54知識(shí)講解_空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系提高

1、三好高中生（ID： san hao-youke）,為高中生提供名師公開(kāi)課和精品資料。空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系編稿：孫永釗審稿：【考綱要求】（1）理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義；（2）了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；（3）能運(yùn)用公理、定理和已經(jīng)獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】空間點(diǎn)線面位置關(guān)系【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、平面的基本性質(zhì)1、平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用（1）公理1 :可用來(lái)證明點(diǎn)在平面內(nèi)或直線在平面內(nèi)；（2）公理2:可用來(lái)確定一個(gè)平面，為平面化作準(zhǔn)備或用來(lái)證明點(diǎn)線共面;（3）公理3:可用來(lái)確定兩個(gè)平面的交線，或證明三點(diǎn)共線，三線共點(diǎn)。2、平行公理主要用來(lái)證明空間中線線平

2、行。3、公理2的推論：（1）經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；（2）經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；（3）經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。4、點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)線共面（1）點(diǎn)共線問(wèn)題證明空間點(diǎn)共線問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上。（2）線共點(diǎn)問(wèn)題證明空間三線共點(diǎn)問(wèn)題，先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)這點(diǎn)， 把問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上。要點(diǎn)詮釋?zhuān)鹤C明點(diǎn)線共面的常用方法 納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)； 輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面a,再證明其余元素確定平面最后證明平面a、B

3、重合?？键c(diǎn)二、直線與直線的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系的分類(lèi)共面直線相交直線平行直線異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)（2）異面直線所成的角定義：設(shè)a,b是兩條異面直線， 經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn) 0作直線a / a,b / b,把a(bǔ)與b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）范圍：0,2要點(diǎn)詮釋?zhuān)鹤C明兩直線為異面直線的方法：1、定義法（不易操作）2、 反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā), 經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面。 此法在異面直線的判定中經(jīng) 常用到。3、客觀題中，也可用下述結(jié)論：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平

4、面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖：考點(diǎn)三、直線和平面、兩個(gè)平面的位置關(guān)系1直線和平面的位置關(guān)系三好高中生，學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題，你需要的這里都有!2、兩個(gè)平面的位置關(guān)系宀護(hù)¥方 位置大糸圖示表示法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩平面平行A1_/ r /0兩平面相交斜交Ia有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上垂直Ia有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上aj amunA|iaA77考點(diǎn)四、平行公理、等角定理（但垂直于同一條直線的兩直線的位置關(guān)系可平行于同一條直線的兩條直線互相平行。能平行，可能相交，也可能異面）空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）以空間幾何體為載體，考

5、查邏輯推理能力；（2）通過(guò)判斷位置關(guān)系，考查空間想象能力；（3）應(yīng)用公理、定理證明點(diǎn)共線、線共面等問(wèn)題；（4）多以選擇、填空的形式考查，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中?！镜湫屠}】類(lèi)型一、異面直線的判定例1已知空間四邊形 ABCD.（1）求證：對(duì)角線 AC與BD是異面直線；若AC丄BD,E,F,G,H分別這四條邊 AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，試判斷四邊形 EFGH勺形狀； 若AB= BC= CD= DA,作出異面直線 AC與BD的公垂線段.【證明】（1）（反證法）假設(shè) AC與 BD不是異面直線，則 AC與 BD共面，所以A、B C、D四點(diǎn)共面這與空間四邊形 ABCD勺定義矛盾所以對(duì)角線AC與BD是異面

6、直線1（2）解：T E,F 分別為 AB,BC的中點(diǎn)， EF/AC,且 EF=AC.21同理HG/AC,且HGAC. EF平行且相等 HG,. EFGH是平行四邊形2又 F,G分別為BC,CD的中點(diǎn)， FG/BD, / EFG是異面直線 AC與BD所成的角/ AC 丄 BD,：/ EFG=90. EFGH是 矩形作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF,則EF即為所求【點(diǎn)評(píng)】在空間四邊形中我們通常會(huì)遇到上述類(lèi)似的問(wèn)題，取中點(diǎn)往往是很有效的方法，別是遇到等腰三角形的時(shí)候。舉一反三：【變式】如圖所示，正方體ABCD-AB1C1D中，M N分別是 AB1、BG的中點(diǎn)。問(wèn)三好高中生（ID： san hao

7、-youke）,為高中生提供名師公開(kāi)課和精品資料。(1) AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；(2) DB和CG是否是異面直線？說(shuō)明理由。【解析】(1)不是異面直線。理由：連接MN AC、AC： M N分別是AB、B1C1的中1點(diǎn)， MN/ A1C1，又T AA/-CCi,a AACC為平行四邊形。二 AQ/AC，得到 MN/AC,： A 2M N、C在同一平面內(nèi)，故 AM和CN不是異面直線。(2) 是異面直線。證明如下：ABCD-A3iGD是正方體， B、C Ci、Di不共面。假設(shè) DB與CC不是異面直線，則存 在平面a,使 DB 平面a, CG 平面a,. D、B、C、G a,.與 ABC

8、D-ABi Ci D是正方 體矛盾。假設(shè)不成立，即D B與CC是異面直線【點(diǎn)評(píng)】(1 )易證MN/AC,： AM與CN不異面。(2)由圖易判斷 D B和CC是異面直線，證 明時(shí)常用反證法。類(lèi)型二、平面的基本性質(zhì)及平行公理的應(yīng)用例2.(20 1 5春 九江校級(jí)期末)如圖，在矩形 ABCD(AB<AD)中，將 ABE沿AE對(duì)折，使AB邊落在對(duì)角線 AC上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,同時(shí)將 CEG沿EG對(duì)折，使CE邊落在EF三好高中生，學(xué)習(xí)方法/提分干貨/精品課程/考試真題，你需要的這里都有!(1 )證明：AF/HG(2)如果點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在邊AD上，判斷四邊形 AECH的形狀，并說(shuō)明理由證明：

9、(1)由軸對(duì)稱性質(zhì)可得AFE B 90 , H BCD 90AFH H AF/HG(2)四邊形AECH是菱形，理由如下: 如圖連接CH.Q AD/BCAEB DAE Q AEBDAE AEHAH EH Q EC EH AH ECAH /EC四邊形AECH是平行四邊形.又由得到AC EH四邊形AECH是菱形.舉一反三:【變式】（2015春 南昌其中）如圖所示，P為平行四邊形 ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)，平面 PAD I平面PBC=I,判斷BC與I的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；判斷MN與平面PAD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論 .*丄證明：結(jié)論：BC/l理由如下：Q AD/BC

10、，BC 平面 PAD, AD 平面 PADBC/ 平面 PAD又BC 平面PBC，平面PAD I平面PBC= lBC/l(2)結(jié)論：MN平面PAD證明：取CD的中點(diǎn)Q,連接NQ，MQ則 NQ/PD,MQ/AD 又Q NQ I MQ Q , PD I AD平面MNQ平面PAD.又Q MN 平面MNQMN/ 平面 PAD類(lèi)型三、異面直線所成的角例3空間四邊形 ABCD中, AB=CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別是BC AD的中EG FG 貝U EG/AB, GF/CD，且由 AB=CD知 EG=FQa / GEF（或它的補(bǔ)角）為 EF與AB所成的角，/EGF （或它的補(bǔ)角）為

11、AE與CD所成的 角。VAB與 CD所成的角為300, /-ZEGF =30°或150°。由EG=FGDA EFG為等腰三角形， 當(dāng) ZEGF =300 時(shí)，/ GEF=75 ;當(dāng) ZEGF =150。時(shí)，/ GEF=l5。故 EF 與 AB 所成的角為150 或 75°?！窘馕觥恳驟F與AB所成的角，可經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)作兩條直線的平行線，考慮到E F為中點(diǎn)，故可過(guò) E或F作AB的平行線。取 AC的中點(diǎn)，平移 AB CD使已知角和所求的角在 一個(gè)三角形中求解?！军c(diǎn)評(píng)】（1）求異面直線所成的角， 關(guān)鍵是將其中一條直線平移到某個(gè)位置使其與另一 條直線相交，或?qū)蓷l直線同時(shí)

12、平移到某個(gè)位置，使其相交。平移直線的方法有：直接平移中位線平移補(bǔ)形平移；（2）求異面直線所成角的步驟： 作：通過(guò)作平行線，得到相交直線； 證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角； 求：通過(guò)解三角形，求出該角。類(lèi)型四、點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線共面問(wèn)題例4.如圖，已知：E、F、G H分別是正方體 ABCD- A BQD的棱AB BC CC、CD的HCBE是平行四邊形.證明：連結(jié) CB, HE FG由題意知HC平行與EB 四邊形 HE/ GB.又 C1G= GC= CF= BF,1故 GF/gGB, GF/ HE,且 GF HE HG與 EF 相交.設(shè)交點(diǎn)為K ,貝U K HGHQ平面DCCD K平面

13、 DCQD./ K EF, EF?平面 ABCD： K 平面 ABCD.平面 DGCDH 平面 ABCD- DC K DC FE、HG DC三線共點(diǎn)。舉一反三:【高清課堂：空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系例 2】【變式】如右圖，在四面體 ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延長(zhǎng)線交于 M, RQ、DB的延長(zhǎng)線交于 N , RP、DC的延長(zhǎng)線交于 K。求證：M、N、K三點(diǎn)共線。【證明】 因?yàn)?M PQ 平面PQR, M BC 平面BCD，又因?yàn)?M是平面PQR與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn)，即 M在平面PQR與平面BCD的交線I上。同理可證：N、K也在I上，所以M、N、K三點(diǎn)共線。例5.如圖，在正方體 ABCD- ABQD中，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AA中點(diǎn),求證：E、C D、F四點(diǎn)共面；CE、DF、DA三線共點(diǎn).【證明】(1)連結(jié)AB則EF/AiBA1B/D1C EF/D1C E、F、D、C 四點(diǎn)共面面DAQ面CA= DA EF/D1C 且 EF= 1 DC2 DiF與CE相交 又DF 面DA, CE 面AC D1F與CE的交點(diǎn)必在 DA上 CE DF、DA三線