(完整word版)2013華北電力大學(xué)碩士研究生課程考試試題(A卷參考答案)

1、A1華北電力大學(xué)碩士研究生課程考試試題（A 卷）特別注意：所有答案必須寫在答題冊上，答在試題紙上一律無效一、判斷題（每小題 2 分，共 10 分）1. 方陣A的任意一個特征值的代數(shù)重數(shù)不大于它的幾何重數(shù)。2. 設(shè)是線性無關(guān)的向量,則dim（spanr2ilm） = m.3.如果 VV 是 V 的線性子空間,則Vi一V也是 V 的線性子空間.4. n 階-矩陣A（）是可逆的充分必要條件是Af ）的秩是n.5. n 階實矩陣 A 是單純矩陣的充分且必要條件是A 的最小多項式?jīng)]有重根題號12345答案XVXXV、填空題（每小題 3 分，共 27 分）210A，貝U e的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型為fe2

2、10 (6) A =02102e0e03.丿003e丿仇-301、100、(7)00九+ 2的 Smith 標(biāo)準(zhǔn)型為0人-30 0人30丿00(丸3)+2)丿20132014 學(xué)年第一學(xué)期課程編號： 50920021課程名稱：矩陣論年級：2013開課單位：數(shù)理系命題教師：邱啟榮考核方式：閉卷考試時間：120 分鐘試卷頁數(shù)：2 頁在基00、（0-3八2下的坐標(biāo)為（1,1,2,1）TJ(9)3-5A2100、100、00.30.5，則lim An=000n_00.4-0.5000(8)設(shè) AA3sin 2x設(shè)A Rmn,BRPq,CRmq是已知矩陣，則矩陣方程AXB=C的極小范數(shù)最小二乘解是X =

3、(A i BT)+C(13)若n階方陣 A 滿足宀 0,則cosAE冷A。(14)方陣A的特征多項式是( _2)3(，-3)3-5)，最小多項式是(，2)2(-3)(5)，則A的 JordanJordan 標(biāo)準(zhǔn)形是diag(J (2,1), J(2, 2),3E3,5)。證明：ALE3+ E3：BT非奇異。(1)方法 1:用圓盤定理。A 的三個行圓盤分別是 B(12,4),B(7,2), B(-8,1), 2,-1,-2 都不在B(12,4) 一 B(7,2) 一 B(-8,1)中，因此 A 與-B 沒有相同的特征值，從而 0 不是A二E3+ E3：BT的特征值，故A二E3+E3：BT可逆，從

4、而AX XB=C有唯一解。(2)方法 2:求出 A 的特征多項式，再證明 2,-1,-2 不是 A 的特征值。方法 3:直接寫出A：E3+ E3：BT，再證明它非奇異2四(8 分)、設(shè) 3 維內(nèi)積空間在基下的矩陣 A=11213廣-2 00 ”勺0 2-1 71,B =0 1 2，C =2 2 50 1 、2 0 2丿04 0三(7 分)、設(shè)A =證明AX XB二C有唯一解。(10)4， 則| |A|&-3-7(11)|imln(1+x)；sinxx)0$-12x + 3丿(12)顯然,-B 的特征值為 2, -1, -2,下證明:2,-1,-2 不是 A 的特征值:1 -1A50。求

5、spaE%+2+4的正交03A4_1補(bǔ)空間。解：設(shè)：=x1+X2：2+X3：3(span：1+：2+：3)一，則(X1,X2,X3)T滿足方程A5T(Xi,x2，x)A1=02X| +6X2+2X3=0它的基礎(chǔ)解系為1=(-3,1,0)Tl2=(0,1, -3)T，因此(spa2+：3)-二span -31+2,：2 - 3：3五(10 分)、設(shè) 5 階實對稱矩陣A滿足(A-3E)2(A 5E)3二0,rank(A- 3E) = 1，求A的 譜半徑和Frobenius 范數(shù)A|F。解：因為實對稱矩陣A是 5 階矩陣，且滿足(A-3E)2(A 5E)3=0,ran k(A-3E)=1，因此存在正

6、交矩陣 P,使得PTAP =diag(3,3,3,3, -5)由于正交變換不改變矩陣的Frobenius 范數(shù)，因此AF二 diag(3,3,3,3, -5)F二.4 9 25 二 615241-r+六(10 分)、求-1-1112。1-3-2-3524100000 解：_111121021131-32一301-32一352 f1021 1、B = 11,C =01-3_2-3)115-102-11400一3丿6710117c50-50-5050501003361-117-89150是矩陣 A 的一個滿秩分解。1512A6七(14 分)、F3(t)錯誤！未找到引用源。的線性變換T (a。a1t

7、 a?t2ast3) = (a。_a?)佝a3)t6 - a)t2 - ajt3A7(1) 求R(T), N(T)的基。(2) 求 T 的一個三維不變子空間。解: (1) (8 分)求T在錯誤！未指定書簽。 下的矩陣。解：基1,t,t2,t3，因為232233T(1) =1 -t ,T(t) =t t ,T(t )一1 t ,T(t ) 1 t0-10 010-1所以T在基1,t,r,r錯誤！未指定書簽。下的矩陣A =-1010-101丿(10-10 rn0-10010-1010-1A =-101000000000因此1-t2,t-t3是R(T)的基，1+t2,t+t3是 N(T)的基。(2)( 6 分) 取U = span1 -t2,t -t3，+t2,易見1 -t2,t -t3，+t2線性 無關(guān)，因此U =span1 -t2,t -t3,1+t2是三維的，且 T(U)=R(T) U ,因此 U 是 T 的一個三維不變子空間勺2 1、八(14 分)、已知A = 141,02 3(1)(