高中數(shù)學(xué)第1章計(jì)數(shù)原理5.1二項(xiàng)式定理學(xué)案北師大版選修2-3-北師大版高二選修2-3數(shù)學(xué)學(xué)

1、5.1 二項(xiàng)式定理學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1. 能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理(難點(diǎn) ) 2會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題 ( 難點(diǎn) )通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)“邏輯推理”、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(ab)nc0nanc1nan1b crnanrbr cnnbn(nn) 叫作二項(xiàng)式定理二項(xiàng)展開(kāi)式公式右邊的式子叫作(ab)n的二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)各項(xiàng)的系數(shù)crn(r0,1,2 ，n) 叫作二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)式中 crnanrbr叫作二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)在二項(xiàng)式定理中，若a1，bx，則 (1x)n 1c1nxc2nx2 crnxrxn. 思考 1：二項(xiàng)式

2、定理中，項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)有什么區(qū)別？ 提示 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)完全是不同的兩個(gè)概念二項(xiàng)式系數(shù)是指c0n，c1n，cnn，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無(wú)關(guān)，而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)思考 2：二項(xiàng)式 (ab)n與(ba)n展開(kāi)式中第k1 項(xiàng)是否相同？ 提示 不同 (ab)n展開(kāi)式中第k1 項(xiàng)為 cknan kbk，而 (ba)n展開(kāi)式中第k1 項(xiàng)為cknbn kak. 1(x1)n的展開(kāi)式共有11 項(xiàng)，則n等于 ( ) a9 b10 c11 d 12b 由二項(xiàng)式定理的公式特征可知n10. 2(y2x)8展開(kāi)式中的第6 項(xiàng)的

3、二項(xiàng)式系數(shù)為( ) ac68 b c58( 2)5 c c58 d c68( 2)6c 由題意可知：tk1ck8y8k( 2x)kck8( 2)kxky8k，當(dāng)k5 時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)為c58. 3.x22x35展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為( ) a80 b 80 c 40 d 40c 由題意可知：tr1cr5 (x2)5r2x3r( 2)rcr5x10 5r，令 105r0，得r2，即展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為( 2)2c2540. 4(x2y)7的展開(kāi)式中的第4 項(xiàng)為 ( ) a 280 x4y3b280 x4y3c 35x4y3d35x4y3a(x 2y)7的展開(kāi)式中的第4 項(xiàng)為t4c37x4( 2y)3(

4、2)3c37x4y3 280 x4y3. 二項(xiàng)式定理的正用和逆用【例 1】(1) 求3x1x4的展開(kāi)式；(2) 化簡(jiǎn) (x1)55(x1)410(x1)310(x1)2 5(x1) 解(1) 法一：3x1x4c04(3x)4c14(3x)31xc24(3x)21x2 c34(3x) 1x3c441x481x2108x5412x1x2. 法二：3x1x43x14x21x2(81x4108x3 54x212x1) 81x2108x5412x1x2. (2) 原式 c05(x1)5c15(x1)4c25(x1)3 c35(x1)2c45(x 1) c55(x1)0 1(x1) 151x51. 二項(xiàng)式

5、定理的雙向功能1 正用：將二項(xiàng)式abn展開(kāi)，得到一個(gè)多項(xiàng)式，即二項(xiàng)式定理從左到右使用是展開(kāi). 對(duì)較復(fù)雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開(kāi). 2 逆用：將展開(kāi)式合并成二項(xiàng)式abn的形式，即二項(xiàng)式定理從右到左使用是合并，對(duì)于化簡(jiǎn)、求和、證明等問(wèn)題的求解，要熟悉公式的特點(diǎn)、項(xiàng)數(shù)、各項(xiàng)冪指數(shù)的規(guī)律以及各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律 . 112c1n4c2n8c3n16c4n ( 2)ncnn的值為 ( ) a1 b 1 c( 1)nd3nc1 2c1n4c2n8c3n16c4n ( 2)ncnn1 ( 2)n(1 2)n ( 1)n. 2求x21x2 23的展開(kāi)式 解x21x223x1x61x6(x21)61x6c06

6、(x2)6c16(x2)5c26(x2)4c36(x2)3c46(x2)2c56x2c66 1x6(x126x1015x820 x615x46x21) x66x415x22015x26x41x6. 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)【例 2】已知二項(xiàng)式3x23x10. (1) 求展開(kāi)式第4 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；(2) 求展開(kāi)式第4 項(xiàng)的系數(shù)；(3) 求第 4 項(xiàng) 解3x23x10的展開(kāi)式的通項(xiàng)是tk1ck10(3x)10k23xk ck10310k23k x103k2 (k 0,1,2 ， 10) (1) 展開(kāi)式的第4 項(xiàng)(k3) 的二項(xiàng)式系數(shù)為c310120. (2) 展開(kāi)式的第4 項(xiàng)的系數(shù)為c3103723

7、3 77 760. (3) 展開(kāi)式的第4 項(xiàng)為t4t31 77 760 x. 區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與某一項(xiàng)系數(shù)1 二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)cknk0， 1，2，n ，它與二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)式展開(kāi)式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念. 2 第k1 項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào)，而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為ckn. 例如，在12x7的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)是t4 c371732x3，其二項(xiàng)式系數(shù)是c3735，而第四項(xiàng)的系數(shù)是c3723280. 3已知x2xn展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162. (1) 求n的值；(2) 求展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)，并指出該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 解(1

8、) 因?yàn)閠3c2n(x)n22x24c2nxn62，t2c1n(x)n12x 2c1nxn 32 ，依題意得4c2n 2c1n162，所以 2c2nc1n81，所以n2 81，nn，故n9. (2) 設(shè)第k1 項(xiàng)含x3項(xiàng)，則tk1ck9(x)9k2xk( 2)kck9x9 3k2，所以93k23，k1，所以第二項(xiàng)為含x3的項(xiàng)為t2 2c19x3 18x3. 二項(xiàng)式系數(shù)為c199. 求展開(kāi)式中的特定項(xiàng) 探究問(wèn)題 1如何求x1x4展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng) 提示 利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)cr4x4 r1xrcr4x42r求解， 令 42r0， 則r2， 所以x1x4展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為c244326. 2(ab)

9、(cd) 展開(kāi)式中的每一項(xiàng)是如何得到的？ 提示 (ab)(cd) 展開(kāi)式中的各項(xiàng)都是由ab中的每一項(xiàng)分別乘以cd中的每一項(xiàng)而得到3如何求x1x(2x1)3展開(kāi)式中含x的項(xiàng)？ 提示 x1x(2x1)3展開(kāi)式中含x的項(xiàng)是由x1x中的x與1x分別與 (2x1)3展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng) c33 1 及x2項(xiàng) c1322x212x2分別相乘再把積相加得xc331xc13(2x)2x12x13x. 即x1x(2x1)3展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為 13x. 【例 3】已知在 (3x33x)n的展開(kāi)式中，第6 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)(1) 求n；(2) 求含x2項(xiàng)的系數(shù)；(3) 求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng). 思路探究：寫(xiě)出通項(xiàng)tr1 令r5

10、，x的指數(shù)為零1 求出n值 修正通項(xiàng)公式2 求x2項(xiàng)的系數(shù) 考察x指數(shù)為整數(shù) 分析求出k值3 寫(xiě)出有理項(xiàng) 解通項(xiàng)公式為tr1crnxnr3( 3)rxr3crn( 3)rxn2r3. (1) 第 6 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，r5 時(shí)，有n2r30，即n10. (2) 令102r3 2，得r12(10 6)2，所求的系數(shù)為c210( 3)2405. (3) 由題意得，102r3z，0r10，rz.令102r3k(kz) ，則 102r3k，即r532k. rz，k應(yīng)為偶數(shù)，k2,0 ， 2，即r2,5,8 ，所以第 3 項(xiàng)，第 6 項(xiàng)與第 9 項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為c210( 3)2x2，c510( 3)5

11、，c810( 3)8x2. 即 405x2， 61 236,295 245x2. 求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常用方法1 對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0 即 0 次項(xiàng) ；2 對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫(xiě)出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng). 解這類問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解；3 對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致. 4(1) 在 (1x3)(1 x)10的展開(kāi)式中，x5的系數(shù)是 _(2) 若xax26展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為 _( 1) 207( 2) 4(1)x

12、5應(yīng)是 (1 x)10中含x5項(xiàng)、含x2項(xiàng)分別與1，x3相乘的結(jié)果，其系數(shù)為c510c210( 1) 207. (2)xax26的展開(kāi)式的通項(xiàng)是tk1ck6x6k( a)kx2kck6x63k( a)k，令 63k0，得k 2，即當(dāng)k 2 時(shí)，tk1為常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)是c26a，根據(jù)已知得c26a60，解得a4. 1注意區(qū)分項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念2要牢記cknan kbk是展開(kāi)式的第k1 項(xiàng)，不要誤認(rèn)為是第k項(xiàng)3求解特定項(xiàng)時(shí)必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為特定值. 1. 化簡(jiǎn) (x1)44(x1)36(x1)24(x1)1 得 ( ) ax4 b(x1)4c (x1)4dx5a 原式 (x11)4x4. 2已知x1x7的展開(kāi)式的第4 項(xiàng)等于 5，則x等于 ( ) a17 b 17 c 7 d 7bt4c37x41x35，x17. 3.x21xn的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為15，則n的值為 ( ) a3 b 4 c 5 d 6d 展開(kāi)式的通項(xiàng)為tk1 ckn(x2)nk( 1)k1xk( 1)kcknx2n 3k. 令 2n3k0， 得n32k(n，kn)，若k2，則n3 不符合題意，若k4，則n6，此時(shí) ( 1)4c4615，所以n6. 4在ax6bx4的二項(xiàng)展開(kāi)式中，如果x