圖形變換對(duì)角互補(bǔ)和角含半角旋轉(zhuǎn)習(xí)題集

1、對(duì)角互補(bǔ)和角含半角旋轉(zhuǎn)真題鏈接【例1】 在中，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段（1）若且點(diǎn)與點(diǎn)重合（如圖1），線段的延長線交射線于點(diǎn)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫出的度數(shù)；（2）在圖2中，點(diǎn)不與點(diǎn)重合，線段的延長線與射線交于點(diǎn)，猜想的大小（用含的代數(shù)式表示），并加以證明；（3）對(duì)于適當(dāng)大小的，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn)，重合）時(shí)，能使得線段的延長線與射線交于點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出的范圍（2012北京中考）【答案】（1）補(bǔ)全圖形，見圖1；（2）猜想：證明：如圖2，連結(jié)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，又為公共邊，又，在四邊形中，（3）的范圍是課堂練習(xí)一、對(duì)角互補(bǔ)旋轉(zhuǎn)【例1】 在等腰直角中，是的

2、中點(diǎn)，點(diǎn)從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，交于點(diǎn)，試說明的形狀和面積將如何變化 【答案】連接因?yàn)榍?，所以因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，則因?yàn)?，所以，所以，所以因此是等腰直角三角形，在的運(yùn)動(dòng)過程中形狀不變的面積與邊的大小有關(guān)當(dāng)點(diǎn)從出發(fā)到中點(diǎn)時(shí)，面積由大變??；當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，三角形的面積最?。焕^續(xù)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積又由小變大【例2】 如圖所示，在四邊形中，于，若四邊形 的面積是16，求的長【答案】如圖，過點(diǎn)作，延長交于點(diǎn)，容易證得（實(shí)際上就是把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形）正方形的面積等于四邊形面積為，【例3】 在五邊形中，已知，連接求證：平分 【答案】連接由于，我們以為中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置因，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，而，所以、在一條直

3、線上，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后落在點(diǎn)的位置，且，所以在與中，因?yàn)?，故，因此，即平分【?】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B（1）求BAO的度數(shù)；（2）如圖1，P為線段AB上一點(diǎn)，在AP上方以AP為斜邊作等腰直角三角形APD點(diǎn)Q在AD上，連結(jié)PQ，過作射線PFPQ交x軸于點(diǎn)F，作PGx軸于點(diǎn)G求證：PFPQ；（3）如圖2，E為線段AB上一點(diǎn)，在AE上方以AE為斜邊作等腰直角三角形AED若P為線段EB的中點(diǎn)，連接PD、PO，猜想線段PD、PO有怎樣的關(guān)系？并說明理由圖1圖2【答案】（1）直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)BA（6，0），B（0，6）OA=OB在AOB中， （2）在等腰直

4、角三角形APD中，DA=DP，DPAD于D由（1）可得又PGx軸于G，yPG = PD 即又PQPF， 在PGF和PDQ中，PGFPDQ（ASA）PF=PQ2x圖1ABQGPOFD134756圖2DAEBOyPxH3412（3）答：OPDP，OPDP證明：延長DP至H，使得PH=PDP為BE的中點(diǎn)，PB=PE在PBH和PED中，PBHPED（SAS）BH=EDBHED在等腰直角三角形ADE中，AD=ED，AD=BH，.DEx軸，BHx軸， BHy軸由（1）可得 OA=OB在DAO和HBO中，DAOHBO（SAS）OD=OH，5=6 ,.在等腰直角三角形DOH中，DP=HP，OPDP，.OP=P

5、D二、角含半角旋轉(zhuǎn)【例5】 、分別是正方形的邊、上的點(diǎn)，且，為垂足，求證： 【答案】延長至，使，連結(jié)，易證，再證，全等三角形的對(duì)應(yīng)高相等（利用三角形全等可證得），則有【例6】 如圖，點(diǎn)是以為圓心，為直徑的半圓的中點(diǎn)，等腰直角三角板角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，當(dāng)此三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，它的斜邊和直角邊所在的直線與直徑分別相交于、兩點(diǎn)設(shè)線段的長為，線段的長為，則下列圖象中，能表示與的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ）ABCD（2014海淀一模）【答案】C【解析】由角中半角可知，故選C【例7】 閱讀下面材料：小炎遇到這樣一個(gè)問題：如圖，點(diǎn)、分別在正方形的邊，上，連結(jié)，則，試說明理由小炎是這樣思考的：要想解決這個(gè)問題，首先

6、應(yīng)想辦法將這些分散的線段相對(duì)集中她先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段，是共點(diǎn)并且相等的，于是找到解決問題的方法她的方法是將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，再利用全等的知識(shí)解決了這個(gè)問題（如圖）參考小炎同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖，四邊形中，點(diǎn)，分別在邊，上，若，都不是直角，則當(dāng)與滿足_關(guān)系時(shí)，仍有；（2）如圖，在中，點(diǎn)、均在邊上，且，若，求的長（2014東城一模）【答案】（1）（或互補(bǔ)）（2），把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，中，即在與中，又，又，【例8】 如圖，點(diǎn)、分別是正方形的邊、上的點(diǎn)，連接，則、之間的數(shù)量關(guān)系是：連結(jié)，交、于點(diǎn)、，且、滿足，請(qǐng)證明這個(gè)等量關(guān)系；（2）在

7、中， ，點(diǎn)、分別為邊上的兩點(diǎn)如圖，當(dāng)，時(shí)，、應(yīng)滿足的等量關(guān)系是_；如圖，當(dāng)，時(shí)，、應(yīng)滿足的等量關(guān)系是_【參考：】（2014平谷一模）【答案】（1）在正方形中，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到連結(jié)則，在中，（2）；【例9】 問題：如圖，在等腰梯形中，點(diǎn)，分別在，上，若，試探究線段，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不用證明；問題：如圖，在四邊形中，點(diǎn)，分別在，的延長線上，若仍然成立，請(qǐng)你進(jìn)一步探究線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明（2013東城一模）【答案】解：（1）猜想的結(jié)論：（2）猜想的結(jié)論：證明：在截取，連接，又，即，即又，【例10】 在等邊的兩邊，所在直線上分別有兩點(diǎn)、，為外一點(diǎn)

8、，且，探究：當(dāng)點(diǎn)分別在直線上移動(dòng)時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系及的周長與等邊的周長的關(guān)系（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上，且時(shí)，之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時(shí)_（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上，且時(shí)，猜想（1）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)分別在邊的延長線上時(shí)，若，則_（用表示）【答案】第三問提示：利用旋轉(zhuǎn)，即可得到兩個(gè)影印部分全等三、線段的旋轉(zhuǎn)【例11】 在中，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接，（1）如圖，當(dāng)，時(shí)，的大小為_；（2）如圖2，當(dāng)，時(shí)，求的大??；（3）已知的大小為（），若的大小與（）中的結(jié)果相同，請(qǐng)直接寫出的大小圖1 圖2（2014海淀一模）【答案】（1）；（2）如圖

9、作等邊，連結(jié)、，由，得，由，得（3），或【例12】 已知：在中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與過點(diǎn)且平行于邊的直線交于點(diǎn)（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系_；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；（3）如圖3，當(dāng)為任意銳角時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，請(qǐng)直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系：_（用含的式子表示，其中）（2014門頭溝一模）【答案】（1）；（2）；理由如下：過點(diǎn)作，交于，是等腰直角三角形，（3）補(bǔ)全圖形如圖，關(guān)系：四、其他旋轉(zhuǎn)綜合【例13】 如圖所示，將一個(gè)邊長為的正方形和一個(gè)長為、寬為的長方形拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長方形現(xiàn)將小長方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，

10、旋轉(zhuǎn)角為（1）當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的值；（2）如圖，為中點(diǎn)，且，求證：；（3）小長方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角的值；若不能，說明理由（2014密云一模）【答案】（1）（2）為中點(diǎn)，又（3）能，或【例14】 在圖1至圖3中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)四邊形和都是正方形的中點(diǎn)是（1）如圖1，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：，；（2）將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖2，求證：是等腰直角三角形；（3）將圖2中的縮短到圖3的情況，還是等腰直角三角形嗎？（不必說明理由）【答案】（1）證明：四邊形和都是正方形，又點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，

11、（2）證明：連接、，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，且，且四邊形是平行四邊形又，且是等腰直角三角形（3）是【例15】 如圖1，兩個(gè)等腰直角三角板和有一條邊在同一條直線上，將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)將圖1中的三角板沿直線向右平移，設(shè)、兩點(diǎn)間的距離為解答問題：（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖2所示，可得的值為_；在平移過程中，的值為_（用含的代數(shù)式表示）；（2）將圖2中的三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，原題中的其他條件保持不變當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，如圖3所示，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，計(jì)算的值；（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，原題中的其他條件保持不變計(jì)算的值（用含的代數(shù)式表示）（2013初三上海淀期末）【答案】（）；（）連結(jié)，均為等腰直角三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平分， （）過作的垂線交直線于點(diǎn)，連結(jié)、，為等腰直角三角形，課后作業(yè)【練1】 如圖，已知點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是的延長線上一點(diǎn)，且 求證：【答案】證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故，故【?】 如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各存一點(diǎn)P、Q，若APQ的周長為2，求PCQ的度數(shù) 【答案】把