各種多屬性決策方法

1、一、多屬性決策問題的準備工作一、多屬性決策問題的準備工作設(shè)可供選擇的方案集為:,21mXXXX方案的屬性集為:,21nyyyY決策矩陣為:mnmjminijinjyyyyyyyyy1111111、決策矩陣、決策矩陣例例1學校擴建問題。學校擴建問題。設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有6所學校，由于無法完全容納該地區(qū)適齡兒童，需要擴建其中的一所。在擴建時既要滿足學生就近入學的要求，又要使擴建的費用盡可能小。(至于所擴建學校的教學質(zhì)量我們稍后再考慮。)經(jīng)過調(diào)研，獲得如下表所示的決策矩陣。學校序號費用/(萬元)平均就讀距離/(km)1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例例2 研究生院評估

2、。研究生院評估。為了客觀地評價我國研究生教育的實際狀況和各研究生院的教學質(zhì)量，國務(wù)院學位委員會辦公室組織過一次研究生院的評估。為了取得經(jīng)驗，先選5所研究生院，收集有關(guān)數(shù)據(jù)資料進行了試評估。下表中所給出的是為了介紹各種數(shù)據(jù)預(yù)處理方法的需要而選的幾種典型屬性和經(jīng)過調(diào)整了的數(shù)據(jù)。 ji人均專著y1/(本/人)生師比y2科研經(jīng)費y3/(萬元/年)逾期畢業(yè)率y4/(%)10.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.22 數(shù)據(jù)預(yù)處理數(shù)據(jù)預(yù)處理 數(shù)據(jù)預(yù)處理又稱屬性值的規(guī)范化，主要有三個作用：(1)屬性值有多種類型。屬性值有多種類型。有的

3、屬性值越大越好。有的屬性值越小越好，有的屬性值越接近于某個值越好。因此，需要對決策矩陣中的數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，使表中任一屬性下性能越優(yōu)的方案變換后的屬性值越大。(2)無量綱化無量綱化。多目標間的不可公度性，要求僅用數(shù)值的大小來反映屬性值的優(yōu)劣。(3)歸一化。歸一化。即把表中數(shù)均變換到0,1區(qū)間上。 數(shù)據(jù)處理的本質(zhì)是要給出某個指標的屬性值在決策人評價方案優(yōu)劣時的實際價值。1、線性變換、線性變換 原始的決策矩陣為Y=yi j ,變換后的決策矩陣記為Z=zij,i=1,m,j=1,n。設(shè)yjmax是決策矩陣第j列中的最大值。若j為效益型屬性，則 zij=yij/yjmax (1)采用上式進行數(shù)據(jù)預(yù)處理時

4、，經(jīng)過變換的最差屬性值不一定為0，最佳屬性值為1。 若j為成本型屬性，可以令 zij=1-yij/yjmax (2) 經(jīng)過(2)變換后的最佳屬性值不一定為1，最差為0。成本型屬性也可以用下式進行變換： zij=yjmin/yij (2)用式(2)變換后的屬性最差不一定為0,最佳為1,且是非線性變換。2、標準、標準0-1變換變換 對于線性變換，屬性值進行線性變換后，若屬性j的最優(yōu)值為1，則最差值一般不為0;若最差值為0,最優(yōu)值就往往不為1。為了使每個屬性變換后的最優(yōu)值為1且最差值為0,可以進行標準0-1變換。對效益型屬性j,令(4) ，j(3) minmaxmaxminmaxminjjijjij

5、jjjijijyyyyzyyyyz令為成本型屬性時3、最優(yōu)值為給定區(qū)間時的變換、最優(yōu)值為給定區(qū)間時的變換 設(shè)給定的最優(yōu)屬性區(qū)間為yj0,yj*,yj為無法容忍下限，yj為無法容忍上限，則 (5)變換后的屬性值zij與原屬性值yij之間的函數(shù)圖形為一般梯形。其他若若若 0 )/()(1 1 )/()(1* * *0000jijjjjjijjijjjijjjjijjijyyyyyyyyyyyyyyyyyz4、向量規(guī)范化、向量規(guī)范化 無論成本型屬性還是效益型屬性，向量規(guī)范化均用下式進行變換：這種變換也是線性的，但是它與前面介紹的幾種變換不同，從變換后屬性值的大小上無法分辨屬性值的優(yōu)劣。它的最大特點是

6、，規(guī)范化后，各方案的同一屬性值的平方和為1，因此常用于計算各方案與某種虛擬方案(如理想點或負理想點)的歐式距離的場合。(6) /12miijijijyyz5、原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理、原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理 有些時候某個目標的各方案屬性值往往相差極大，或者由于某種特殊原因只有某個方案特別突出。如果按一般方法對這些數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，該屬性在評價中的作用將被不適當?shù)乜浯?。為此可以采用類似于評分法的統(tǒng)計平均方法。方法之一是設(shè)定一個百分制平均值M，將方案集X中各方案該屬性的均值定位于M，再用下式進行變換：其中， 是各方案屬性j的均值，m為方案個數(shù)，M的取值可在0.5-0.75之間。(7) )00. 1 (maxM

7、Myyyyzjjjijijmiijjymy11、專家打分數(shù)據(jù)的預(yù)處理、專家打分數(shù)據(jù)的預(yù)處理有時某些性能指標很難或根本不能用適當?shù)慕y(tǒng)計數(shù)據(jù)來衡量其優(yōu)劣。通常要請若干個同行專家對被評價對象按指標打分。再用各專家打分的平均值作為相應(yīng)指標的屬性并據(jù)此確定被評價對象的優(yōu)劣。為了改變無形中造成的各專家意見重要性不同的狀況，使各位專家的意見在評價中起同樣的重要作用，應(yīng)該把所有專家的打分值規(guī)范到相同的分值區(qū)間M0,M*。M0和M*的選值不同對評價結(jié)果并無影響，只要所有專家的打分值都規(guī)范到該區(qū)間就行。具體算法為 (8)若選M0=0,M*=1，上式就與效益型屬性的標準0-1變換式(3)相同。minmaxmin0*

8、0)(jjjijijyyyyMMMz9.5 TOPSIS法法1、TOPSIS法的解題思路法的解題思路 TOPSIS是逼近理想解的排序方法(technique for order preference by similarity to ideal solution)，它借助多屬性問題的理想解和負理想解給方案集X中各方案排序。 理想解x*是一個方案集X中并不存在的虛擬的最佳方案，它的每個屬性值都是決策矩陣中該屬性的最好的值；而負理想解x0則是虛擬的最差方案，它的每個屬性值都是決策矩陣中該屬性最差的值。在n維空間中，將方案集X中的各備選方案xi與理想解x*和負理想解x0的距離進行比較，既靠近理想解又

9、遠離負理想解的方案就是方案集X中的最佳方案；并可以據(jù)此排定方案集X中各備選方案的優(yōu)先序。TOPSIS法的思路可以用下圖來說明。圖1 理想解和負理想解示意圖x1x5x4x0 x2x6x3x*f2f1 (9.35)n ,1,j j minj max(9.34)n ,1,j j minj max,)3()33. 9( , 1;, 1 , ,),( (2)(9.32)n ,1,jm;,1,i ,/ ,) 1 (20*00*0*2112為效益型屬性為成本型屬性負理想解為成本型屬性為效益型屬性理想解則個屬性為第負理想解個屬性值為的第設(shè)理想解和負理想解確定理想解則設(shè)由決策人給定構(gòu)成加權(quán)規(guī)范矩陣則規(guī)范化決策矩

10、陣策矩陣設(shè)多屬性決策問題的決得規(guī)范決策矩陣用向量規(guī)范化的方法求的算法步驟xijxxxijxxxjxxjx。xxnjmizwxwwww。xXyyzzZyY。、TOPSISiijijiijijjjijjijTnijmiijijijijij。C(6)(9.38) m,1,i ),/(C )。(5)(9.37) m,1,i ,)(d x(9.36) m,1,i ,)(d )4(*i*00*in1j200iin1j2*i劣次序由大到小排列方案的優(yōu)按即綜合評價指數(shù)值計算各方案的排隊指示到負理想解的距離為備選方案到理想解的距離為備選方案負理想解的距離計算各方案到理想解與iiijijjijidddxxxxx。

11、 ji人均專著y1/(本/人)生師比y2科研經(jīng)費y3/(萬元/年)逾期畢業(yè)率y4/(%)10.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.23、用、用TOPSIS法求解例法求解例2(1)對表所示屬性值向量規(guī)范化，所得屬性矩陣見下表.表中最右一列是屬性2經(jīng)式(5)變換后的值再進行向量規(guī)范化的結(jié)果。i j z1(y1)z3(y3)z4(y4)z2(z2)10.03460.69560.64820.666620.06930.55650.30340.555530.20780.17530.41370.222240.10390.41740.

12、53780.444450.96950.03980.16550.0000(2)設(shè)權(quán)向量仍為w=0.2,0.3,0.4,0.1,得加權(quán)的量規(guī)范化屬性矩陣如下:i jz1z2z3z410.006920.200000.278240.0648220.013860.166670.222600.0303430.041560.666670.070120.0413740.020790.133330.166960.0537850.193900.00000.159200.01665(3)由上表和式(9.34)、式(9.35)，得理想解x*為(0.1939,0.2000,0.2872,0.01655)負理想解x0為(

13、0.00692,0.0000,0.01592,0.06482)(4)分別用式(9.36)和式(9.37)求各方案到理想點的距離di*和負理想點的距離di0,列于下表。(5)計算排隊指示值Ci*(見上表),由Ci*值的大小可確定各方案的排序為：di*di0Ci*10.19310.65430.772120.19180.43540.657730.21940.25280.529740.21970.20220.479350.65430.19310.225454321xxxxx二、基于離差最大化的多屬性決策方法二、基于離差最大化的多屬性決策方法1、 決策方法 對于某一多屬性決策問題,屬性權(quán)重信息完全未知.

14、決策矩陣為 ,A經(jīng)過規(guī)范化處理后,得到規(guī)范化矩陣mnijaA)(mnijrR)(假設(shè)屬性權(quán)重向量為并滿足單位化約束條件:Mjwwwwwjm, 0),.,(21mjjw121則各方案的綜合屬性值可定義為:mjjijiwrwz1)( 多屬性決策,一般是對這些方案綜合屬性值的排序比較.若所有方案屬性uj下的屬性值差異越小,則說明該屬性對方案決策與排序所起的作用越小;反之,如果屬性uj能使所有方案的屬性值有較大差異,則說明其對方案決策與排序?qū)⑵鹬匾饔?因此,從對方案進行排序的角度考慮,方案屬性值偏差越大的屬性(無論其本身的重要性程度如何)應(yīng)該賦予越大的權(quán)重.特別地,若所有方案在屬性uj下的屬性值無差

15、異,則屬性uj對方案排序?qū)⒉黄鹱饔?可令其權(quán)重為0.對于屬性uj,用Vij(w)表示方案與其他所有方案之間的離差.則可定義MjNiwrwrVnkjkjjijij,1令MjwrrwVwVjninkkjijniijj,)()(111則Vj(w)表示對屬性uj而言,所有方案與其他方案的總離差.根據(jù)上述分析,加權(quán)向量w的的選擇應(yīng)該使所有屬性對所有方案的總離差最大.為此,構(gòu)造目標函數(shù)為mjjninkkjijnjjwrrwVwV1111)()(max于是,求權(quán)重向量w等價于求解如下最優(yōu)化模型:1, 0. .)(max12111mjjjmjjninkkjijwMjwtswrrwV解此最優(yōu)化模型,作拉格朗日(

16、lagrange)函數(shù)) 1(21),(12111mjjmjjninkkjijwwrrwL求其偏導(dǎo)數(shù),并令01, 01211mjjjninkkjijjwLMjwrrwL求得最優(yōu)解為:Mjrrrrwmjninkkjijninkkjijj 121111*由于傳統(tǒng)的加權(quán)向量一般都滿足于歸一化約束條件而不是單位化約束條件,因此在得到單位化權(quán)得向量w*之后,為了與人們的習慣用法一致,還可以對w*進行歸一化處理,即令Mjwwwmjjjj,*1由此得到:Mjrrrrwmjninkkjijninkkjijj,111112、 實例分析某單位在教練機選型論證中，選取了10種國內(nèi)外教練機：X1L-39；X2MB33

17、9，X3T-46，X4膺，X5C101，X6S211，X7阿爾法噴氣，X8殲教5，X9初教6，X10T-4。評價指標屬性為：u1-過載范圍，u2-升限，u3-最大平飛速度，u4-著陸速度，u5-最大爬升率，u6-續(xù)航時間，其性能數(shù)據(jù)如下表。試對方案進行排序和擇優(yōu)。(1.1)u1u2u3u4u5u6X11211.5780175222.43X21214.689816533.52.83X310.313.574118122.73X41215.24193820447.34X511.412.19833.4180195.9X6912.866717019.83.8X712.213.37991170593.3X

18、81214.3104823037.21.9X996.2528710553.6X1010.331592716752.63.14利用下列式子將數(shù)據(jù)歸范化)(maxijiijijaar ijijiijaar)(min效益型成本型u1u2u3u4u5u6X10.9840.7550.7440.60.3730.412X20.9840.9580.8570.6360.5680.480X30.8440.8860.7070.5800.3850.508X40.98410.9900.5150.8020.678X50.9340.80.7950.6830.3221X60.7380.8400.6360.6180.3360.

19、644X710.8770.9460.61810.559X80.9840.93810.4570.6310.322X90.7380.4100.27410.0850.610X100.8470.9840.8850.6290.8920.532由(1.1)得最優(yōu)權(quán)重：W=(0.0950,0.1464,0.1956,0.1114,0.2849,0.1667)再計算方案的綜合屬性值zi(w)Z(w)=(0.5913,0.7410,0.6071,0.8323,0.6847,0.5894,0.8553,0.7107,0.4210,0.8810)X10X7X4X2X8X5X3X1X6X9三、三、 基于信息商的多屬性

20、決策方法基于信息商的多屬性決策方法1、 決策方法 熵的概念最初產(chǎn)生于熱力學,它被用來描述運動過程中的一種不可逆現(xiàn)象,后來在信息論中用熵來表示事物出現(xiàn)的不確定性.熵值越大,系統(tǒng)的不確定性越大.下面介紹一種基于信息熵的多屬性決策方法:步驟1:對于某一多屬性決策問題,構(gòu)造決策矩陣,并利用適當?shù)姆椒ò阉?guī)范化為mnijaA)(mnijrR)(步驟2:計算矩陣 ,得到列歸一化矩陣 , 其中mnijrR)(mnijrR)(MjNirrrniijijij,1步驟3:計算屬性輸出的信息熵MjrrnEniijijj,lnln11步驟4:計算屬性權(quán)重向量 ,其中),.,(21mwwww mkkjjEEw1)1 (

21、1步驟5:計算方案xi的綜合屬性值zi(w)并進行排序.預(yù)備知識預(yù)備知識1、互反判斷矩陣：互反判斷矩陣：判斷矩陣nnijhH)(滿足Njihhhhiiiijiij, 0, 1, 1互反判斷矩陣主要用在層次分析法中。2、模糊互補判斷矩陣：、模糊互補判斷矩陣：設(shè)模糊矩陣滿足nnijbB)(5 . 0, 1iijiijbbb三、對方案有偏好信息的多屬性決策方法三、對方案有偏好信息的多屬性決策方法1、對方案的偏好信息為互反判斷矩陣的情形、對方案的偏好信息為互反判斷矩陣的情形對于某一多屬于性決策問題，設(shè)決策矩陣mnijaA)(屬性類型主要有效益型和成本型。為了消除不同物理量綱對決策結(jié)果的影響，決策時需要

22、對A進行規(guī)范化處理，并得到規(guī)范化矩陣mnijrR)( 設(shè)決策者根據(jù)互反標度對決策方案 進行兩兩 比較，并構(gòu)造互反判斷矩陣 。為了使決策信息一致化，利用下列轉(zhuǎn)換函數(shù)把所有方案 的綜合屬性值轉(zhuǎn)化成互反判斷矩陣形式 ，其中)(NixinnijhH)()(NixinnijhH)(Njiwrwrwzwzhmkkjkmkkikjiij,)()(11若互反判斷矩陣 ，即 ，則有HH Njihhijij,NjiwrwrhNjiwrwrwzwzhmkkikmkkjkijmkkjkmkkikjiij,)()(1111或在此情形下，可直接利用互反判斷矩陣的排序方法（如特征向量法）求出矩陣H的排序向量，并依此對方案進

23、行排序和擇優(yōu)。然而，互反判斷矩陣 和 之間往往存在著一定的偏差，為此引入線性偏差函數(shù)nnijhH)(nnijhH)(Njiwrrhwrwrhwfmkkikjkijmkkikmkkjkijij,)()(111顯然，為了得到合理的屬性權(quán)重向量w，上述偏差值總是越小越好，為此可建立下列優(yōu)化模型：MjwwtswrrhwfwFjmjjninjmkkikjkijninjij , 0, 1.)()()(min12111112構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：12)(),(1mjjwwFwL令)(0MlwLl得到：Mlwrrhrrhkmkninjiljlijikjkij , 0)(112、對方案的偏好信息為模糊互補判斷矩陣的

24、情形、對方案的偏好信息為模糊互補判斷矩陣的情形 設(shè)決策者根據(jù)互補標度對決策方案 進行兩兩 比較，并構(gòu)造模糊互補判斷矩陣 。為了使決策信息一致化，利用下列轉(zhuǎn)換函數(shù)把所有方案 的綜合屬性值轉(zhuǎn)化成互補判斷矩陣形式 ，其中nnijbB)(nnijbB)()(Nixi)(NixiNjiwrrwrwrwzwzbkjkmkikmkkjkmkkikjiij,)(1 211 21)()(1 21111易知：0, 5 . 0, 1ijiijiijbbbb一般情況下，模糊互補判斷矩陣 和 之間往往存在著一定的偏差，為此引入線性偏差函數(shù)nnijbB)(nnijbB)(Njibwrrwrrbbbwfijmkkjkikm

25、kkjkikijjiijij,) 12()(21)(121)(11顯然，為了得到合理的屬性權(quán)重向量w，上述偏差值總是越小越好，為此可建立下列優(yōu)化模型：MjwwtsbwrrwfwFjmjjninjmkijkjkikninjij , 0, 1.) 12()(41)()(min12111112構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：12)(),(1mjjwwFwL令)(0MlwLl得到：Mlrrbwrrrrninjjlilijkmkninjjliljkik ,)(21 ()(111113、對方案的偏好信息為效用值的情形、對方案的偏好信息為效用值的情形 設(shè)決策者對方案xi的偏好值以效用值i的形式給出，i0,1,i越接近1，

26、決策者越偏好方案xi。這里把握規(guī)范化矩陣 中的屬性值rij看成決策者在屬性uj下對方案xi的客觀偏好值。 由于種種條件的制約，決策者的主觀偏好與客觀偏好之間往往存在著一定的差距，為了使決策具有合理性，屬性權(quán)重向量w的選擇應(yīng)使決策者的主觀偏好值與客觀偏好值（屬性值）的總偏差最小化。為此建立下列單目標優(yōu)化模型：mnijrR)(MjwwtswrwrwFjmjjninjjiijninjjiij, 0, 1.)()()(min11122211解此模型，作拉格朗日函數(shù)：nimjjmjjiijwwrwL1112212)(),(求其偏導(dǎo)數(shù)，并令01)(02)(2112mjjnijiijlwLMjwrwL解得：

27、Mjrrwmjniiijniiijj,)()(1111212四、基于理想點的多屬性決策方法四、基于理想點的多屬性決策方法1 決策方法決策方法判斷各方案的優(yōu)劣因此可用下面的方法來越優(yōu)就，或越遠離負理想點也越接近正理想點就越優(yōu)顯然，方案，案）對應(yīng)于，負理想點（負理想方想方案）對應(yīng)于，可令正理想點（正理根據(jù)規(guī)范化矩陣相對應(yīng)與方案中的行向量矩陣矩陣為決策矩陣及其規(guī)范化分別和集合，所確定的屬性可能權(quán)重為已知的部分權(quán)重信息屬性的權(quán)重向量為，分別為方案集和屬性集和題，設(shè)對于某一多屬性決策問.)0 , 0 , 0() 1 , 1 , 1 (.),(.)()(.),(2121iiimiimnijmnijmxxx

28、RxrrrRrRaAUX(1)由于決策方案xi越接近正理想點就越優(yōu),因此,可令方案xi與正理想點之間的加權(quán)偏差之和為.,)1 (1)(11Nirremjjijjmjiji對于給定的權(quán)重向量w,ei+(w)越小則方案xi越優(yōu).于是可建立如下多目標決策模型:. .),(,),(),()(min) 1 . 321tseeeeMn由于每個方案都是公平競爭的,不存在任何偏好關(guān)系,因此可將模型(M-3.1)等權(quán)集結(jié)為如下單目標最優(yōu)化模型:. .)(min) 3 . 3(. .)()(min)2 . 3(111tsrneMtseeMnimjjijnii即mjjnimjjijimjjijimjjjniiiii

29、imrLLagrangexrfMjtsfFMNieNixNieNie1112121121),1(2)1 (),()(.)1 ()(, 1, 0. .),()(min)4 . 3(.)()()(),)(),(函數(shù)建立拉格朗日解此模型，與正理想點之間的偏差表示方案其中單目標最優(yōu)化模型：可建立下列簡單的提供任何權(quán)重信息，則特別的，若決策者不能為最優(yōu)方案的最小值所對應(yīng)的方案進行排序，方案的值由小到大的順序?qū)υ侔窗阉虢馇蠼庠撃Ｐ?，得到最?yōu).)()()(),)(),()1 .3(,)()(,01,02)1 (22111111111對應(yīng)的方案為最優(yōu)方案的最小值所進行排序。到大的順序?qū)Ψ桨傅闹涤尚“创氚?/p>

30、求得最優(yōu)解求其偏導(dǎo)數(shù)，并令NifNixNifNifMjrnrnLMjrLiiiimniijmjniijjmjjnijijj.)()()(),)(),(. .,)(max)6 . 3(. ., )()(max)5 . 3() 1 ()(,0)()2(2111111為最優(yōu)方案的最大值所對應(yīng)的方案（進行排序，方案的值由大到小的順序?qū)Γㄔ侔矗ò阉虢馇蠼庠撃Ｐ?，得到最?yōu)即化決策模型：可建立如下單目標最優(yōu)中的討論，越優(yōu)。于是根據(jù)類似越大則方案對于給定的權(quán)重向量加權(quán)偏差和為與負理想點之間的，因此，可令方案越遠離負理想點就越優(yōu)由于方案NieNixNieNietsreMtseeMxeNirrexxiiiim

31、nimjjijniiiimjjijmjjijiii高地作為防御要點？個。問我指揮員應(yīng)選擇哪的數(shù)據(jù)如表對各高地分析后采集到高程差坡度，內(nèi)瞰制高地的個數(shù)）；在瞰制高地個數(shù)（某高地火力控制距離，通視率，通常有：主要地形因素（屬性）響某一高地成為要點的可被選為防御要點，影方案個高地有方向保持一致的情況下御，在同上級主要防御奉命在肖山地域組織防員要。我坦克第一營指揮防御戰(zhàn)斗的勝利至關(guān)重正確地選擇要點對確保。在防御戰(zhàn)斗中，起支柱作用的重要地點防御要點是防御地區(qū)內(nèi)例1 . 3.)21)4 , 3 , 2 , 1()(41 . 354321uukmkmuuuixi2 實例分析實例分析u1u2u3u4u5X1X

32、2X3X40.370.580.520.4318002800350019002553192832279010513098步驟1 雖然上述各因素均為效益型，但量綱不一致，將決策矩陣轉(zhuǎn)化為規(guī)范化矩陣R，如下表所示：u1u2u3u4u5X1X2X3X40.63791.00000.89660.74140.51430.80001.00000.54290.400001.00001.00000.60000.59380.87501.00000.75380.69230.80771.00000.8438.055. 0)(0054. 0)(0208. 0)(0840. 0)()4 , 3 , 2 , 1)(2215.

33、 02404. 01653. 01446. 02282. 0) 1 . 3(12314234321xxxxxffffifi故最優(yōu)方案為的方案排序為因此由上述方法所得到，的值：并求得），（式求得屬性權(quán)重向量為，則利用）若屬性權(quán)重完全未知（現(xiàn)考慮兩種情況：步驟3142343214321515432154321.7067.0)(,9773.0)(,9008.0)(,5755.0)(,2933.0)(,0227.0)(,0992.0)(,4245.0)(:)4, 3 , 2, 1)(),(23.020.020.015.022.0)6 .3()3 .3(,1,23.020.0,25.020.0 ,20.

34、015.0,15.013.0 ,25.015.0|,(2xxxxxeeeeeeeeieeMMiijj故最優(yōu)方案為的方案排序也均為故由上述兩種方法所得并求得），（求得屬性權(quán)重向量為和模型則利用模型息為）若已知的屬性權(quán)重信（五、五、 基于方案滿意度的多屬性決策方法基于方案滿意度的多屬性決策方法1、決策方法、決策方法.)(. .,)(max)7 . 3(),(1 . 3.)()(,1max121的綜合屬性正理想值為方案的最優(yōu)解，則稱是單目標優(yōu)化模型若定義化的決策矩陣分別為決策矩陣及規(guī)范和設(shè)的屬性可能權(quán)重集合。的部分權(quán)重信息所確定屬性的權(quán)重向量和已知、分別為方案集、屬性集題，設(shè)對于某一多屬性決策問Ni

35、xrztsNirzMrRaAUXimjjijimjjijimmnijmnij優(yōu)化模型為此可建立如下多目標屬性權(quán)重向量，屬性值必須來自同一個此各個方案的綜合準下才能區(qū)別出來，因的優(yōu)劣只有在統(tǒng)一的標方案總是越大越好，但是，來說，其滿意度對于每個方案的滿意度為方案則稱若定義的綜合屬性負理想值為方案的最優(yōu)解，則稱是單目標優(yōu)化模型若定義),()(.)()()2 . 3(,)()(3 . 3.)(. .,)(min)8 . 3(),(2 . 321minmaxmin1min121miiiiiiiiiimjjijimjjijimxNixNizzzzNixrztsNirzM.,)(),(. .),()(max

36、)10. 3().39(. .),(,),(),()(max)9 . 3(121121即可得到最優(yōu)方案大小對方案進行排序，按各方案綜合屬性值的綜合屬性值為的則各方案優(yōu)解是設(shè)由上述模型求出的最模型：可建立下列單目標優(yōu)化求解模型了任何偏好關(guān)系，因此為是公平競爭的，不存在由于各個決策方案之間NirzxtsMMtsMmjiijiimniin所示據(jù)如表屬性），各指標原始數(shù)其余均為效益型指標（型指標外占用的流動資金為成本）。除了百元工業(yè)產(chǎn)值產(chǎn)值利稅率（資金（元）百元工業(yè)產(chǎn)值占用流動（元）百元銷售收入實現(xiàn)利潤）資金利稅率（人）全員勞動生產(chǎn)率（元其中指標（屬性）集為山西河北江西河南湖南湖北山東遼寧廣東福建安徽

37、浙江江蘇上海天津北京分析，已知方案集為和排序，進行經(jīng)濟效益的評價的統(tǒng)計資料為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)主要工業(yè)經(jīng)濟效益指標省和直轄市年提供的全國統(tǒng)計年鑒我們以中國工業(yè)經(jīng)濟例3 . 3%,%,/,(;,1619932 . 354321543211621uuuuuuuuuuUxxxXu1u2u3u4u5X14717716.618.8931.0515.77X2433239.083.6529.808.44X35902313.846.0626.5512.87X44682110.593.5122.467.41X54164613.244.6424.339.332 實例分析實例分析所示，如表規(guī)范化，得到矩陣兩式將決策矩陣和利用

38、步驟序，具體步驟如下：節(jié)的方法求出方案的排下面運用為若已知的屬性權(quán)重信息4 . 3)3 . 1 ()2 . 1 (11 . 2 . 3,1,17. 016. 0,26. 023. 0 ,17. 015. 0,20. 018. 0 ,24. 022. 0|,(515432154321RAjju1u2u3u4u5X10.7991.0001.0000.7231.000X20.7340.5470.4110.7540.535X31.0000.8330.6820.8460.816X40.7930.6380.3951.0000.470X50.7060.7970.5220.9230.592X60.4480.6

39、120.2680.8380.625X70.6500.7210.5390.8490.675X80.9790.6200.5110.9770.585497. 0,517. 0,466. 0,535. 0534. 0,588. 0,588. 0,485. 0722. 0,657. 0,542. 0,684. 0654. 0,797. 0,581. 0,704. 0534. 0,555. 0,502. 0,575. 0576. 0,631. 0,633. 0,522. 0777. 0,890. 0,585. 0,735. 0706. 0,851. 0,623. 0,890. 0)16, 2 , 1()1

40、6, 2 , 1()16, 2 , 1()8 . 3()7 . 3(2min16min15min14min13min12min11min10min9min8min7min6min5min4min3min2min1max16max15max14max13max12max11max10max9max8max7max6max5max4max3max2max1minmaxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzizizixMMiii綜合屬性負理想值和的綜合屬性正理想值分別求得方案和由模型步驟14916151312621011475831161514131211109876543

41、21515432154321)16, 2 , 1( )(45318. 0)(,5552. 0)(,5020. 0)(,5750. 0)(5757. 0)(,6309. 0)(,6308. 0)(,5212. 0)(7695. 0)(,7035. 0)(,5853. 0)(,7336. 0)(7012. 0)(,8476. 0)(,6195. 0)(,8838. 0)(17. 026. 015. 020. 022. 01,17. 016. 0 ,26. 023. 0,17. 015. 0 ,20. 018. 0 ,24. 022. 0. .,477. 0473. 0584. 0339. 0466

42、. 0464. 0)(max)10. 3()2 . 3(3xxxxxxxxxxxxxxxxizzzzzzzzzzzzzzzzztsMijj得到各方案的排序：值從大到小的順序排列按步驟（屬性）指分別為因此各方案的綜合指標）。，（解為求解該模型，得到最優(yōu)：建立如下目標優(yōu)化模型進而利用模型求出各方案的滿意度，式由步驟六、基于方差最大化模型的多屬性決策方法六、基于方差最大化模型的多屬性決策方法、決策方法、決策方法ninkjkjijmjniijmjjmjjjninjjkjijniijjnkjkjijijjirruMjrrMjNirrux1121111112112,)()()()(.5 . 1.)(,)(

43、)()(.,)()(為此可構(gòu)造偏差函數(shù)總偏差最大的選擇應(yīng)使所有方案的權(quán)重向量節(jié)中的分析，根據(jù)案的總偏差表示所有方案與其他方而言，對屬性的偏差可定義為下與其他所有決策方案在屬性題，決策方案對于某一多屬性決策問序。列，即得到各方案的排的值從大到小的順序排按步驟性值式求得各方案的綜合屬由步驟求得最優(yōu)權(quán)重向量由單目標決策模型步驟。屬性權(quán)重信息由專家提供可能的部分步驟其相應(yīng)的規(guī)范化矩陣為得到?jīng)Q策矩陣下的屬性值為在屬性題，設(shè)方案對于某一多屬性決策問步驟算法：綜上所述，可得到如下。重向量型，將得到最優(yōu)屬性權(quán)解此簡單的線性規(guī)劃模劃問題：等價于求解如下線性規(guī)因而求解權(quán)重向量)(5).)()12. 1 (4)11

44、. 3(32.)()(1. .,)()(max)11. 3(1112NizNizMrRaAauxtsrrMiimnijmnijijjimjninkjkjij。所示，試確定最優(yōu)方案決策矩陣如表屬性權(quán)重信息為屬性為效益型。已知個屬性為成本型，其余占農(nóng)田這投資額，建井周期和增人）。其中總?cè)珕T生產(chǎn)率（噸可采年限（年），安全條件（分），萬噸），產(chǎn)前各方案可產(chǎn)煤量（年增產(chǎn)量（萬噸），增占農(nóng)田（畝），建井周期（年）總投資額（萬元），要有：，評價指標（屬性）主個擴建方案，初步提出，為了提高原煤產(chǎn)量，某煤礦界外有豐富儲量例5 . 3, 1,22. 009. 0 ,21. 018. 0 , 3 . 02 . 0,

45、12. 007. 0 ,16. 012. 0 ,15. 011. 014. 012. 0 , 2 . 01 . 0| ),(3/)3 , 2 , 1(33 . 3818765432182187654321jjiuuuuuuuuixu1u2u3u4u5u6u7u8X11840031008030060401.2X219600412010040080401.3X3293606540120150100501.52 實例分析實例分析2312321818765432187654321)3 , 2 , 1)(47611. 0)(,8359. 0)(,8085. 0)()12. 1 (309. 018. 02

46、0. 007. 012. 012. 012. 010. 0122. 009. 021. 018. 03 . 02 . 0 ,12. 007. 0 ,16. 012. 0,15. 011. 0 ,14. 012. 0 , 2 . 01 . 0. .,1244. 01600. 04800. 01875. 13333. 02234. 27500. 0486. 0)(max)11. 3(2)3 . 1 ()2 . 1 (11 . 3 . 3xxxxizzzztsMRAijj故最優(yōu)目標為列即得到方案的排序的值從大到小的順序排按步驟性值為式求得各目標的綜合屬由步驟）。，（求得最優(yōu)權(quán)重向量為，可建立下列模型

47、：利用單目標決策模型步驟規(guī)范化，得到矩陣兩式將決策矩陣和利用步驟序，具體步驟如下：節(jié)的方法求出目標的排利用七、部分權(quán)重信息下的兩階段多屬性決策方法七、部分權(quán)重信息下的兩階段多屬性決策方法1、 決策方法決策方法),(.,max)12. 3()(.)()()(2)(1)(1imiiiimjijjiiixtsrMNixxz的最優(yōu)屬性權(quán)重向量方案解此模型，得到對應(yīng)于型：建立下列單目標決策模應(yīng)的各屬性權(quán)重。為此，其所對的綜合屬性值取最優(yōu)時解一下各單個方案先了就越優(yōu)案值越大，其所對應(yīng)的方顯然，綜合屬性進行擇優(yōu)，根據(jù)方案的綜合屬性值由于多屬性決策一般是WrrzrrrRNirrrrnWnWNiNirRimji

48、jjinimiiiTnmmmnniimnij12121)()2()1()(2)2(2)1(2)(1)2(1)1(1)()()().,(),)(,(11)3 . 3(,)()()因此則。令條件列向量且滿足約束為待定的為組合權(quán)重向量，其中到的組合權(quán)重向量為個權(quán)重向量線性組合得則經(jīng)組成的矩陣為設(shè)權(quán)重向量向量。求出屬性的最佳協(xié)調(diào)權(quán)及權(quán)重向量（下面利用規(guī)范化矩陣可以對方案進行排序性值，便式求出各方案的綜合屬并由（最佳協(xié)調(diào)權(quán)向量），式可求出組合權(quán)重向量因此再由為單根，特征向量定理可知：可約矩陣的負定的，則根據(jù)非負不是對稱非于矩陣是相應(yīng)的特征向量，由特征值的最大存在，其最大值是根據(jù)矩陣理論可知，式得則由。記

49、）（其中：等權(quán)的單目標決策問題目標決策模型可轉(zhuǎn)化為偏好，因而上述多屬性值事先不存在任何由于對每個方案的綜合策模型為此構(gòu)造如下多目標決合屬性值都盡可能大。時，應(yīng)使所有方案的綜在選擇權(quán)重向量)12. 1 ()3 . 3(. 0)(,)()()()()()()4 . 3(,)()()()(),(),()(,1. .)()(max)14. 3(, 1. .)(),(),(max()13. 3(maxmax2121FrobeniusPerronRWRWRWRWfRWRWzzfzzfRWzzzztszzMtszzzMTTTTTTnTTTn即得到方案排序值從大到小的順序排列按步驟值式得到各方案綜合屬性再由最

50、佳協(xié)調(diào)權(quán)向量）。式求出組合權(quán)重向量（由步驟（已歸一化）及特征向量的最大特征值矩陣，并計算組成矩陣個權(quán)重向量由步驟最優(yōu)權(quán)重向量的求得對應(yīng)于方案由單目標決策模型步驟。信息由專家提供屬性的權(quán)重步驟為其相應(yīng)的規(guī)范化矩陣，則得到?jīng)Q策矩陣屬性值為下的在屬性問題，方案設(shè)對于某一多屬性決策步驟法：綜上所述，可得以下算)(6)()12. 1 () 3 . 3(5,)()(4.),()12. 3(32.)(,)(1max)()()(2)(1)(NizNizRWRWWNinNixMrRaAauxiiTiimiiiimnijmnijijji2、實例分析、實例分析，較易損；位置較精確，通視困難，正向前沿機動，目標高地發(fā)

51、現(xiàn)敵反坦克炮連：在）敵目標（，通視困難，較易損；不大，目標位置較精確威脅正向我三連陣地射擊，高地發(fā)現(xiàn)敵自行炮連，：在）敵目標（難易損；糊，目標位置精確，通視模高地發(fā)現(xiàn)敵團指揮所，：在）敵目標（損；精確，通視良好，較易損失較大，目標位置較射擊，高地敵自行炮連的猛烈，遭：團二梯隊在開進途中敵目標通視良好易損目標位置精確高地發(fā)現(xiàn)敵集結(jié)坦克連在）敵目標（確，通視良好，易損。前進受阻，目標位置明點猛烈射擊，高地沖擊時，遭敵支撐我步兵二連在向敵）敵目標（個目標的情況如下：先后順序，的并且確定對敵目標攻擊評估個敵目標（方案）進行現(xiàn)需要對這報，個敵目標并獲得一些情前發(fā)現(xiàn)了某團炮兵群在進攻戰(zhàn)斗例70658566

52、475)3(,69:280:16,664 . 3654321xxxxxx所示：如表，情況，得到?jīng)Q策矩陣為參考因素，針對上述把射擊指揮的干預(yù)性作射擊任務(wù)的一致性目標程度的易損性目標位置的通視性目標資料的可靠性；射擊的緊迫性；目標的重要性；個因素（屬性）：下列實際情況，著重考慮了作戰(zhàn)指揮員根據(jù)當時的7 . 3;6654321Auuuuuuu1u2u3u4u5u6X1799977X2777759X3897769X4867526X5877059X6507168616543216211, 5 . 00, 2 . 008. 0 ,25. 01 . 0 , 2 . 013. 0, 3 . 02 . 0 ,

53、5 . 04 . 0| ),()6 , 2 , 1(jjjju知屬性權(quán)重信息為權(quán)重不能完全確定。已近越優(yōu)的固定型，因素任務(wù)的一致性屬于越接型（成本型），而射擊的易損性屬于越小越好（效益型），目標程度通視性屬于越大越優(yōu)型靠性、目標位置的緊迫性、目標資料的可目標的重要性、射擊的所示，如表得到矩陣規(guī)范化三式將決策矩陣利用步驟序，具體步驟如下：節(jié)的方法求出目標的排用8 . 3)4 . 1)( 3 . 1 (), 2 . 1 (11 . 4 . 3RA的最優(yōu)屬性權(quán)重向量解此模型得對應(yīng)于方案建立下列模型：利用單目標決策模型對于方案步驟6165432165432111, 5 . 00 , 2 . 008.

54、0 ,25. 01 . 0, 2 . 013. 0 , 3 . 02 . 0 , 5 . 04 . 0. .0667. 0max)12. 3(,2jjtsMxu1u2u3u4u5u6X12/311101X22/37/907/92/50X31107/91/50X415/905/91X517/9002/50X60001/91/51/2)0 ,08. 0 , 1 . 0 ,13. 0 , 2 . 0 ,49. 0(),();0 ,08. 0 ,12. 0 , 2 . 0 , 2 . 0 , 4 . 0(),();0 ,08. 0 , 1 . 0 ,13. 0 , 2 . 0 ,49. 0(),();

55、0 ,08. 0 , 1 . 0 ,13. 0 , 2 . 0 ,49. 0(),();0 ,08. 0 , 1 . 0 ,13. 0 , 2 . 0 ,49. 0(),()6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1()09. 0 ,08. 0 , 1 . 0 ,13. 0 , 2 . 0 , 4 . 0(),()6(6)6(5)6(4)6(3)6(2)6(1)6()5(6)5(5)5(4)5(3)5(2)5(1)5()4(6)4(5)4(4)4(3)4(2)4(1)4()3(6)3(5)3(4)3(3)3(2)3(1)3(2(6)2(5)2(4)2(3)2(2)2(1)2()1(6)1(5)

56、1(4)1(3)1(2)1(1)1(）最優(yōu)目標權(quán)重向量為決策模型并求得相應(yīng)的，可分別建立單目標類似地，對于方案ixi)159. 0 ,168. 0 ,172. 0 ,172. 0 ,170. 0 ,159. 0(,522.14214. 2301. 2387. 2355. 2355. 2214. 2301. 2398. 2566. 2566. 2454. 2301. 2387. 2486. 2583. 2583. 2549. 2387. 2387. 2486. 2583. 2583. 2549. 2387. 2355. 2454. 2549. 2549. 2516. 2355. 2214. 23

57、01. 2387. 2387. 2355. 2214. 2)(,)(09. 0000009. 008. 008. 008. 008. 008. 008. 01 . 019. 01 . 01 . 01 . 01 . 013. 013. 013. 013. 013. 013. 02 . 02 . 02 . 02 . 029. 02 . 04 . 04 . 049. 049. 04 . 04 . 0)6 , 2 , 1(3maxmax)(分別為：及特征向量其最大特征值得計算矩陣組成矩陣向量步驟TTiRWRWRWRWWi1625431654321)6 , 2 , 1)(5,043. 0)(,630.

58、0)(,709. 0)(,751. 0)(,576. 0)(,776. 0)()12. 1 (029. 0080. 0115. 0130. 0215. 0431. 0)3 . 3(4xxxxxxxizzzzzzzi故最優(yōu)方案為方案的排序，得即得到值從小到大的順序排列按步驟值分別為式得到各方案綜合屬性再由）；，（歸一化處理得：佳協(xié)調(diào)權(quán)向量）并進行式求出組合權(quán)向量（最由步驟八、基于線性目標規(guī)劃模型的多屬性決策方法八、基于線性目標規(guī)劃模型的多屬性決策方法1、 模型模型)6 . 3(.,)5 . 3(,)()()()12. 1 ()(., 0, 1, 1,)()().0()(),0()(. 11111

59、NjirrhNjirrzzhhHNixNjihhhhhHNixrrRaaAmkkikmkkjkijmkkjkmkkikjiijnnijiijiijiijnnijiijmnijijmnij即，其中互反判斷矩陣形式式計算）轉(zhuǎn)化成的綜合屬性值（利用所有方案，我們把為了使決策信息一致化其中互反判斷矩陣進行兩兩比較，并構(gòu)造方案決策者根據(jù)互反標度對其規(guī)范化矩陣為題，設(shè)決策矩陣為對于某一多屬性決策問給出的情形息以互反判斷矩陣形式?jīng)Q策者對方案的偏好信劃模型：轉(zhuǎn)化為下列線性目標規(guī)模型，可將希望達到的期望值為數(shù)競爭的，且每個目標函數(shù)是公平，并考慮到所有目標函為了求解模型：下列多目標最優(yōu)化模型越小越好，為此可構(gòu)造函

60、數(shù)值總是性權(quán)重向量，上述偏差顯然為了得到合理的屬此引入偏差函數(shù)存在著一定的偏差，為之間往往和矩陣一般情況下，互反判斷)15. 3(0)15. 3(. .,)(min)15. 3()7 . 3(,)()()(11MfMtsNjirrhfMNjirrhfaHaHijmkkikjkijijmkkikjkijijnnijnnij序和擇優(yōu)。便可依此對方案進行排值，式求得各方案綜合屬性，并由權(quán)重向量即可得屬性的型的權(quán)系數(shù)。通過求解模和分別是和的下偏差變量；底于期望值是的上偏差變量；高于期望值是其中)12. 1 ()16. 3(0)(0)(, 0, 0, 0)(. .),(min)16. 3(11111Md