性相關(guān)性的判定方法淺析摘摘 要：要：本文總結(jié)綜述了向量組線性相關(guān)性的判定方法，并闡述了不同判定方法適用的條件.關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：線性相關(guān)；線性無關(guān)；判定方法.楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）IISeveral Methods of Judging the Linear Dependence of A Vector Group is analysedAbstract：This article summarizes the judging methods of vector linear correlation, and expounds the different methods ap

3、plicable conditions. Keywords：linear correlation; linear independence; judging methods .楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）11 1前言前言向量組的線性相關(guān)性在線性代數(shù)中起到貫穿始終的作用.線性相關(guān)性這個(gè)概念在許多數(shù)學(xué)專業(yè)課程中都有體現(xiàn)，如微分幾何，高等代數(shù)和偏微分方程等等.它是線性代數(shù)理論的基本概念，它與線性空間(包括基，維數(shù)），子空間等概念有密切關(guān)系，同時(shí)在微分幾何以及偏微分方程中都有廣泛的應(yīng)用.因此，掌握線性相關(guān)性這個(gè)概念有著非常重要的意義，也是解決其它問題的重要理論依據(jù).向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)判定方法是

4、非常靈活的。本文從線性相關(guān)性的定義出發(fā)，分別運(yùn)用了定義法、矩陣的秩、行列式的值、齊次線性方程組的解、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、線性變換的性質(zhì)等幾種方法對(duì)向量組的線性相關(guān)性進(jìn)行了判定.如果向量組是函數(shù)，那么可用朗斯基判別法判定.特別是反證法，線性變換的性質(zhì)，朗斯基判別法運(yùn)用于一些復(fù)雜和特殊的題目，是比較方便的.2 2預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)2.12.1 線性相關(guān)性的概念及性質(zhì)線性相關(guān)性的概念及性質(zhì)2.1.1 線性相關(guān)的概念定義 11向量稱為向量組的一個(gè)線性組合，如果有數(shù)域 P 中的數(shù)s,21使12s,k kk=1122sskkk定義 21若向量組中每一個(gè)向量()都可由向量組=線性表示,則Aiti, 2 , 1

5、Bs,1稱可由線性表示.若兩個(gè)向量組可互相線性表示,則稱這兩個(gè)向量組等價(jià).AB性質(zhì) 向量組的等價(jià)具有 1)反身性；2)對(duì)稱性；3)傳遞性.定義 31如果向量組中有一個(gè)向量可以由其余的向量線性表出，那么向量12,2ss 組稱為線性相關(guān)的。s,21 定義 41向量組稱為線性相關(guān)，如果有數(shù)域 P 中不全為零的數(shù)12,1ss 使12s,k kk 11220sskkk定義 3 與定義 4 在的時(shí)候是一致的。2s 定義 51一向量組不線性相關(guān)，即沒有不全為零的數(shù)使12,1ss 12s,k kk11220sskkk就稱為線性無關(guān);或者說，一向量組如稱為線性無關(guān)，如果由s,2111220sskkk可以推出楚雄

6、師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）2120skkk定義 61設(shè)向量組是向量組的部分組.稱是riii,21s,21riii,21的極大無關(guān)組,如果s,21i)向量組線性無關(guān)；riii,21ii)中的任意個(gè)向量(如果有的話)構(gòu)成的向量組總是線性相關(guān)的. s,211r定義 71向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為該向量組的秩. 記為秩(s,21).s,21性質(zhì) 向量組線性無關(guān)秩 =.r,1r,1r向量組線性相關(guān)秩.r,1r,1r2.1.2 線性相關(guān)的性質(zhì)性質(zhì)(1)1 一個(gè)向量組若有部分向量線性相關(guān),則此向量組線性相關(guān).(即:部分相關(guān),整體相關(guān))性質(zhì)(2)1 若一個(gè)向量組線性無關(guān),則它的每個(gè)非空部分向量組也線性

7、無關(guān).(即:整體無關(guān),部分無關(guān))性質(zhì)(3)2 含零向量的向量組必線性相關(guān),即線性相關(guān).10,s性質(zhì)(4)2線性相關(guān). =0性質(zhì)(5)2線性相關(guān).,)(P性質(zhì)(6)1中單位向量組線性無關(guān).nP性質(zhì)(7)1向量組=線性相(無)關(guān)齊次線性方程組i),(21iniiaaa), 2 , 1(si 000221122221121221111ssnnnssssxaxaxaxaxaxaxaxaxa有(無)非零解.性質(zhì)(8)2 設(shè)向量組線性無關(guān),而向量組,線性相關(guān),則一定可s,21s,21由唯一的線性表示.s,21性質(zhì)(9)2 向量組(s)線性相關(guān)的充要條件是其中某一個(gè)向量是其余向量的線性s,212組合.性質(zhì)（

8、10）2如果向量組可由向量組線性表出，且 st,則s,2112t, 必線性相關(guān).s,21楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）3性質(zhì)（11）2如果向量組線性無關(guān)，且它可由向量組線性表出，則s,2112t, （這是 10）的逆否命題）.st性質(zhì)(12)1任意個(gè)維向量必線性相關(guān).1nn性質(zhì)(13)1 兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)的向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量.性質(zhì)(14)2設(shè)向量組是向量組的一個(gè)部分組,則riii,21s,21riii,21是極大線性無關(guān)組的充要條件為 i)向量組線性無關(guān);riii,21ii)每一個(gè)()都可由線性表示.jsj, 2 , 1riii,21性質(zhì)(15)1 向量組的任意一個(gè)極大無關(guān)組都與向量組本

9、身等價(jià).性質(zhì)(16)1向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組等價(jià).性質(zhì)(17)1 向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量.性質(zhì)(18)1兩個(gè)等價(jià)的向量組有相同的秩.性質(zhì)(19)1一個(gè)向量組線性無關(guān)的充要條件為它的秩與它所含向量的個(gè)數(shù)相同.性質(zhì)(20)1n 階方陣 A 的行列式為零的充要條件是 A 的秩小于 n.性質(zhì)(21)1一矩陣的秩是 r 的充要條件為矩陣中有一個(gè) r 級(jí)子式不為零，同時(shí)所有 r+1 級(jí)子式全為零.性質(zhì)(22)1矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.3.3.向量組線性相關(guān)的判定方法向量組線性相關(guān)的判定方法3.13.1 定義法定義法定義法是判定向量組的線性相關(guān)性的最基本的方法。定義法既適

10、用于分量沒有具體給出的抽象向量組,也適用于分量已經(jīng)給出的具體向量組。對(duì)給定的個(gè)向量，只需令ss,2111220sskkk根據(jù)題中的條件去求即可。12s,k kk當(dāng)不全為零時(shí)，是線性相關(guān)的。當(dāng)全為零時(shí)，12s,k kks,2112s,k kk是線性無關(guān)的。s,21例 1 設(shè)線性無關(guān)，證明也線性無2345, 1223344551, 關(guān).證明：設(shè)對(duì)于任意的，有12345,k k k k k.11222333445551()()()()+0kkkkk4（）楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）4整理得.1512223334455()()()()+()0kkkkkkkkkk4由于線性無關(guān)，得2345, 15122

11、3344500000kkkkkkkkkk解得1234500000kkkkk所以也線性無關(guān).1223344551, 例 2 設(shè)，判斷它們的線性相關(guān)性.2341,1,1,1 xxxP x 解：設(shè)，令1234,k k k kP，231234(1)(1)(1)0kkxk xkx整理得,231234234()0kkkkk xk xk x所以有12342340000kkkkkkk解得.12340kkkk從而是線性無關(guān)的.231,1,1,1xxx3.23.2 根據(jù)齊次線性方程組的解進(jìn)行判定根據(jù)齊次線性方程組的解進(jìn)行判定楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）5在應(yīng)用定義法解一個(gè)齊次線性方程組,需由該方程組是否有非零解來

12、判定向量組的線性相關(guān)性.即應(yīng)用定義法的同時(shí)也就應(yīng)用了齊次線性方程組的解進(jìn)行了線性相關(guān)性的判定.于是我們可以利用以下結(jié)論進(jìn)行判定.結(jié)論1：向量組=線性相(無)關(guān)齊次線性方程組i),(21iniiaaa), 2 , 1(mi 0 00221122221121221111mmnnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa有(無)非零解.例 3 設(shè),試判斷它們是否線性相關(guān).123(1,2,-1),(3,1,-1),(-1,0,1)xxx解：令.1 122330k xk xk x即12312123k30200kkkkkkk解得1230,0,0.kkk故是線性無關(guān)的.123,x x x3.33.3 利

13、用矩陣的秩進(jìn)行判定利用矩陣的秩進(jìn)行判定 結(jié)論1：設(shè)向量組:是由 s 個(gè)維列向量所組成的向量組,則向量組的線性相A12s, nA關(guān)性可由向量組所構(gòu)成的矩陣=()的秩的大小來進(jìn)行判定.即AA12s, (i) 當(dāng) R()=s 時(shí),則向量組:是線性無關(guān)的.AA12s, (ii) 當(dāng) R()s 時(shí),則向量組:是線性相關(guān)的.AA12s, 例 4【2】設(shè)試判斷它們12345= 1-=0,3,1,2(3,0,7,14),(1, 1,2,0),(2,1,5,6)（，1, 2, 4）,（）,的線性相關(guān)性并求它們的一個(gè)極大無關(guān)組.楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）6解：將寫成列向量，拼成一個(gè)矩陣，并進(jìn)行初等行變換，將此矩

14、陣化為, 34，階梯型.1031210312103121301103303011012172501101000444214060224200000所以，從最后一個(gè)矩陣可以看出的秩為 3，是線性相關(guān)的，（或, 34，4，）為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.34，3.43.4 利用行列式值進(jìn)行判定利用行列式值進(jìn)行判定行列式值的判定實(shí)質(zhì)上是根據(jù)克萊姆法則判定以向量組作為系數(shù)向量的齊次線性方程組是否有非零解,然后再對(duì)向量組的線性相關(guān)性作出判定,所以能應(yīng)用行列式值進(jìn)行判定的向量組,也可以應(yīng)用矩陣的秩和齊次線性方程組是否有非零解的方法來進(jìn)行判定. 但是該方法的局限性在于只有符合向量組的個(gè)數(shù)和單個(gè)向量的分量個(gè)數(shù)相等

15、的條件時(shí)才用此法.結(jié)論1：若向量組: 是由 s 個(gè) s 維列向量所組成的向量組,且向量組所構(gòu)成A12,s A的矩陣=(),即為 s 階方陣,則A12,s A(i) 當(dāng)=0 時(shí),則向量組:是線性相關(guān)的.AA12,s (ii) 當(dāng)0 時(shí),則向量組:是線性無關(guān)的.AA12,s 例 5【4】設(shè)線性無關(guān)，試問向量組是否線性相關(guān)？并證明12,n 1223n1+，你的結(jié)論. 解：當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，向量組線性無關(guān)；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，向量組1223n1+，線性相關(guān).1223n1+， 證明如下：令于是，112223n1(+(+()0nkk)+k)+有.111221n()()()0nnnkkkkkk由于線性無關(guān)，所

16、以，得12,n 1122310000nnnkkkkkkkk系數(shù)行列式為楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）7=1000111000011000001000011D 20nn當(dāng)為奇數(shù)時(shí)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)即當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，只有零解，故向量組線性無關(guān)；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，1223n1+，有非零解，故向量組線性相關(guān).1223n1+，3.53.5 反證法反證法在有些題目中，直接的給出證明結(jié)論往往比較困難，而從結(jié)論的反面入手卻很容易推出一些與已知條件或已知的定義，定理，公理相悖的結(jié)果，從而說明原結(jié)論成立.例 6【4】設(shè)向量可由向量組線性表示，但不能由向量組線性表示，證明：12r, 12r-1, 不能由向量組線性表示.r1

17、2r-1, 證明：用反證法，若 （1） r1111rrkk又已知 （2） 1111rrrrlll將（1）代入（2），整理得 111111()()rrrrrlk llkl這與不能由線性表示矛盾，所以得證不能由向量組線性表示.12r-1, r12r-1, 3.63.6 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法向量組的線性相關(guān)性與線性無關(guān)性是兩個(gè)密切相關(guān)的概念，理解線性相關(guān)我們可以結(jié)合線性無關(guān)來理解.在研究一個(gè)向量組是否線性相關(guān)時(shí)，需要結(jié)合相應(yīng)的背景，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法來討論.例如矩陣 A 的特征向量有以下性質(zhì)：例 7【1】設(shè) A 為 n 階方陣，證明：屬于 A 的不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.證明：對(duì)于 A 的特征值

18、的個(gè)數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法.由于特征向量是不為零的，所以單個(gè)的特征向量必然是線性無關(guān).現(xiàn)在設(shè)屬于 A 的 k 個(gè)不同特征值的特征向量線性無關(guān)，我們證明屬于 A 的 k+1 個(gè)不同特征值的特征向量也線性無關(guān).12k+1，121k，假設(shè)有關(guān)系式 （1） 1 1221k 10kkkaaaa楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）8成立.等式兩端乘以，得k+1 （2） 1k+1 12k+12k+11k+1k 10kkkaaaa（1）式兩端同時(shí)施行變換，即有 （3）1 1 12221k+1k 10kkkkaaaa （3）減去（2）得到 1111k+1()()0kkkkaa根據(jù)歸納法假設(shè)，線性無關(guān)，于是12k， 1()0,1

19、,2, .iikaik但，所以.這時(shí)(1)式變成.又因?yàn)?0,()ikik0,1,2,iaik110kka，所以只有.故線性無關(guān).10k+1=0ka121k，3.73.7 用線性變換的性質(zhì)進(jìn)行判定用線性變換的性質(zhì)進(jìn)行判定在線性空間的理論中，定義在數(shù)域 P 上的線性空間 V 中的元素，我們稱之為向量.V 上的線性變換有一些比較好的性質(zhì)，可以幫助我們來討論向量組的線性相關(guān)性.性質(zhì) 1【7】設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是上的一個(gè)線性變換，若VPV12,nV 線性相關(guān)，則也是線性相關(guān)的.12,n 12(),(),()n 證明：由于線性相關(guān)，那么存在不全為 0 的數(shù)使得12,n 12,nk kk.11220n

20、nkkk由于是上的線性變換，那么有V.1122()0nnkkk即.1122()()()0nnkkk 因此，是線性相關(guān)的.12(),(),()n 但是該定理反過來不一定成立.即線性相關(guān)，并不一定12(),(),()n 12,n 也是線性相關(guān)的.若為零變換，假設(shè)是線性無關(guān)的，零變換把全部變12,n 12,n 成零向量，它們是線性相關(guān)的，從而滿足該條件，但是是線性無關(guān)的.12,n 推論【7】設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是上的一個(gè)線性變換，若VPV是線性無關(guān)的，那么也是線性無關(guān)的.12(),(),()n 12,n 楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）9性質(zhì) 2【7】設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是上的一個(gè)線性變換，且是 V

21、 中可逆的線性變換,VPV線性空間 V 中的向量組線性相關(guān)的充要條件是它們的象線性12,n 12(),(),()n 相關(guān). 證明：若線性相關(guān)，則存在不全為 0 的數(shù)，使得)12,n 12,nk kk.11220nnkkk那么.1221)0(nnkkk 所以是線性相關(guān)的.12),),(,)(n若線性相關(guān)，則存在不全為 0 的數(shù)，使得)12),),(,)(n12,nk kk，1221)0(nnkkk 由于是可逆的，那么有 ，1122()0nnkkk從而.11220nnkkk所以也是線性相關(guān)的.12,n 綜上所述，該定理是成立的.例 8 在 C0,1中，線性變換，0f( )(t)xttfdt設(shè)有向量

22、組.求，并討論，的線性相關(guān)1231,23tt123123性.解：由題意可得 210232032301121323(23)(23)32xxxtdtxtt dtxtttdtxx因?yàn)椋从芯€性相關(guān)，所以，線性相關(guān).3122332t123, 123楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）103.83.8 利用朗斯基行列式來判定利用朗斯基行列式來判定 在 n 階線性常系數(shù)微分方程中，我們需要討論基本解組，即找 n 個(gè)線性無關(guān)的解，這時(shí)需要利用朗斯基行列式的相關(guān)理論來判斷.引理 16 一組 n 個(gè) n 次可微的純量函數(shù)線性相關(guān)的充要條件是向量函數(shù)12( ),( ),( )nx tx tx t 1212(1)(1)(1

23、)12( )( )( )( )( )( ),( )( )( )nnnnnnx tx tx tx tx tx txtxtxt 線性相關(guān).定理 16設(shè)在上有 n 階導(dǎo)數(shù)，若向量函數(shù)在區(qū)12( ),( ),( )nx tx tx t, a b12( ),( ),( )nx tx tx t間上線性相關(guān),則它們的朗斯基行列式, a b.1212(1)(1)(1)12( )t( )( )( )( )( )0( )( )( )nnnnnnx txx tx tx tx tw txtxtxt（)定理 26設(shè)在上有 n 階導(dǎo)數(shù)，如果向量函數(shù)在12( ),( ),( )nx tx tx t, a b12( ),( ),( )nx tx tx t區(qū)間上線性無關(guān),則它們的朗斯基行列式, a b.1212(1)(1)(1)12( )t( )( )( )( )( )0( )( )( )nnnnnnx txx tx tx tx tw txtxtxt（)例 9 判定下列向量組的線性相關(guān)性.（1） （2）1,cos ,sinxx221x ,23x ， 解：（1）因?yàn)樵撓蛄拷M的朗斯基行列式為 ，1cossin0sincos100cossinxxxxxx 所以線性無關(guān).1,cos ,sinxx（2）因?yàn)樵撓蛄拷M的朗斯基行列式為楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）11 221230240024x