2016八年級下勾股定理培優(yōu)

1、2016八年級下勾股定理培優(yōu)一選擇題（共4小題）1ABC周長是24，M是AB的中點，MC=MA=5，則ABC的面積是（）A12B16C24D302如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一點N、M，使得BM+MN的值最小，這個最小值為（）A12B10C16D203如圖，已知O是矩形ABCD內一點，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的長為（）A2B2C2D34如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑

2、是（）A13cmB2cmCcmD2cm二填空題（共5小題）5已知一個直角三角形的邊長都是整數(shù)，且周長的數(shù)值等于面積的數(shù)值，那么這個三角形的三邊長分別為6如圖，設MON=20°，A為OM上一點，OA=4，D為ON上一點，OD=8，C為AM上任一點，B是OD上任意一點，那么折線ABCD的長最小為7如圖，設P是等邊ABC內的一點，PA=3，PB=4，PC=5，則APB的度數(shù)是8如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個小正方形其邊長都為1cm，假設一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點A沿表面爬行至側面的B點，最少要用秒鐘9在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）

3、已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=三解答題（共8小題）10長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，求DE的長11如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風中心200km的范圍內是受臺風影響的區(qū)域（1）A城是否受到這次臺風的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺風影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？12如圖所示，折疊長方形的一邊AD，使點D落在邊BC的點F處

4、，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的長13如圖，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，E、F分別是BC上兩點，若EAF=45°，試推斷BE、CF、EF之間的數(shù)量關系，并說明理由14如圖，四邊形ABCD中，ABC=135°，BCD=120°，AB=，BC=5，CD=6，求AD15已知RtABC中，ACB=90°，CA=CB，有一個圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉，且直線CE，CF分別與直線AB交于點M，N（）當扇形CEF繞點C在ACB的內部旋轉時，如圖1，求證：MN2=AM2+BN2；（思路點撥：考慮MN

5、2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉化為在直角三角形中解決可將ACM沿直線CE對折，得DCM，連DN，只需證DN=BN，MDN=90°就可以了請你完成證明過程）（）當扇形CEF繞點C旋轉至圖2的位置時，關系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由16結論：在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA=2，PB=，PC=1求BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長李明同學做了如圖2所示的輔助線：將BPC繞點B逆時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形，連

6、接PP，從而問題得到解決你能說說其中的理由嗎？請你參考李明同學的思路，解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長17如圖，正方形ABCD內一點E，E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長2016八年級下勾股定理培優(yōu)參考答案與試題解析一選擇題（共4小題）1（2013天心區(qū)校級自主招生）ABC周長是24，M是AB的中點，MC=MA=5，則ABC的面積是（）A12B16C24D30【考點】三角形的面積菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【分析】由M是AB的中點，MC=MA=5可知MA=MB=MC，依此可判定ACB=90

7、°斜邊為10，兩直角邊和可求出，再求直角三角形ABC的面積【解答】解：MA=MB=MC=5，ACB=90°周長是24，AB=10AC+BC=14，AC2+BC2=102，2ACBC=（AC+BC）2（AC2+BC2）=142102=4×24故選C【點評】解決本題的關鍵是根據(jù)所給條件判定三角形ABC是直角三角形2如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AB、AC上各取一點N、M，使得BM+MN的值最小，這個最小值為（）A12B10C16D20【考點】軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】探究型【分析】作B關于AC的對稱點B，連AB，則N點關于AC的對稱

8、點N在AB上，這時，B到M到N的最小值等于BMN的最小值，等于B到AB的距離BH，連B與AB和DC的交點P，再由三角形的面積公式可求出SABP的值，根據(jù)對稱的性質可知PAC=BAC=PCA，利用勾股定理可求出PA的值，再由SABP=PABH即可求解【解答】解：如圖，作B關于AC的對稱點B，連AB，則N點關于AC的對稱點N在AB上，這時，B到M到N的最小值等于BMN的最小值，等于B到AB的距離BH，連B與AB和DC的交點P，則SABP=×20×10=100，由對稱知識，PAC=BAC=PCA，所以PA=PC，令PA=x，則PC=x，PD=20x，在RtADP中，PA2=PD2

9、+AD2，所以x2=（20x）2+102，所以x=12.5，因為SABP=PABH，所以BH=【點評】本題考查的是最短路線問題及軸對稱的性質，作出B點關于直線AC對稱的點B是解答此題的關鍵3如圖，已知O是矩形ABCD內一點，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的長為（）A2B2C2D3【考點】矩形的性質；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【分析】過O作EFAD于E，交BC于F；過O作GHDC于G，交AB于H，設CF=x，F(xiàn)B=y，AH=s，HB=t，則可得x2y2=169，t2s2=3212=8，整理得OD2=x2+s2=（y2+t2）1=8，即可解題【解答】解：如圖，過O作EFAD于E

10、，交BC于F；過O作GHDC于G，交AB于H設CF=x，F(xiàn)B=y，AH=s，HB=t，所以OG=x，DG=s所以OF2=OB2BF2=OC2CF2即42x2=32y2所以x2y2=169=7（1）同理有OH2=12s2=32t2所以t2s2=3212=8（2）又因為OH2+HB2=OB2即y2+t2=9（1）（2）得（x2+s2）（y2+t2）=1所以OD2=x2+s2=（y2+t2）1=91=8所以OD=2故選 B【點評】本題考查了矩形對角線相等且互相平分的性質，考查了勾股定理在直角三角形中的運用，本題中整理計算OD的長度是解題的關鍵4（2015資陽）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計

11、）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A13cmB2cmCcmD2cm【考點】平面展開-最短路徑問題菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】將容器側面展開，建立A關于EF的對稱點A，根據(jù)兩點之間線段最短可知AB的長度即為所求【解答】解：如圖：高為12cm，底面周長為10cm，在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處，AD=5cm，BD=123+AE=12cm，將容器側面展開，作A關于EF的對稱點A，連接AB，則AB即

12、為最短距離，AB=13（Cm）故選：A【點評】本題考查了平面展開最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力二填空題（共5小題）5已知一個直角三角形的邊長都是整數(shù)，且周長的數(shù)值等于面積的數(shù)值，那么這個三角形的三邊長分別為6，8，10或5，12，13【考點】勾股定理；三角形的面積菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題；分類討論【分析】設三邊長為a、b、c，其中c是斜邊，則存在勾股定理和周長等于面積這兩個等量關系，解方程組且根據(jù)a、b、c均為正整數(shù)可得a、b、c的值【解答】解：設三邊長為a，b，c，其中c是斜邊，則有（2）代入（1）得即因為ab0

13、所以ab4a4b+8=0所以（a，b為正整數(shù)）所以b4=1，2，4，8，所以b=5，6，8，12；a=12，8，6，5；c=13，10，10，13，所以，三邊長為6，8，10或5，12，13故答案為 6，8，10或5，12，13【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了分類討論思想，本題中討論a、b的值是解題的關鍵6如圖，設MON=20°，A為OM上一點，OA=4，D為ON上一點，OD=8，C為AM上任一點，B是OD上任意一點，那么折線ABCD的長最小為12【考點】軸對稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】作圖題；證明題【分析】作A關于ON的對稱點A，D關于OM的對稱點D

14、，將折線長度問題轉化為兩點之間線段最短的問題；然后判斷出ODA為直角三角形，利用勾股定理求出AD的長，即為折線的長【解答】解：如圖，作A關于ON的對稱點A，D關于OM的對稱點D，連接AB，CD，則AB=AB，CD=CD，從而AB+BC+CD=AB+BC+CDAD，因為AON=MON=MOD=20°，所以AOD=60°，又因為OA=OA=4，OD=OD=8，所以OD=2OA，即ODA為直角三角形，且OAD=90°，所以AD=，所以，折線ABCD的長的最小值是12【點評】此題考查了軸對稱最短路徑問題，此題要考慮兩個點的對稱點，將折線轉化為線段的問題，并轉化到直角三角形

15、內利用勾股定理解答是解題的關鍵7（2011秋雁塔區(qū)校級期末）如圖，設P是等邊ABC內的一點，PA=3，PB=4，PC=5，則APB的度數(shù)是150°【考點】旋轉的性質；等邊三角形的判定與性質；勾股定理的逆定理菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【分析】將BPC繞點B逆時針旋轉60°得BEA，根據(jù)旋轉的性質得BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60°，則BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，BPE=60°，在AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到APE為直角三角形，且APE=90°，即可得到APB的度數(shù)【解答】解：ABC為

16、等邊三角形，BA=BC，可將BPC繞點B逆時針旋轉60°得BEA，連EP，如圖，BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60°，BPE為等邊三角形，PE=PB=4，BPE=60°，在AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，AE2=PE2+PA2，APE為直角三角形，且APE=90°，APB=90°+60°=150°故答案為150°【點評】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等也考查了等邊三角形的判定與性質以及勾股定理的逆定理8（2015秋簡

17、陽市期末）如圖所示一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3×3個小正方形其邊長都為1cm，假設一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點A沿表面爬行至側面的B點，最少要用2.5秒鐘【考點】平面展開-最短路徑問題菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】把此正方體的點A所在的面展開，然后在平面內，利用勾股定理求點A和B點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離在直角三角形中，一條直角邊長等于5，另一條直角邊長等于2，利用勾股定理可求得【解答】解：因為爬行路徑不唯一，故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線（1）展開前面右面由勾股定理得AB=cm；（2）展開底面右面由勾股定理得AB=5cm

18、；所以最短路徑長為5cm，用時最少：5÷2=2.5秒【點評】本題考查了勾股定理的拓展應用“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關鍵9（2012慶陽）在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）已知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=4【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】規(guī)律型【分析】運用勾股定理可知，每兩個相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答【解答】解：觀察發(fā)現(xiàn)，AB=BE，ACB=BDE=90°，ABC+BAC=90°，A

19、BC+EBD=90°，BAC=EBD，ABCBDE（AAS），BC=ED，AB2=AC2+BC2，AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3則S1+S2+S3+S4=1+3=4故答案為：4【點評】運用了全等三角形的判定以及性質、勾股定理注意發(fā)現(xiàn)兩個小正方形的面積和正好是之間的正方形的面積三解答題（共8小題）10（2015春黔南州期末）長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，求DE的長【考點】勾股定理；翻折變換（折疊問題）菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】幾何圖形問題【分析】注意發(fā)現(xiàn)：在折疊的過程中，BE=DE

20、從而設BE即可表示AE在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解【解答】解：設DE=xcm，則BE=DE=x，AE=ABBE=10x，ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10x）2+16x=（cm）【點評】注意此類題中，要能夠發(fā)現(xiàn)折疊的對應線段相等11（2009秋天長市期末）如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風中心200km的范圍內是受臺風影響的區(qū)域（1）A城是否受到這次臺風的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺風影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？【考點】勾股定理的應用菁優(yōu)網(wǎng)版權

21、所有【專題】應用題【分析】（1）點到直線的線段中垂線段最短，故應由A點向BF作垂線，垂足為C，若AC200則A城不受影響，否則受影響；（2）點A到直線BF的長為200千米的點有兩點，分別設為D、G，則ADG是等腰三角形，由于ACBF，則C是DG的中點，在RtADC中，解出CD的長，則可求DG長，在DG長的范圍內都是受臺風影響，再根據(jù)速度與距離的關系則可求時間【解答】解：（1）由A點向BF作垂線，垂足為C，在RtABC中，ABC=30°，AB=320km，則AC=160km，因為160200，所以A城要受臺風影響；（2）設BF上點D，DA=200千米，則還有一點G，有AG=200千米因

22、為DA=AG，所以ADG是等腰三角形，因為ACBF，所以AC是DG的垂直平分線，CD=GC，在RtADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD=120千米，則DG=2DC=240千米，遭受臺風影響的時間是：t=240÷40=6（小時）【點評】此題主要考查輔助線在題目中的應用，勾股定理，點到直線的距離及速度與時間的關系等，較為復雜12（2012秋臨清市期末）如圖所示，折疊長方形的一邊AD，使點D落在邊BC的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，則EC的長為3cm【考點】勾股定理；翻折變換（折疊問題）菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】能夠根據(jù)軸對稱的性質得到相關的線段之間的關

23、系再根據(jù)勾股定理進行計算【解答】解：D，F(xiàn)關于AE對稱，所以AED和AEF全等，AF=AD=BC=10，DE=EF，設EC=x，則DE=8xEF=8x，在RtABF中，BF=6，F(xiàn)C=BCBF=4在RtCEF中，由勾股定理得：CE2+FC2=EF2，即：x2+42=（8x）2，解得x=3EC的長為3cm【點評】特別注意軸對稱的性質以及熟練運用勾股定理13如圖，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，E、F分別是BC上兩點，若EAF=45°，試推斷BE、CF、EF之間的數(shù)量關系，并說明理由【考點】旋轉的性質；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】開放型【分析】將ABE繞點A順時針旋轉

24、90°得ACG，根據(jù)旋轉的性質得AG=AE，CG=BE，1=B，EAG=90°，F(xiàn)CG=ACB+1=ACB+B=90°，根據(jù)勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；再根據(jù)EAF=45°，易證得AGFAEF，則有FG=EF，即可得到BE、CF、EF之間的數(shù)量關系【解答】解：BE、CF、EF之間的數(shù)量關系為：EF2=BE2+FC2理由如下：BAC=90°，AB=AC，將ABE繞點A順時針旋轉90°得ACG，連FG，如圖，AG=AE，CG=BE，1=B，EAG=90°，F(xiàn)CG=ACB+1=ACB+B=90°，F(xiàn)

25、G2=FC2+CG2=BE2+FC2；又EAF=45°，而EAG=90°，GAF=90°45°=45°，而AG=AE，AF公共，AGFAEF，F(xiàn)G=EF，EF2=BE2+FC2【點評】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等也考查了勾股定理以及三角形全等的判定與性質14（2012大興區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD中，ABC=135°，BCD=120°，AB=，BC=5，CD=6，求AD【考點】勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】計算題【分析】作出輔助線，構建直

26、角三角形，使AD成為直角三角形的一條邊，根據(jù)勾股定理求解【解答】解：如圖，過A作AEBC交CD于E，過B作BFAE于F，作CGAE于G，則1=45°，2=60°，則RtABF為等腰直角三角形，BCGF為矩形，又因為AB=，BC=5，所以BF=AF=AB=，所以CG=BF=，所以CE=CG=2，EG=CG=1所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CDEC=62=4過D作DMAE延長線于MMED=180°AED=180°BCD=180°120°=60°所以EM=DE=2，DM=DE=2在RtAMD中，AD=【點評

27、】本題考查的是直角三角形中勾股定理的運用，作輔助線構建可以運用勾股定理的直角三角形是解題的關鍵15（2008天津）已知RtABC中，ACB=90°，CA=CB，有一個圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉，且直線CE，CF分別與直線AB交于點M，N（）當扇形CEF繞點C在ACB的內部旋轉時，如圖1，求證：MN2=AM2+BN2；（思路點撥：考慮MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉化為在直角三角形中解決可將ACM沿直線CE對折，得DCM，連DN，只需證DN=BN，MDN=90°就可以了請你完成證明過程）（）當扇形CEF繞點C旋轉至圖2的位置

28、時，關系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由【考點】圓心角、弧、弦的關系；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】證明題；壓軸題；探究型【分析】（）考慮MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉化為在直角三角形中解決可將ACM沿直線CE對折，得DCM，連DN，只需證DN=BN，MDN=90°就可以了；（）還將ACM沿直線CE對折，得GCM，連GN，GCMACM，然后由勾股定理即可證明【解答】（）證明：將ACM沿直線CE對折，得DCM，連DN，DCMACM（1分）CD=CA，DM=AM，DCM=ACM，CDM=A又CA=CB，CD=CB（2分），DCN=

29、ECFDCM=45°DCMBCN=ACBECFACM=90°45°ACM=45°ACMDCN=BCN （3分）又CN=CN，CDNCBN（4分）DN=BN，CDN=BMDN=CDM+CDN=A+B=90°（5分）在RtMDN中，由勾股定理MN2=DM2+DN2，即MN2=AM2+BN2（6分）（）解：關系式MN2=AM2+BN2仍然成立（7分）證明：將ACM沿直線CE對折，得GCM，連GN，GCMACM（8分）CG=CA，GM=AM，GCM=ACM，CGM=CAM，又CA=CB，得CG=CBGCN=GCM+ECF=GCM+45°BCN

30、=ACBACN=90°（ECFACM）=45°+ACM得GCN=BCN （8分）又CN=CN，CGNCBNGN=BN，CGN=B=45°，CGM=CAM=180°CAB=135°，MGN=CGMCGN=135°45°=90°，在RtMGN中，由勾股定理，MN2=GM2+GN2，即MN2=AM2+BN2（9分）【點評】此題的關鍵是輔助線，讓MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，轉化為在直角三角形中解決做幾何題加輔助線是關鍵，所以學生要盡可能多的從題中總結，加輔助線的規(guī)律16（2014秋岳池縣月考）結論：在直角三角

31、形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA=2，PB=，PC=1求BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長李明同學做了如圖2所示的輔助線：將BPC繞點B逆時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形，連接PP，從而問題得到解決你能說說其中的理由嗎？請你參考李明同學的思路，解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長【考點】旋轉的性質；等邊三角形的性質；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性質菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】根據(jù)旋轉得出AP=CP=1，B

32、P=BP=，PBC=PBA，APB=BPC，求出ABP+ABP=60°，得到等邊BPP，推出PP=，BPP=60°，求出APP=90°即可求出BPC；過點B作BMAP，交AP的延長線于點M，由MPB=30°，求出BM=，PM=，根據(jù)勾股定理即可求出答案；（2）求出BEP=（180°90°）=45°，根據(jù)勾股定理的逆定理求出APP=90°，推出BPC=AEB=90°+45°=135°；過點B作BFAE，交AE的延長線于點F，求出FE=BF=1，AF=2，關鍵勾股定理即可求出AB【解答】（1）解：ABC是等邊三角形，ABC=60°，將BPC繞點B順時針旋轉60°得出ABP，AP=CP=1，BP=BP=，PBC=PBA，APB=BPC，PBC+ABP=ABC=60°，ABP+ABP=ABC=60°，BPP是等邊三角形，PP=，BPP=60°，AP=1，AP=2，AP2+PP2=AP2，APP=90°，BPC=APB=90°+60°=150°，過點B作BMAP，交AP的延長線于點M，MPB=30°，BM=，由勾股定理得：PM=，AM=1+=，由勾股定理得：AB=，