2016八年級下勾股定理培優(yōu)

1、2016八年級下勾股定理培優(yōu)一選擇題（共4小題）1ABC周長是24，M是AB的中點(diǎn)，MC=MA=5，則ABC的面積是（）A12B16C24D302如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一點(diǎn)N、M，使得BM+MN的值最小，這個(gè)最小值為（）A12B10C16D203如圖，已知O是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的長為（）A2B2C2D34如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑

2、是（）A13cmB2cmCcmD2cm二填空題（共5小題）5已知一個(gè)直角三角形的邊長都是整數(shù)，且周長的數(shù)值等于面積的數(shù)值，那么這個(gè)三角形的三邊長分別為6如圖，設(shè)MON=20°，A為OM上一點(diǎn)，OA=4，D為ON上一點(diǎn)，OD=8，C為AM上任一點(diǎn)，B是OD上任意一點(diǎn)，那么折線ABCD的長最小為7如圖，設(shè)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，則APB的度數(shù)是8如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個(gè)小正方形其邊長都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點(diǎn)A沿表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用秒鐘9在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）

3、已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=三解答題（共8小題）10長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，求DE的長11如圖，A城氣象臺(tái)測得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域（1）A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長時(shí)間？12如圖所示，折疊長方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在邊BC的點(diǎn)F處

4、，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的長13如圖，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，E、F分別是BC上兩點(diǎn)，若EAF=45°，試推斷BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由14如圖，四邊形ABCD中，ABC=135°，BCD=120°，AB=，BC=5，CD=6，求AD15已知RtABC中，ACB=90°，CA=CB，有一個(gè)圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線AB交于點(diǎn)M，N（）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1，求證：MN2=AM2+BN2；（思路點(diǎn)撥：考慮MN

5、2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決可將ACM沿直線CE對折，得DCM，連DN，只需證DN=BN，MDN=90°就可以了請你完成證明過程）（）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，關(guān)系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由16結(jié)論：在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=，PC=1求BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長李明同學(xué)做了如圖2所示的輔助線：將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，連

6、接PP，從而問題得到解決你能說說其中的理由嗎？請你參考李明同學(xué)的思路，解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長17如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E，E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長2016八年級下勾股定理培優(yōu)參考答案與試題解析一選擇題（共4小題）1（2013天心區(qū)校級自主招生）ABC周長是24，M是AB的中點(diǎn)，MC=MA=5，則ABC的面積是（）A12B16C24D30【考點(diǎn)】三角形的面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題【分析】由M是AB的中點(diǎn)，MC=MA=5可知MA=MB=MC，依此可判定ACB=90

7、°斜邊為10，兩直角邊和可求出，再求直角三角形ABC的面積【解答】解：MA=MB=MC=5，ACB=90°周長是24，AB=10AC+BC=14，AC2+BC2=102，2ACBC=（AC+BC）2（AC2+BC2）=142102=4×24故選C【點(diǎn)評】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給條件判定三角形ABC是直角三角形2如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一點(diǎn)N、M，使得BM+MN的值最小，這個(gè)最小值為（）A12B10C16D20【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】探究型【分析】作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B，連AB，則N點(diǎn)關(guān)于AC的對稱

8、點(diǎn)N在AB上，這時(shí)，B到M到N的最小值等于BMN的最小值，等于B到AB的距離BH，連B與AB和DC的交點(diǎn)P，再由三角形的面積公式可求出SABP的值，根據(jù)對稱的性質(zhì)可知PAC=BAC=PCA，利用勾股定理可求出PA的值，再由SABP=PABH即可求解【解答】解：如圖，作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B，連AB，則N點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)N在AB上，這時(shí)，B到M到N的最小值等于BMN的最小值，等于B到AB的距離BH，連B與AB和DC的交點(diǎn)P，則SABP=×20×10=100，由對稱知識(shí)，PAC=BAC=PCA，所以PA=PC，令PA=x，則PC=x，PD=20x，在RtADP中，PA2=PD2

9、+AD2，所以x2=（20x）2+102，所以x=12.5，因?yàn)镾ABP=PABH，所以BH=【點(diǎn)評】本題考查的是最短路線問題及軸對稱的性質(zhì)，作出B點(diǎn)關(guān)于直線AC對稱的點(diǎn)B是解答此題的關(guān)鍵3如圖，已知O是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的長為（）A2B2C2D3【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題【分析】過O作EFAD于E，交BC于F；過O作GHDC于G，交AB于H，設(shè)CF=x，F(xiàn)B=y，AH=s，HB=t，則可得x2y2=169，t2s2=3212=8，整理得OD2=x2+s2=（y2+t2）1=8，即可解題【解答】解：如圖，過O作EFAD于E

10、，交BC于F；過O作GHDC于G，交AB于H設(shè)CF=x，F(xiàn)B=y，AH=s，HB=t，所以O(shè)G=x，DG=s所以O(shè)F2=OB2BF2=OC2CF2即42x2=32y2所以x2y2=169=7（1）同理有OH2=12s2=32t2所以t2s2=3212=8（2）又因?yàn)镺H2+HB2=OB2即y2+t2=9（1）（2）得（x2+s2）（y2+t2）=1所以O(shè)D2=x2+s2=（y2+t2）1=91=8所以O(shè)D=2故選 B【點(diǎn)評】本題考查了矩形對角線相等且互相平分的性質(zhì)，考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中整理計(jì)算OD的長度是解題的關(guān)鍵4（2015資陽）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)

11、）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A13cmB2cmCcmD2cm【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知AB的長度即為所求【解答】解：如圖：高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點(diǎn)A處，AD=5cm，BD=123+AE=12cm，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A，連接AB，則AB即

12、為最短距離，AB=13（Cm）故選：A【點(diǎn)評】本題考查了平面展開最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力二填空題（共5小題）5已知一個(gè)直角三角形的邊長都是整數(shù)，且周長的數(shù)值等于面積的數(shù)值，那么這個(gè)三角形的三邊長分別為6，8，10或5，12，13【考點(diǎn)】勾股定理；三角形的面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題；分類討論【分析】設(shè)三邊長為a、b、c，其中c是斜邊，則存在勾股定理和周長等于面積這兩個(gè)等量關(guān)系，解方程組且根據(jù)a、b、c均為正整數(shù)可得a、b、c的值【解答】解：設(shè)三邊長為a，b，c，其中c是斜邊，則有（2）代入（1）得即因?yàn)閍b0

13、所以ab4a4b+8=0所以（a，b為正整數(shù)）所以b4=1，2，4，8，所以b=5，6，8，12；a=12，8，6，5；c=13，10，10，13，所以，三邊長為6，8，10或5，12，13故答案為 6，8，10或5，12，13【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了分類討論思想，本題中討論a、b的值是解題的關(guān)鍵6如圖，設(shè)MON=20°，A為OM上一點(diǎn)，OA=4，D為ON上一點(diǎn)，OD=8，C為AM上任一點(diǎn)，B是OD上任意一點(diǎn)，那么折線ABCD的長最小為12【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】作圖題；證明題【分析】作A關(guān)于ON的對稱點(diǎn)A，D關(guān)于OM的對稱點(diǎn)D

14、，將折線長度問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題；然后判斷出ODA為直角三角形，利用勾股定理求出AD的長，即為折線的長【解答】解：如圖，作A關(guān)于ON的對稱點(diǎn)A，D關(guān)于OM的對稱點(diǎn)D，連接AB，CD，則AB=AB，CD=CD，從而AB+BC+CD=AB+BC+CDAD，因?yàn)锳ON=MON=MOD=20°，所以AOD=60°，又因?yàn)镺A=OA=4，OD=OD=8，所以O(shè)D=2OA，即ODA為直角三角形，且OAD=90°，所以AD=，所以，折線ABCD的長的最小值是12【點(diǎn)評】此題考查了軸對稱最短路徑問題，此題要考慮兩個(gè)點(diǎn)的對稱點(diǎn)，將折線轉(zhuǎn)化為線段的問題，并轉(zhuǎn)化到直角三角形

15、內(nèi)利用勾股定理解答是解題的關(guān)鍵7（2011秋雁塔區(qū)校級期末）如圖，設(shè)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，則APB的度數(shù)是150°【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的逆定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題【分析】將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得BEA，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60°，則BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，BPE=60°，在AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到APE為直角三角形，且APE=90°，即可得到APB的度數(shù)【解答】解：ABC為

16、等邊三角形，BA=BC，可將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得BEA，連EP，如圖，BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60°，BPE為等邊三角形，PE=PB=4，BPE=60°，在AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，AE2=PE2+PA2，APE為直角三角形，且APE=90°，APB=90°+60°=150°故答案為150°【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理8（2015秋簡

17、陽市期末）如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個(gè)小正方形其邊長都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點(diǎn)A沿表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用2.5秒鐘【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】把此正方體的點(diǎn)A所在的面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點(diǎn)A和B點(diǎn)間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離在直角三角形中，一條直角邊長等于5，另一條直角邊長等于2，利用勾股定理可求得【解答】解：因?yàn)榕佬新窂讲晃ㄒ?，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再從各個(gè)路線中確定最短的路線（1）展開前面右面由勾股定理得AB=cm；（2）展開底面右面由勾股定理得AB=5cm

18、；所以最短路徑長為5cm，用時(shí)最少：5÷2=2.5秒【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的拓展應(yīng)用“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關(guān)鍵9（2012慶陽）在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=4【考點(diǎn)】勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】規(guī)律型【分析】運(yùn)用勾股定理可知，每兩個(gè)相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答【解答】解：觀察發(fā)現(xiàn)，AB=BE，ACB=BDE=90°，ABC+BAC=90°，A

19、BC+EBD=90°，BAC=EBD，ABCBDE（AAS），BC=ED，AB2=AC2+BC2，AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3則S1+S2+S3+S4=1+3=4故答案為：4【點(diǎn)評】運(yùn)用了全等三角形的判定以及性質(zhì)、勾股定理注意發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小正方形的面積和正好是之間的正方形的面積三解答題（共8小題）10（2015春黔南州期末）長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，求DE的長【考點(diǎn)】勾股定理；翻折變換（折疊問題）菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】幾何圖形問題【分析】注意發(fā)現(xiàn)：在折疊的過程中，BE=DE

20、從而設(shè)BE即可表示AE在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解【解答】解：設(shè)DE=xcm，則BE=DE=x，AE=ABBE=10x，ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10x）2+16x=（cm）【點(diǎn)評】注意此類題中，要能夠發(fā)現(xiàn)折疊的對應(yīng)線段相等11（2009秋天長市期末）如圖，A城氣象臺(tái)測得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域（1）A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長時(shí)間？【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)

21、所有【專題】應(yīng)用題【分析】（1）點(diǎn)到直線的線段中垂線段最短，故應(yīng)由A點(diǎn)向BF作垂線，垂足為C，若AC200則A城不受影響，否則受影響；（2）點(diǎn)A到直線BF的長為200千米的點(diǎn)有兩點(diǎn)，分別設(shè)為D、G，則ADG是等腰三角形，由于ACBF，則C是DG的中點(diǎn)，在RtADC中，解出CD的長，則可求DG長，在DG長的范圍內(nèi)都是受臺(tái)風(fēng)影響，再根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時(shí)間【解答】解：（1）由A點(diǎn)向BF作垂線，垂足為C，在RtABC中，ABC=30°，AB=320km，則AC=160km，因?yàn)?60200，所以A城要受臺(tái)風(fēng)影響；（2）設(shè)BF上點(diǎn)D，DA=200千米，則還有一點(diǎn)G，有AG=200千米因

22、為DA=AG，所以ADG是等腰三角形，因?yàn)锳CBF，所以AC是DG的垂直平分線，CD=GC，在RtADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD=120千米，則DG=2DC=240千米，遭受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是：t=240÷40=6（小時(shí)）【點(diǎn)評】此題主要考查輔助線在題目中的應(yīng)用，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離及速度與時(shí)間的關(guān)系等，較為復(fù)雜12（2012秋臨清市期末）如圖所示，折疊長方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在邊BC的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm，則EC的長為3cm【考點(diǎn)】勾股定理；翻折變換（折疊問題）菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】能夠根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到相關(guān)的線段之間的關(guān)

23、系再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算【解答】解：D，F(xiàn)關(guān)于AE對稱，所以AED和AEF全等，AF=AD=BC=10，DE=EF，設(shè)EC=x，則DE=8xEF=8x，在RtABF中，BF=6，F(xiàn)C=BCBF=4在RtCEF中，由勾股定理得：CE2+FC2=EF2，即：x2+42=（8x）2，解得x=3EC的長為3cm【點(diǎn)評】特別注意軸對稱的性質(zhì)以及熟練運(yùn)用勾股定理13如圖，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，E、F分別是BC上兩點(diǎn)，若EAF=45°，試推斷BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】開放型【分析】將ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

24、90°得ACG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AG=AE，CG=BE，1=B，EAG=90°，F(xiàn)CG=ACB+1=ACB+B=90°，根據(jù)勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；再根據(jù)EAF=45°，易證得AGFAEF，則有FG=EF，即可得到BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系【解答】解：BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系為：EF2=BE2+FC2理由如下：BAC=90°，AB=AC，將ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得ACG，連FG，如圖，AG=AE，CG=BE，1=B，EAG=90°，F(xiàn)CG=ACB+1=ACB+B=90°，F(xiàn)

25、G2=FC2+CG2=BE2+FC2；又EAF=45°，而EAG=90°，GAF=90°45°=45°，而AG=AE，AF公共，AGFAEF，F(xiàn)G=EF，EF2=BE2+FC2【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等也考查了勾股定理以及三角形全等的判定與性質(zhì)14（2012大興區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD中，ABC=135°，BCD=120°，AB=，BC=5，CD=6，求AD【考點(diǎn)】勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題【分析】作出輔助線，構(gòu)建直

26、角三角形，使AD成為直角三角形的一條邊，根據(jù)勾股定理求解【解答】解：如圖，過A作AEBC交CD于E，過B作BFAE于F，作CGAE于G，則1=45°，2=60°，則RtABF為等腰直角三角形，BCGF為矩形，又因?yàn)锳B=，BC=5，所以BF=AF=AB=，所以CG=BF=，所以CE=CG=2，EG=CG=1所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CDEC=62=4過D作DMAE延長線于MMED=180°AED=180°BCD=180°120°=60°所以EM=DE=2，DM=DE=2在RtAMD中，AD=【點(diǎn)評

27、】本題考查的是直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，作輔助線構(gòu)建可以運(yùn)用勾股定理的直角三角形是解題的關(guān)鍵15（2008天津）已知RtABC中，ACB=90°，CA=CB，有一個(gè)圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線AB交于點(diǎn)M，N（）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1，求證：MN2=AM2+BN2；（思路點(diǎn)撥：考慮MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決可將ACM沿直線CE對折，得DCM，連DN，只需證DN=BN，MDN=90°就可以了請你完成證明過程）（）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2的位置

28、時(shí)，關(guān)系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】證明題；壓軸題；探究型【分析】（）考慮MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決可將ACM沿直線CE對折，得DCM，連DN，只需證DN=BN，MDN=90°就可以了；（）還將ACM沿直線CE對折，得GCM，連GN，GCMACM，然后由勾股定理即可證明【解答】（）證明：將ACM沿直線CE對折，得DCM，連DN，DCMACM（1分）CD=CA，DM=AM，DCM=ACM，CDM=A又CA=CB，CD=CB（2分），DCN=

29、ECFDCM=45°DCMBCN=ACBECFACM=90°45°ACM=45°ACMDCN=BCN （3分）又CN=CN，CDNCBN（4分）DN=BN，CDN=BMDN=CDM+CDN=A+B=90°（5分）在RtMDN中，由勾股定理MN2=DM2+DN2，即MN2=AM2+BN2（6分）（）解：關(guān)系式MN2=AM2+BN2仍然成立（7分）證明：將ACM沿直線CE對折，得GCM，連GN，GCMACM（8分）CG=CA，GM=AM，GCM=ACM，CGM=CAM，又CA=CB，得CG=CBGCN=GCM+ECF=GCM+45°BCN

30、=ACBACN=90°（ECFACM）=45°+ACM得GCN=BCN （8分）又CN=CN，CGNCBNGN=BN，CGN=B=45°，CGM=CAM=180°CAB=135°，MGN=CGMCGN=135°45°=90°，在RtMGN中，由勾股定理，MN2=GM2+GN2，即MN2=AM2+BN2（9分）【點(diǎn)評】此題的關(guān)鍵是輔助線，讓MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決做幾何題加輔助線是關(guān)鍵，所以學(xué)生要盡可能多的從題中總結(jié)，加輔助線的規(guī)律16（2014秋岳池縣月考）結(jié)論：在直角三角

31、形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=，PC=1求BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長李明同學(xué)做了如圖2所示的輔助線：將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，連接PP，從而問題得到解決你能說說其中的理由嗎？請你參考李明同學(xué)的思路，解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出AP=CP=1，B

32、P=BP=，PBC=PBA，APB=BPC，求出ABP+ABP=60°，得到等邊BPP，推出PP=，BPP=60°，求出APP=90°即可求出BPC；過點(diǎn)B作BMAP，交AP的延長線于點(diǎn)M，由MPB=30°，求出BM=，PM=，根據(jù)勾股定理即可求出答案；（2）求出BEP=（180°90°）=45°，根據(jù)勾股定理的逆定理求出APP=90°，推出BPC=AEB=90°+45°=135°；過點(diǎn)B作BFAE，交AE的延長線于點(diǎn)F，求出FE=BF=1，AF=2，關(guān)鍵勾股定理即可求出AB【解答】（1）解：ABC是等邊三角形，ABC=60°，將BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得出ABP，AP=CP=1，BP=BP=，PBC=PBA，APB=BPC，PBC+ABP=ABC=60°，ABP+ABP=ABC=60°，BPP是等邊三角形，PP=，BPP=60°，AP=1，AP=2，AP2+PP2=AP2，APP=90°，BPC=APB=90°+60°=150°，過點(diǎn)B作BMAP，交AP的延長線于點(diǎn)M，MPB=30°，BM=，由勾股定理得：PM=，AM=1+=，由勾股定理得：AB=，