決策分析中的多屬性決策分析

1、（decision making theory and methods）教育部高等學校管理科學與工程類學科專業(yè)教學指導委員會教育部高等學校管理科學與工程類學科專業(yè)教學指導委員會推薦教材推薦教材決策理論與方法決策理論與方法第第 2 2 頁頁第第 2 2 頁頁 決策理論與方法決策理論與方法第第 3 3 頁頁第第 3 3 頁頁學習目的學習目的掌握多屬性決策的步驟，并掌握數(shù)據(jù)預處理的方掌握多屬性決策的步驟，并掌握數(shù)據(jù)預處理的方法；掌握加權和法與加權積法求解多屬性決策問法；掌握加權和法與加權積法求解多屬性決策問題；掌握題；掌握topsis方法及其應用；理解三元聯(lián)系方法及其應用；理解三元聯(lián)系數(shù)方法及其應用

2、；理解三角模糊決策方法；了解數(shù)方法及其應用；理解三角模糊決策方法；了解物元決策方法。物元決策方法。決策理論與方法決策理論與方法第第 4 4 頁頁第第 4 4 頁頁本講內(nèi)容本講內(nèi)容3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述 3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法 3.3 多屬性決策應用多屬性決策應用決策理論與方法決策理論與方法第第 5 5 頁頁第第 5 5 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述 3.1.1 多屬性決策概念多屬性決策概念多屬性決策（多屬性決策（madm）問題廣泛地存在于社會、經(jīng)）問題廣泛地存在于社會、經(jīng)濟、管理等各個領域中，如投資決策、項目評估、質濟、管理等各個領域中，如投資決策、項目

3、評估、質量評估、方案優(yōu)選、企業(yè)選址、資源分配、科研成果量評估、方案優(yōu)選、企業(yè)選址、資源分配、科研成果評價、人員考評、經(jīng)濟效益綜合排序、定標定級等。評價、人員考評、經(jīng)濟效益綜合排序、定標定級等。決策者要從具有多個屬性的一組備選方案中進行選擇決策者要從具有多個屬性的一組備選方案中進行選擇，其目的是要從多個備選方案中選擇一個相對最優(yōu)的，其目的是要從多個備選方案中選擇一個相對最優(yōu)的方案，使該方案的各個屬性能最大程度地達到?jīng)Q策者方案，使該方案的各個屬性能最大程度地達到?jīng)Q策者滿意。屬性是指滿意。屬性是指“目標目標”或或“指標指標”，上述各個備選，上述各個備選方案通常都具有多個屬性，而各個屬性一般具有不同方

4、案通常都具有多個屬性，而各個屬性一般具有不同的單位，各個屬性之間還有可能存在沖突。多屬性決的單位，各個屬性之間還有可能存在沖突。多屬性決策往往只含有有限個預先制定的方案。滿意方案的最策往往只含有有限個預先制定的方案。滿意方案的最后抉擇與產(chǎn)生最后決策的屬性滿足程度有關，最終方后抉擇與產(chǎn)生最后決策的屬性滿足程度有關，最終方案的選擇在屬性內(nèi)進行判斷與比較完成。案的選擇在屬性內(nèi)進行判斷與比較完成。決策理論與方法決策理論與方法第第 6 6 頁頁第第 6 6 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述1. 多屬性決策的含義及特點多屬性決策的含義及特點我們先看一個例子：早上起來去上學，發(fā)現(xiàn)外面下雨了，我們先看

5、一個例子：早上起來去上學，發(fā)現(xiàn)外面下雨了，這時候需要選擇一種出行方式，并選一種雨具使自己不被這時候需要選擇一種出行方式，并選一種雨具使自己不被雨淋?，F(xiàn)在有雨衣、雨傘、斗笠三件雨具可供選擇，如果雨淋?，F(xiàn)在有雨衣、雨傘、斗笠三件雨具可供選擇，如果騎自行車出門最好選用雨衣，如果開車或者坐車出門最好騎自行車出門最好選用雨衣，如果開車或者坐車出門最好是選擇雨傘，如果步行出門則可以選擇斗笠，而開車或者是選擇雨傘，如果步行出門則可以選擇斗笠，而開車或者坐車可以最快速的到達目的地，騎自行車比較方便快捷，坐車可以最快速的到達目的地，騎自行車比較方便快捷，步行最經(jīng)濟。如果是女孩子出門可能還要考慮是否安全、步行最經(jīng)

6、濟。如果是女孩子出門可能還要考慮是否安全、美觀、舒適。出行、不被雨淋濕就是我們的目標，顯而易美觀、舒適。出行、不被雨淋濕就是我們的目標，顯而易見我們的目標有兩個；而出行有不同的雨具和交通工具可見我們的目標有兩個；而出行有不同的雨具和交通工具可供選擇，這兩者我們稱之為方案；快速、方便快捷、經(jīng)濟供選擇，這兩者我們稱之為方案；快速、方便快捷、經(jīng)濟等這些指標我們稱之為屬性（或方案屬性）；像安全、美等這些指標我們稱之為屬性（或方案屬性）；像安全、美觀、舒適這些是評價目標的指標，我們可以稱為目標的屬觀、舒適這些是評價目標的指標，我們可以稱為目標的屬性。性。決策理論與方法決策理論與方法第第 7 7 頁頁第第

7、 7 7 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述經(jīng)典多屬性決策問題可以描述為：給定一組可能的經(jīng)典多屬性決策問題可以描述為：給定一組可能的備選方案備選方案 ，對于每個方案，對于每個方案 ，都需，都需要從若干個屬性要從若干個屬性 （每個屬性代表不同（每個屬性代表不同的評價準則）去對其進行綜合評價。決策的目的就的評價準則）去對其進行綜合評價。決策的目的就是要從這一組備選方案中找到一個使決策者達到最是要從這一組備選方案中找到一個使決策者達到最滿意的方案，或者對這一組方案進行綜合評價排序滿意的方案，或者對這一組方案進行綜合評價排序，且排序結果能夠反映決策者的意圖。，且排序結果能夠反映決策者的意圖。12

8、 ,mxx xxix12 ,nuu uu決策理論與方法決策理論與方法第第 8 8 頁頁第第 8 8 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述例如，我國例如，我國2008年年9月月25日發(fā)射神舟七號載人飛船，它除日發(fā)射神舟七號載人飛船，它除了要準確控制發(fā)射時間和軌道運行路線以外，了要準確控制發(fā)射時間和軌道運行路線以外，“神七神七”必必須在神舟六號的基礎上解決兩個比較大的問題。第一是航須在神舟六號的基礎上解決兩個比較大的問題。第一是航天員有一個密封艙，在這個艙里穿航天服；離開這個艙就天員有一個密封艙，在這個艙里穿航天服；離開這個艙就沒有了空氣，所以航天服本身就必須能供給氧氣。第二是沒有了空氣，所以

9、航天服本身就必須能供給氧氣。第二是沒有溫度控制時，航天服能保證航天員正常的溫度。某沒有溫度控制時，航天服能保證航天員正常的溫度。某地區(qū)現(xiàn)有的醫(yī)院現(xiàn)已無法完全容納該地區(qū)的地區(qū)現(xiàn)有的醫(yī)院現(xiàn)已無法完全容納該地區(qū)的“甲流甲流”患者患者，需要擴建其中一家的發(fā)熱門診。在擴建時，既要滿足患，需要擴建其中一家的發(fā)熱門診。在擴建時，既要滿足患者到醫(yī)療水平較好的醫(yī)院，又要使擴建費用盡可能小。者到醫(yī)療水平較好的醫(yī)院，又要使擴建費用盡可能小。大學生畢業(yè)后，通常有幾種考慮：考研究生、考公務員、大學生畢業(yè)后，通常有幾種考慮：考研究生、考公務員、就業(yè)。拿考研來說，通常又要考慮學校、城市、專業(yè)、研就業(yè)。拿考研來說，通常又要考

10、慮學校、城市、專業(yè)、研究方向、導師等因素，因此評價一個考研的問題也是典型究方向、導師等因素，因此評價一個考研的問題也是典型的多屬性決策問題。即使是購物，比如買衣服，總希望的多屬性決策問題。即使是購物，比如買衣服，總希望物美（品牌、尺寸合適、款式新穎、顏色中意、面料結實物美（品牌、尺寸合適、款式新穎、顏色中意、面料結實、加工質量高等）價廉。、加工質量高等）價廉。決策理論與方法決策理論與方法第第 9 9 頁頁第第 9 9 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述通過多屬性決策的涵義和上述例子，不難發(fā)現(xiàn)多屬性決策通過多屬性決策的涵義和上述例子，不難發(fā)現(xiàn)多屬性決策問題具有以下四個特點；問題具有以下四個

11、特點； （1）決策問題的目標及目標屬性不只一個。例如，一個）決策問題的目標及目標屬性不只一個。例如，一個企業(yè)在經(jīng)營過程中不僅要考慮產(chǎn)量盡可能多，還要考慮成企業(yè)在經(jīng)營過程中不僅要考慮產(chǎn)量盡可能多，還要考慮成本、產(chǎn)品性能等多個目標及目標屬性。本、產(chǎn)品性能等多個目標及目標屬性。 （2）多屬性決策問題的目標間不可公度（）多屬性決策問題的目標間不可公度（non-commensurable），即各目標沒有統(tǒng)一的計量單位或者衡量），即各目標沒有統(tǒng)一的計量單位或者衡量標準，因此難以進行比較。例如：本科生可以用學分或績標準，因此難以進行比較。例如：本科生可以用學分或績點來考核其在校期間的學習情況，發(fā)電廠可以用年

12、發(fā)電量點來考核其在校期間的學習情況，發(fā)電廠可以用年發(fā)電量（億度年）或裝機容量（萬千瓦）來描述其發(fā)電能力，（億度年）或裝機容量（萬千瓦）來描述其發(fā)電能力，這兩者是沒有統(tǒng)一標準的，即不可公度。而某個集裝箱的這兩者是沒有統(tǒng)一標準的，即不可公度。而某個集裝箱的大小只能用容積（立方米）來表述，投資的多少則應該用大小只能用容積（立方米）來表述，投資的多少則應該用貨幣（萬元）表示，這兩個是有統(tǒng)一標準的，即可公度。貨幣（萬元）表示，這兩個是有統(tǒng)一標準的，即可公度。決策理論與方法決策理論與方法第第 1010 頁頁第第 1010 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述（3）各目標間的矛盾性。如果多屬性決策問題中

13、，存在一）各目標間的矛盾性。如果多屬性決策問題中，存在一個備選方案能使所有目標都達到最優(yōu)，也就是說存在最優(yōu)個備選方案能使所有目標都達到最優(yōu)，也就是說存在最優(yōu)解，那么目標間的不可公度性就不成問題了，但是這種情解，那么目標間的不可公度性就不成問題了，但是這種情況很少出現(xiàn)。換言之，大量存在的現(xiàn)象是各屬性之間存在況很少出現(xiàn)。換言之，大量存在的現(xiàn)象是各屬性之間存在著某種矛盾，即存在著沖突著某種矛盾，即存在著沖突當采用一種方案改進某一當采用一種方案改進某一個目標值的同時，很可能使另一個目標值不能夠得到改善個目標值的同時，很可能使另一個目標值不能夠得到改善，甚至會使這個目標值變差。例如，某化工企業(yè)想拓展業(yè)，

14、甚至會使這個目標值變差。例如，某化工企業(yè)想拓展業(yè)務領域，意圖收購某機械廠，但是拓展領域的同時可能會務領域，意圖收購某機械廠，但是拓展領域的同時可能會給企業(yè)短期效益帶來損害，而且如果收購后經(jīng)營不善很可給企業(yè)短期效益帶來損害，而且如果收購后經(jīng)營不善很可能導致企業(yè)的虧損甚至倒閉。能導致企業(yè)的虧損甚至倒閉。（4）決策者的偏好不同導致決策結果不同。不同的決策者）決策者的偏好不同導致決策結果不同。不同的決策者對同一個決策問題會有不同的看法，決策的結果也就有所對同一個決策問題會有不同的看法，決策的結果也就有所不同。所謂仁者見仁智者見智。不同。所謂仁者見仁智者見智。決策理論與方法決策理論與方法第第 1111

15、頁頁第第 1111 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述3.1.2 多屬性決策分類多屬性決策分類1. 多準則決策多準則決策多準則決策是指在具有相互沖突、不可共度的有限（無限）方案集中進行選擇的決策。它是分析決策理論的重要內(nèi)容之一。無論是多屬性決策問題還是多目標決策問題，都可通稱多準則決策問題（multi-criterion decision making problems）。 多準則決策問題也可以像單目標決策問題那樣按自然狀態(tài)（這里的自然狀態(tài)是廣義的）分類，一類是確定型多準則決策問題，另一類是非確定型多準則決策問題，由于求解手段的限制，現(xiàn)有的求解方法最多只涉及風險型多準則決策問題。多準則決

16、策問題還可以按所涉及的決策者人數(shù)來劃分，只涉及單個決策人的是一般的多準則決策問題，或稱多目標決策問題，若涉及多個決策人，則稱為群決策問題。最常用的多準則決策問題的分類法是按決策問題中備選方案的數(shù)量來劃分。決策理論與方法決策理論與方法第第 1212 頁頁第第 1212 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述（1）多屬性決策問題（multi-attribute decision making problem）多屬性決策也稱有限方案多目標決策，是指在考慮多個屬性的情況下，選擇最優(yōu)備選方案或進行方案排序的決策問題，它是現(xiàn)代決策科學的一個重要組成部分。這一類決策問題中的決策變量是離散型的，其中的備選方

17、案數(shù)量為有限個。這一類問題求解的核心是對各備選方案進行評價后排定各方案的優(yōu)劣次序，再從中擇優(yōu)。它的理論和方法在工程、技術、經(jīng)濟、管理和軍事等諸多領域中都有廣泛的應用。這一類問題也是本章研究的重點內(nèi)容。（2）多目標決策問題（multi-objective decision making problem）多目標決策是指需要同時考慮兩個或兩個以上目標的決策。這一類決策問題中的決策變量是連續(xù)型的，即備選方案數(shù)有無限多個，因此，有些文獻也稱之為無限方案多目標決策問題（multi-objective decision making problems with infinite alternative）。在

18、實際的經(jīng)濟實踐中，如某企業(yè)要在幾種產(chǎn)品中選擇一種產(chǎn)品生產(chǎn)，就既要考慮獲利大小，又要考慮現(xiàn)有設備能否生產(chǎn)以及原材料供應是否充足等因素來選擇其中一種，只有使這些相互聯(lián)系和相互制約的因素都能得到最佳的協(xié)調(diào)、配合和滿足，才是最優(yōu)的決策。 決策理論與方法決策理論與方法第第 1313 頁頁第第 1313 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述2. 多屬性決策分類對多屬性決策進行分類，主要是針對近年來眾多的國內(nèi)外學者的研究成果進行分析，歸納出以下幾個研究方向：（1）屬性權重完全未知且屬性值以實數(shù)形式給出的多屬性決策問題。對于這類問題的研究，主要的傳統(tǒng)方法有：悲觀主義(maxmin)決策準則、樂觀主義(ma

19、xmax)決策準則、等可能性(laplace)準則、最小機會損失準則、折衷主義準則、嫡值法等。（2）屬性權重完全未知且屬性值以區(qū)間數(shù)形式給出的多屬性決策問題。（3）屬性權重及屬性值均以實數(shù)形式給出的多屬性決策問題。（4）屬性權重為實數(shù)且屬性值以區(qū)間數(shù)形式給出的多屬性決策問題。（5）只有部分屬性權重信息且屬性值以實數(shù)形式給出的多屬性決策問題。（6）只有部分屬性權重信息且屬性值以區(qū)間數(shù)形式給出的多屬性決策問題。（7）屬性值以模糊語言形式給出的多屬性決策問題。決策理論與方法決策理論與方法第第 1414 頁頁第第 1414 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述3兩種決策的比較兩種決策的比較上面討論

20、的決策變量分別為連續(xù)型和離散型的兩類多準則決策問題，他們的主要特點與區(qū)別可簡單地歸納如表3-1-2。 決策理論與方法決策理論與方法第第 1515 頁頁第第 1515 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述3.1.3 求解多屬性決策問題的準備工作求解多屬性決策問題的準備工作在介紹各種求解多屬性決策問題的具體方法之前，我們先要介紹求解的前期準備工作，包括決策問題的描述、相關信息的采集（即形成決策矩陣）、決策數(shù)據(jù)的預處理和方案的初選（或稱為篩選）。1. 多屬性決策的解題步驟多屬性決策的解題步驟用規(guī)范化的方法求解一個多屬性決策問題的全過程如圖3-1-2所示。第一步是提出問題。這時對所要面臨的問題的認

21、識是主觀而含糊的，所提出的目標也是高度概括的。第二步是明確問題。這時要使目標具體化，要確定衡量各目標達到程度的標準即屬性和屬性值的可獲得性，并且要清楚地說明問題的邊界與環(huán)境。第三步是構造模型。要選擇決策模型的形式，確定關鍵變量以及這些變量之間的邏輯關系，估計各種參數(shù)，并在上述工作的基礎上產(chǎn)生各種備選方案。第四步是評價優(yōu)化。要利用模型并根據(jù)主觀判斷，采集或標定各備選方案的各屬性值，并根據(jù)決策規(guī)則進行排序或優(yōu)化。第五步是根據(jù)上述評價結果，擇優(yōu)付諸實施。以上各步驟的順序進行只是一種理想的多準則決策流程，從第三步開始，就有可能需要返回前面的策一步進行必要的調(diào)整，甚至從頭開始。決策問題愈復雜，反復的可能

22、性就愈大，重復的次數(shù)也愈多。決策理論與方法決策理論與方法第第 1616 頁頁第第 1616 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 1717 頁頁第第 1717 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 1818 頁頁第第 1818 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述例3-1-1 設某連鎖快餐店在某地區(qū)現(xiàn)有6個分店，由于無法完全滿足該地區(qū)用餐、送餐需求，需要擴建其中的一個分店。在擴建時既要滿足就近送餐的要求，又要使擴建的費用盡可能小。（至于所擴建分店的用餐環(huán)境、送餐質量我們稍后再考慮。）經(jīng)過調(diào)研，獲得如表3-1-4所示的決

23、策矩陣。連鎖店序號費用（萬元）平均送餐距離(km)1601.02500.83441.24362.05441.56302.4決策理論與方法決策理論與方法第第 1919 頁頁第第 1919 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述例3-1-2 為了客觀地評價某城市5個街區(qū)，監(jiān)管部門組織了一次評估，選擇其中一個作為示范性街區(qū)。由于所評價的街區(qū)包括商業(yè)街、小型工業(yè)園區(qū)、城市綠化用地、文化娛樂街、住宅區(qū)等，所以有關部門收集了一些數(shù)據(jù)作為評價標準。對于評選示范性街區(qū)，不是單憑綠化面積大或者稅收收入多就能當選的，而是要綜合考慮各街區(qū)的各個屬性指標。表3-1-5中所給出的是為了介紹各種數(shù)據(jù)預處理方法的需要而選

24、的四種典型屬性和經(jīng)過調(diào)整了的數(shù)據(jù)。決策理論與方法決策理論與方法第第 2020 頁頁第第 2020 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述(2)數(shù)據(jù)預處理數(shù)據(jù)預處理 數(shù)據(jù)預處理又稱屬性值的規(guī)范化，主要有如下三個作用（要求）： 第一，屬性值有多種類型。有些指標的屬性值越大越好，如人均綠地面積、稅收等，稱為效益型指標；有些指標的值越小越好，如擴建分店的費用、平均送餐距離等，稱為成本型指標。另有一些指標的屬性值，既非效益型又非成本型，例如表3-1-5中示范性街區(qū)的評估中的人均綠地面積，街區(qū)綠地面積并不是像城市綠地面積那樣越大越好，否則遠郊甚至山區(qū)就會毋庸置疑的成為示范區(qū)了。一個街區(qū)所指的是城市里的一

25、條街或者一個小區(qū)，其經(jīng)濟貢獻的大小往往不容忽視。人均綠地面積過大說明該街區(qū)的土地利用率過低，對經(jīng)濟發(fā)展貢獻較小，而且無人區(qū)過大往往會成為暴力犯罪高發(fā)場所，治安管理難度較大；人均綠地面積過小則居住過于擁擠，人口密集，居民生活質量較差，商業(yè)、工業(yè)等較少，財政收入很低。這幾類屬性放在同一個表中不便于直接從數(shù)值大小判斷方案的優(yōu)劣，因此需要對決策矩陣中的數(shù)據(jù)進行預處理，使表中任一屬性下性能越好的方案經(jīng)過變換后其屬性值越大。決策理論與方法決策理論與方法第第 2121 頁頁第第 2121 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述第二，非量綱化。多屬性決策與評估的困難之一是目標間的不可公度性，即在屬性值表中的

26、每一列數(shù)的單位（量綱）都不相同。即使對同一屬性，采用不同的單位計量，表中的數(shù)值就會不同。在用多屬性決策方法進行分析評價時，需要排除量綱的選用對決策或評估結果的影響，這就是非量綱化，或者說是設法消去（而不是簡單刪除）量綱，即僅用數(shù)值的大小來反映屬性值的優(yōu)劣。第三，歸一化。屬性值表中不同屬性的屬性值的數(shù)值大小差別很大。如街區(qū)稅收即使已經(jīng)以萬元為單位，其數(shù)量級還是成百上千。而在住宅商品房面積、交通事故死亡率的數(shù)量級是個位數(shù)或小數(shù)。為了直觀，更為了便于采用各種多屬性決策方法進行評價，需要把屬性值表中的數(shù)值進行歸一化，即把表中數(shù)均變換成01的區(qū)間上。在大部分情況下，數(shù)據(jù)預處理的本質是要給出某個屬性的屬性

27、值在決策人評價方案優(yōu)劣時的實際價值。下面我們介紹幾種常用的數(shù)據(jù)預處理方法。決策理論與方法決策理論與方法第第 2222 頁頁第第 2222 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 2323 頁頁第第 2323 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 2424 頁頁第第 2424 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 2525 頁頁第第 2525 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 2626 頁頁第第 2626 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理

28、論與方法決策理論與方法第第 2727 頁頁第第 2727 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 2828 頁頁第第 2828 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 2929 頁頁第第 2929 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述向量規(guī)范化向量規(guī)范化決策理論與方法決策理論與方法第第 3030 頁頁第第 3030 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 3131 頁頁第第 3131 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 3232 頁頁第第 3232 頁

29、頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述 數(shù)量化數(shù)量化在進行定性比較時，各對方案間的屬性值應該比較接近，否則定性定量分析沒有多大意義。如果個別情況下屬性值之間相差過大時，應該把“過大的”分解、“過小的”聚合。當比較的屬性值比較接近時，通常人們的判斷習慣用相等（當）、較好、好、很好和最好這類語言表達，類似地有較差、差、很差和最差共9個定性等級。心理學家g.a.miller經(jīng)過試驗表明，在某個屬性上對若干個不同物體進行辨別時，普通人能夠正確區(qū)別的等級在5級至9級之間。所以，推薦定性屬性量化等級取5至9級，可能時盡量用9個等級。定性屬性必然由于關系錯綜復雜，才不能形式化，所以通過人的比較判斷得到的量化

30、值，大多用于序數(shù)標度，任何單調(diào)變換都是允許的保序變換，少數(shù)情況能達到區(qū)間標度，亦可以進行任何的線性變換。因此量化后的數(shù)值范圍取在實數(shù)軸的任一個區(qū)間均可，為了習慣與方便，推薦取010間的整數(shù)，其對應關系如表3-1-11所示。極端值0和10通常不用，留給極特殊的情況使用。決策理論與方法決策理論與方法第第 3333 頁頁第第 3333 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述1234567899級標度法 最差很差差較差一般較好好很好最好7級標度法 最差很差差一般好很好最好5級標度法 最差差一般好最好表3-1-11 定性等級量化表決策理論與方法決策理論與方法第第 3434 頁頁第第 3434 頁頁3.

31、1 多屬性決策概述多屬性決策概述(3)方案篩選方案篩選當方案集當方案集x中方案的數(shù)量太多時，在使用多屬性決中方案的數(shù)量太多時，在使用多屬性決策或評價方法進行正式評價之前就應當盡可能篩除策或評價方法進行正式評價之前就應當盡可能篩除一些性能較差的方案，以減少評價的工作量。常用一些性能較差的方案，以減少評價的工作量。常用的方案預篩選方法有三種。的方案預篩選方法有三種。決策理論與方法決策理論與方法第第 3535 頁頁第第 3535 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 3636 頁頁第第 3636 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法

32、第第 3737 頁頁第第 3737 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 3838 頁頁第第 3838 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述2. 確定權的常用方法確定權的常用方法多屬性決策問題的特點，也是求解的難點在于目標間的矛盾性和各目標的屬性值不可公度。其中不可公度性可通過屬性矩陣的規(guī)范化部分解決，但這些規(guī)范化方法無法反映目標的重要性。解決各目標屬性之間的矛盾性則需要引入權(weight)這一概念。權是目標重要性的度量，即衡量目標重要性的手段。權這一概念暗含下列幾重因素：決策人對目標屬性的重視程度；各目標屬性值的差異程度；各目標屬性值的可靠程度。權應

33、當綜合反映三種因素的作用，而且通過權，可以通過各種方法將多屬性決策問題化為單屬性問題求解。如前所述，權是目標重要性的數(shù)量化表示；但在目標較多時，決策人往往難于直接確定每個目標的權重。因此，通常的做法是讓決策人首先把各目標做成對比較，這種比較可能不準確，也可能不一致。例如，決策人雖然認為第一個目標的重要性是第二個目標重要性的3倍，第二個目標的重要性是第三個目標重要性的2倍，但他并不認為第一個目標的重要性是第三個目標重要性的6倍；因此，需要用一定的方法把目標間的成對比較結果聚合起來確定一組權，常用的有如下兩種方法。決策理論與方法決策理論與方法第第 3939 頁頁第第 3939 頁頁3.1 多屬性決

34、策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 4040 頁頁第第 4040 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 4141 頁頁第第 4141 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 4242 頁頁第第 4242 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 4343 頁頁第第 4343 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 4444 頁頁第第 4444 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 4545 頁頁第第 454

35、5 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 4646 頁頁第第 4646 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述(3) 最低層目標權重的計算最低層目標權重的計算復雜的多屬性決策問題的目標往往具有層次結構。根據(jù)不同層次的目標之間的關系，可以把多層次的目標體系分成兩種。一種是樹狀結構，如圖3-1-4(a)所示，其中較低層次的目標只與上一層目標中的一個目標相關聯(lián)。另一種是網(wǎng)狀結構，如圖3-1-4(b)所示，其中較低層次的某些目標與上一層目標的兩個或兩個以上的目標相關聯(lián)。決策理論與方法決策理論與方法第第 4747 頁頁第第 4747 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性

36、決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 4848 頁頁第第 4848 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 4949 頁頁第第 4949 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 5050 頁頁第第 5050 頁頁3.1 多屬性決策概述多屬性決策概述決策理論與方法決策理論與方法第第 5151 頁頁第第 5151 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法決策理論與方法決策理論與方法第第 5252 頁頁第第 5252 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法決策理論與方法決策理論與方法第第 5353 頁頁第第 5353 頁頁3.

37、2 多屬性決策方法多屬性決策方法加權和法由于其簡單、直觀、明了，成為人們最經(jīng)常使用的多屬性決策加權和法由于其簡單、直觀、明了，成為人們最經(jīng)常使用的多屬性決策評價方法。采用加權和法的關鍵在于確定指標體系，并且設定各最低層評價方法。采用加權和法的關鍵在于確定指標體系，并且設定各最低層指標的權重系數(shù)；有了指標體系就可以設法利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)或專家打分給指標的權重系數(shù)；有了指標體系就可以設法利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)或專家打分給出屬性值表；有了權重系數(shù)，具體的計算和排序就相當簡單了。但是以出屬性值表；有了權重系數(shù)，具體的計算和排序就相當簡單了。但是以往的各種實際評估、決策過程中總要用相當大的精力和時間用來確定指往的各種實

38、際評估、決策過程中總要用相當大的精力和時間用來確定指標體系和設定權。標體系和設定權。 決策理論與方法決策理論與方法第第 5454 頁頁第第 5454 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法但是，加權和法常常被人們不適當?shù)厥褂?，這是因為許多人并不清楚使但是，加權和法常常被人們不適當?shù)厥褂?，這是因為許多人并不清楚使用加權合法意味著承認如下假設：指標體系為樹狀結構；每個屬性用加權合法意味著承認如下假設：指標體系為樹狀結構；每個屬性的邊際價值是線性的（優(yōu)劣與屬性值大小成比例），每兩個屬性價值都的邊際價值是線性的（優(yōu)劣與屬性值大小成比例），每兩個屬性價值都是相互獨立的；屬性間的完全可補償性：一個方案的

39、某個屬性無論多是相互獨立的；屬性間的完全可補償性：一個方案的某個屬性無論多差都可用其他相對較好的屬性來補償。差都可用其他相對較好的屬性來補償。事實上，以上這些假設往往不成立。首先，指標體系通常是網(wǎng)狀的。其事實上，以上這些假設往往不成立。首先，指標體系通常是網(wǎng)狀的。其次，屬性的邊際價值常常是局部線性的，甚至有時最優(yōu)值為給定區(qū)間（次，屬性的邊際價值常常是局部線性的，甚至有時最優(yōu)值為給定區(qū)間（或點）；屬性間的價值也極難滿足其獨立性條件，即使是滿足獨立性，或點）；屬性間的價值也極難滿足其獨立性條件，即使是滿足獨立性，有時也極難驗證其滿足。至于屬性間通常只是部分的、有條件的可補償有時也極難驗證其滿足。至

40、于屬性間通常只是部分的、有條件的可補償。因此，使用加權和法要十分謹慎。因此，使用加權和法要十分謹慎。對網(wǎng)狀指標體系可以用層次分析法中的權重設定法、網(wǎng)狀指標權重遞推對網(wǎng)狀指標體系可以用層次分析法中的權重設定法、網(wǎng)狀指標權重遞推法來設定最低層權重；如果屬性的邊際價值函數(shù)為非線性的，需要用其法來設定最低層權重；如果屬性的邊際價值函數(shù)為非線性的，需要用其他的數(shù)學方法進行數(shù)據(jù)預處理；通過適當處理，屬性間的不完全補償性他的數(shù)學方法進行數(shù)據(jù)預處理；通過適當處理，屬性間的不完全補償性也可得到改善，本章不作介紹。我們只需要認識到加權和法本身存在著也可得到改善，本章不作介紹。我們只需要認識到加權和法本身存在著種種

41、局限性，需要采取相應的補救措施，那時加權和法仍是一種簡明且種種局限性，需要采取相應的補救措施，那時加權和法仍是一種簡明且有效的多屬性評價決策方法。有效的多屬性評價決策方法。決策理論與方法決策理論與方法第第 5555 頁頁第第 5555 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法2. 層次分析法（層次分析法（ahp）層次分析法的求解步驟如下：步驟1 由決策人利用表3-1-11或表3-1-12構造矩陣a。步驟2 用本征向量法求 和w。步驟3 矩陣a的一致性檢驗。若最大本征值 大于表3-1-13中給出的同階矩陣相應的 時則不能通過一致性檢驗，應該重新估計矩陣a，直到 小于 通過了一致性檢驗時，求得的w

42、才有效； maxmaxmaxmaxmax決策理論與方法決策理論與方法第第 5656 頁頁第第 5656 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法步驟4 對各方案排序。各備選方案各屬性值已知時，可以根據(jù)指標 的大小排列出方案i(i=1,m)的優(yōu)劣次序。 各備選方案在各目標下屬性值難以量化的時候，可以通過在各目標下優(yōu)劣的兩兩比較（仍利用表3-1-11或3-1-12）求得每個目標下各方案屬性的權重，再計算各方案的總體權重，根據(jù)總體權重的大小排出方案優(yōu)劣次序。1nijijjcw z決策理論與方法決策理論與方法第第 5757 頁頁第第 5757 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法例例3-2-1 設

43、國際奧委會擬從五個候選城市（巴黎、倫敦、莫斯科、紐約和馬德里）中選一個城市成為2012年奧運會主辦城市，2012年夏季奧運會奧運會主辦城市評選共有12個程序（我們稱之為屬性），為了便于分析我們從中選擇3個候選城市（倫敦、莫斯科、紐約）和6個屬性。這6個屬性是：政府的支持，財政，法律保證和公眾意見，安全，運動場館，奧運村。關于這六個屬性的重要性，國際奧委會設定的屬性重要性矩陣a為 111411/2 112411/211/21531/2 1/41/41/511/31/3 111/3311 222311 決策理論與方法決策理論與方法第第 5858 頁頁第第 5858 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性

44、決策方法決策理論與方法決策理論與方法第第 5959 頁頁第第 5959 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法用上述近似算法求得例3-2-1中矩陣a的 =6.453，小于6階矩陣的臨界值 =6.62，可以通過一致檢驗，這是的本征向量為由于在本示例中，每個候選城市的屬性值無法量化，只能采用上述方案排序法之：通過在各屬性下各方案對優(yōu)劣的比較求得每個屬性下各方案的權。三個候選城市倫敦、莫斯科、紐約分別記作x、y、z；設在各屬性下比較的結果（稱為比較矩陣） maxmax決策理論與方法決策理論與方法第第 6060 頁頁第第 6060 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法決策理論與方法決策理論與方法

45、第第 6161 頁頁第第 6161 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法決策理論與方法決策理論與方法第第 6262 頁頁第第 6262 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法3. 加權積法加權積法(1) 基本思路與運算基本思路與運算在使用一般加權和法或層次分析法求解多屬性決策問題時，都默認了各目標屬性值之間的線性可補償性。而事實上，很多屬性決策問題中的屬性值之間是不可補償?shù)?，即使在一定范圍?nèi)是可以補償?shù)?，但這種補償往往是非線性的。我們先看一個例子。圖3-2-1所示為可持續(xù)發(fā)展評價指標體系框架。決策理論與方法決策理論與方法第第 6363 頁頁第第 6363 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性

46、決策方法決策理論與方法決策理論與方法第第 6464 頁頁第第 6464 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法在設定第二層各目標的權重wj并由下層目標或屬性值求得各目標的評價指數(shù)ej后，可繼續(xù)用適當方法求解區(qū)域可持續(xù)發(fā)展能力的總的評價指數(shù)。由于經(jīng)濟、社會、環(huán)境和資源各目標之間的不完全可補償性，顯然不宜用加權和法，而可以用加權積的方法計算方案i的綜合評價指數(shù)ci，即 (3-2-5)式中，j=1,2,3,4分別表示經(jīng)濟、社會、環(huán)境和資源四個分目標；再按ci的大小確定方案的優(yōu)劣。為了避免加權積法算出的綜合評價指數(shù)數(shù)值太小，ej的最優(yōu)值可以取10或100，也可以采用隨后將介紹的式(3-2-7)和式(

47、3-2-8)計算?？紤]到經(jīng)濟與社會這兩個分目標之間有一定的可補償性，環(huán)境和資源之間也有一定的可補償性，經(jīng)濟、社會與環(huán)境、資源之間沒有可補償性，則也可以用加權和與加權積的混合算法計算綜合評價指數(shù)： (3-2-6)41ijjjcw e 1 1223 344icwew ew ew e決策理論與方法決策理論與方法第第 6565 頁頁第第 6565 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法(2) 加權積與加權和法的對比加權積與加權和法的對比下面舉一個例子（雙重屬性的決策問題），比較一下加權積法與加權和法評價結果的差異。這兩個屬性的權重相同，即w1 = w2 = 0.5，屬性值ei1和ei2分別簡記為e1

48、和e2；加權和法用式(3-2-1)來計算方案i的綜合評價指數(shù)ci，即ci = w1 + w2； 加權積法用式(3-2-5)來計算的綜合評價指數(shù)，即ci = w1e1w2e2計算；規(guī)范化的屬性e1和e2分別在01之間取不同數(shù)值，用兩種方法計算的綜合評價指數(shù)排列在表3-2-3中。表中每一格中加權和法的計算結果放在逗號前面；加權積法的計算結果在逗號后面并加粗。決策理論與方法決策理論與方法第第 6666 頁頁第第 6666 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法決策理論與方法決策理論與方法第第 6767 頁頁第第 6767 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法決策理論與方法決策理論與方法第第 6

49、868 頁頁第第 6868 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法由式(3-2-9)可知，當 即 時，加權積法與加權和法的綜合評價指數(shù)相等；評價指數(shù)w1e1與w2e2之差越大，加權和法與加權積法的綜合評價指數(shù)之間的差別也就越大。在表3-2-4中，當e1=e2時，即在對角線上的各項，加權積法與加權和法的綜合評價指數(shù)相同；w1e1與w2e2之差越大，加權積法評價結果比加權和法得到的指標小得越多。而這也正是采用加權積法的初衷：如果多屬性決策問題中某些屬性對方案的總體性能都不可或缺時，那么這些屬性之間的補償都是有條件的，甚至優(yōu)勢是完全不可補償?shù)摹? 122wew e1 122wew e決策理論與方法

50、決策理論與方法第第 6969 頁頁第第 6969 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法雖然上面討論的只是兩個屬性（n= 2）的情況，推廣到一般時以上結論仍然成立。因為加權和法實際上是用加權屬性的“算術平均值”的n倍作為評價指數(shù)，而用式(3-2-7)和式(3-2-8)所計算的加權積法的評價指數(shù)是加權屬性的“幾何平均值”的n倍，而算術平均值不小于（大于或等于）幾何平均值，所以加權和法不小于加權積法的可補償性。 決策理論與方法決策理論與方法第第 7070 頁頁第第 7070 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法(3) 加權積法屬性值表的規(guī)范化加權積法屬性值表的規(guī)范化由于加權積法的特殊性質，在

51、對決策矩陣規(guī)范化時應該選用線性變換式(3-1-3)和(3-1-3)。一般不采用式(3-1-4)，是因為在用式(3-1-4)計算以后，成本型屬性j最差的方案i的指標eij為0，其上一級的綜合評價指數(shù)ci也為0，則該方案必將被淘汰。決策理論與方法決策理論與方法第第 7171 頁頁第第 7171 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法3.2.2 topsis方法與雙基點方法方法與雙基點方法1. topsis法的求解思路法的求解思路topsis法是逼近理想解的排序方法(technique for order preference by similarity to ideal solution)的英文

52、縮寫。它借助多屬性問題的理想解和負理想解給方案集x中各方案排序。設一個所屬性決策問題的備選方案集為 ，衡量方案優(yōu)劣的屬性向量為y= ；這時方案集x中的每個方案 的n個屬性值構成的向量是 ，它作為n維空間中的一點，能唯一地表征方案 。12,mxx xx12,ny yy(1,)ix im12,iiiinyyyyix決策理論與方法決策理論與方法第第 7272 頁頁第第 7272 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法理想解x*是一個方案集x中并不存在的虛擬的最佳方案，它的每個屬性值都是決策矩陣中該屬性的最好的值；而負理想解x0則是虛擬的最差方案，它的每個屬性值都是決策矩陣中該屬性的最差的值。在n維

53、空間中，將方案集x中的各備選方案xi與理想解x*和負理想解x0 。的距離進行比較，既靠近理想解又遠離負理想解的方案就是方案集x中的最佳方案；并可以據(jù)此排定方案集x中各備選方案的優(yōu)先序。用理想解求解多屬性決策問題的概念簡單，只要在屬性空間定義適當?shù)木嚯x測度就能計算備選方案與理想解。topsis法所用的是歐氏距離。至于既用理想解又用負理想解是因為在僅僅使用理想解時有時會出現(xiàn)某兩個備選方案與理想解的距離相同的情況，為了區(qū)分這兩個方案的優(yōu)劣，引入負理想解并計算這兩個方案與負理想解的距離，與理想解的距離相同的方案離負理想解遠者為優(yōu)。決策理論與方法決策理論與方法第第 7373 頁頁第第 7373 頁頁3.

54、2 多屬性決策方法多屬性決策方法topsis法的思路可以用圖3-2-2來說明。圖3-2-2表示兩個同性的決策問題，f1和f2為加權的規(guī)范化屬性，均為效益型；方案集x中的六個方案x1到x6根據(jù)它們的加權規(guī)范化屬性值標出了在圖中的位置，并確定理想解x*和負理想解x0 。圖中的x4與x5與理想解x*的距離相同，引入它們與負理想解x0的距離后，由于x4比x5離負理想解遠，就可以區(qū)分兩者的優(yōu)劣了。決策理論與方法決策理論與方法第第 7474 頁頁第第 7474 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法決策理論與方法決策理論與方法第第 7575 頁頁第第 7575 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法決

55、策理論與方法決策理論與方法第第 7676 頁頁第第 7676 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法3. topsis法示例法示例用topsis法求解例3-1-2。第一步，對表3-1-6所示屬性值向量規(guī)范化，所得屬性矩陣見表3-1-9。第二步，設權向量仍為w =0.2,0.3,0.4,0.1，得加權的向量規(guī)范化屬性矩陣如下：第三步，由上表和式(3-2-12)、式(3-2-13)，得理想解為：(0.1939,0.2000,0.2782,0.01655)負理想解為：(0.00692,0.0000,0.01592,0.06482)決策理論與方法決策理論與方法第第 7777 頁頁第第 7777 頁頁

56、3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法決策理論與方法決策理論與方法第第 7878 頁頁第第 7878 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法與加權和法相比，方案與的排序有較大不同。也許最廣為人知和廣泛使用的多屬性決策方法是加權和法。這種方法如此簡單，以至于一些決策者不愿接受topsis法的結果。topsis法使用屬性的基數(shù)偏好信息，需要屬性的權重集。它的解依賴于決策者賦權方法。幸好已有一些可靠的確定權重的方法可以增強topsis法的實用性。此外，topsis法假設每個屬性具有單調(diào)遞減的效用。這個單調(diào)性的要求是合情合理的。非單調(diào)性的效用是很少見的，例如房子中最優(yōu)房間數(shù)或身體中血糖數(shù)目等，這些情況

57、的最優(yōu)效用處于屬性值域的中間。決策理論與方法決策理論與方法第第 7979 頁頁第第 7979 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法4. 雙基點法及其分析雙基點法及其分析決策理論與方法決策理論與方法第第 8080 頁頁第第 8080 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法決策理論與方法決策理論與方法第第 8181 頁頁第第 8181 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法決策理論與方法決策理論與方法第第 8282 頁頁第第 8282 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法決策理論與方法決策理論與方法第第 8383 頁頁第第 8383 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法3.2.3

58、物元決策方法物元決策方法1. 物元概念物元概念物元決策方法(matter-element method)是基于物元分析法的一種多屬性決策方法。物元理論包括物元可拓性和物元變換。物元理論的核心就是研究物元的可拓性、物元的變換以及物元變換的性質。物元分析是用來處理在某些情況下，用通常的方法無法達到預期目標的不相容問題的一種分析方法。物元分析(matter-element analysis)是在可拓集合論的基礎上研究解決矛盾問題的規(guī)律和方法，它是系統(tǒng)科學、思維科學、數(shù)學交叉的邊緣學科，是貫穿自然科學和社會科學的應用較廣的橫斷學科。它可以將復雜問題抽象為形象化的模型，并利用這些模型研究基本理論。提出相

59、應的應用方法。決策理論與方法決策理論與方法第第 8484 頁頁第第 8484 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法2. 物元分析法的基本步驟物元分析法的基本步驟利用物元分析方法可以建立事物多屬性多等級的性能參數(shù)的質量評定模型，能以定量的數(shù)值來表示評定結果與各等級集合的關聯(lián)度大小，并可據(jù)此判斷待評物元的所屬級別，從而能夠較完整地反映事物質量的綜合水平，并易于用計算機進行規(guī)范化處理。物元分析法的具體評價步驟如下。(1)建立物元矩陣在物元分析中，把事物n及其特征c和特征的量值x的三元有序組合足r=(n，c，x)稱為物元。如果事物n需要用n個特征c1，c2， ，cn和對應量值x1，x2， ，xn來

60、描述，則稱為n維物元，并用矩陣表示為： (3-2-29)1122,iinnncxcxrn c xcx決策理論與方法決策理論與方法第第 8585 頁頁第第 8585 頁頁3.2 多屬性決策方法多屬性決策方法(2)經(jīng)典域和節(jié)域物元矩陣經(jīng)典域和節(jié)域物元矩陣當n0為標準事物關于特征ci的量值范圍voi=(aoi，boi)時，經(jīng)典域的物元矩陣可表示為 （3-2-30）式中noj為事物的第j個等級(j=1，2， ，m)；ci為事物第j個等級的第i個特征；xoij為noj關于ci的量值范圍，即各等級關于對應特征的經(jīng)典域。將標準事物no和可轉化為標準的事物所組成的物元rp稱為節(jié)域物元，而xpi=為節(jié)域物元關于