人教A版2020屆高考數(shù)學一輪復習講義：圓錐曲線的性質(zhì)與結論

1、圓錐曲線的性質(zhì)與結論知識講解一、直線與圓錐曲線的位置關系1.直線與橢圓的位置關系位置關系：相交、相切、相離判定條件：設直線：，橢圓方程：，由消去（或消去）得：，相交，直線與橢圓有兩個交點；相離，直線與橢圓無交點；相切，直線與橢圓有一個交點2.直線與雙曲線的位置關系位置關系：相交、相切、相離；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切；判定條件：設直線：，雙曲線：，由消去（或消去）得：若，相交，直線與雙曲線有兩個交點；相離，直線與雙曲線無交點；相切直線與雙曲線有一個交點若，得到一個一次方程，與雙曲線相交，有一個交點，與雙曲線的漸近線平行 3.直線與拋物線的位置關系位置關系

2、：相交、相切、相離對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；判定條件：設直線：，拋物線：，由消去（或消去）得：若，相交；相離；相切若，得到一個一次方程，與拋物線相交，有一個交點，與拋物線的對稱軸平行 4.圓錐曲線的弦：連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦求弦長方法：1）將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求；2）如果直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點坐標分別為，則弦長公式為兩根差公式：如果滿足一元二次方程：，則（）注意：（1）討論直線與圓錐曲線的位置關系一般是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立成方程組，消元（或），若消去得到，

3、討論根的個數(shù)得到相應的位置關系，這里要注意的是：二次項系數(shù)可能有或兩種情況，只有當，才能用判斷根的個數(shù)；直線與圓錐曲線相切時只有一個公共點，但有一個公共點不一定相切（2）在討論直線與雙曲線的交點時，要注意數(shù)形結合的方法，結合圖象作出判斷有時更方便快捷，要注意雙曲線的漸近線的斜率，以及直線與漸近線的斜率比較（3）當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理”設而不求計算弦長；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化 同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍二、圓錐曲線的常用結論1.橢圓1）點處的切線

4、平分在點處的外角. 2）平分在點處的外角，則焦點在直線上的射影點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3）以焦點半徑為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.4）若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.5）若在橢圓外 ，則過作橢圓的兩條切線切點為、，則切點弦的直線方程是.6）橢圓 的左右焦點分別為，點為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.7）橢圓的焦半徑公式：,( ，).8）是橢圓的不平行于對稱軸的弦，為的中點，則，即。9）若在橢圓內(nèi)，則被所平分的中點弦的方程是.10）若在橢圓內(nèi)，則過的弦中點的軌跡方程是.2.雙曲線1）點處的切線平分2在點處的內(nèi)角.2）平分在點處的內(nèi)角，則焦點在直線上的射

5、影點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3）以焦點半徑為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：在右支；外切：在左支）4）若在雙曲線上，則過的雙曲線的切線方程是.5）若在雙曲線外 ，則過作雙曲線的兩條切線切點為、，則切點弦的直線方程是.6）雙曲線的左右焦點分別為，點p為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.7）雙曲線的焦半徑公式：( , )當在右支上時，,.當在左支上時，,8）是雙曲線的不平行于對稱軸的弦，為的中點，則，即。9）若在雙曲線內(nèi)，則被所平分的中點弦的方程是.10）若在雙曲線內(nèi)，則過的弦中點的軌跡方程是.3.拋物線1）基本性質(zhì)標準方程：焦點：通徑：準線：；焦半徑：

6、，過焦點弦長：，2）拋物線切線性質(zhì)性質(zhì)1：過拋物線一弦的中點平行于對稱軸的直線與拋物線交于點，若過的切線為，則 性質(zhì)2：過拋物線上一點的切線交其對稱軸于點，則性質(zhì)3：過拋物線焦點弦的兩端點作拋物線的切線，兩切線交點在準線上 性質(zhì)4：過拋物線的準線上任一點所作的兩條切線必須相互垂直性質(zhì)5：過拋物線準線上任一點作拋物線的切線，則過兩切點的弦必過焦點 性質(zhì)6：切線交點與弦中點連線平行于對稱軸 性質(zhì)7：過拋物線準線上的一點引拋物線的兩條切線，則準線上這點與焦點連線與準線的夾角被切線平分性質(zhì)8：過準線上任一點作拋物線的切線，過兩切點的弦最短時，即為通徑 性質(zhì)9：從拋物線的焦點向它的任意切線作垂線，則其垂

7、足必在拋物線頂點的切線上 性質(zhì)10：過拋物線的焦點作直線與拋物線的任意切線垂直，則此直線與準線的交點和切線的連線必平行于此拋物線的對稱軸 性質(zhì)11：拋物線的三切線圍成的三角形的垂心必在準線上 3）拋物線焦點弦性質(zhì)已知：過焦點，為的中點，性質(zhì)1：以為直徑的圓與準線相切于性質(zhì)2： 性質(zhì)3：性質(zhì)4：垂直平分，垂直平分平分，平分性質(zhì)5： 性質(zhì)6：性質(zhì)7： 性質(zhì)8：以為直徑的圓分別與軸相切性質(zhì)9：過原點，過原點性質(zhì)10：過點作并延長交準線于，則平行于軸性質(zhì)11： 性質(zhì)12：經(jīng)典例題一選擇題（共16小題）1已知f1，f2是橢圓c的兩個焦點，p是c上的一點，若pf1pf2，且pf2f1=60°，則

8、c的離心率為（）a132b23c3-12d31【解答】解：f1，f2是橢圓c的兩個焦點，p是c上的一點，若pf1pf2，且pf2f1=60°，可得橢圓的焦點坐標f2（c，0），所以p（12c，32c）可得：c24a2+3c24b2=1，可得14e2+34(1e2-1)=1，可得e48e2+4=0，e（0，1），解得e=3-1故選：d2設橢圓c：x24+y2=1的左焦點為f，直線l：y=kx（k0）與橢圓c交于a，b兩點，則|af|+|bf|的值是（）a2b23c4d43【解答】解：如圖，設f2是橢圓的右焦點，o點為ab的中點，丨of丨=丨of2丨，則四邊形afbf2是平行四邊形，af

9、=bf2|af|+|bf|=丨bf丨+丨bf2丨=2a=4，故選：c3已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點f1，過點f1作傾斜角為30°的直線與圓x2+y2=b2相交的弦長為3b，則橢圓的離心率為（）a12b22c34d32【解答】解：橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點f1（c，0），過點f1作傾斜角為30°的直線y=33(x+c)與圓x2+y2=b2相交的弦長為3b，可得：(|33c|1+(33)2)2=b2-(3b2)2，可得：b=c，則a=2c，則橢圓的離心率為：22故選：b4已知f1，f2是橢圓e：x2a2+y2b2=1（ab0）的左右焦點，若

10、e上存在不同兩點a，b，使得f1a=3f2b，則該橢圓的離心率的取值范圍為（）a（31，1）b（0，3-1）c（23，1）d（0，23）【解答】解：延長af1交橢圓于a1，根據(jù)橢圓的對稱性，則f2b=a1f1，f1a=3a1f1，設直線aa1的方程x=myc，a（x1，y1），a1（x2，y2），聯(lián)立&x=my-c&x2a2+y2b2=1，整理得：（b2m2+a2）y22b2mcyb4=0，則y1+y2=2b2mcb2m2+a2，y1y2=b4b2m2+a2，由f1a=3a1f1，則y1=3y2，解得：y2=2b2mc(1-3)(b2m2+a2)，y1=-23b2mc(1-3)

11、(b2m2+a2)，由y1y2=-23b2mc(1-3)(b2m2+a2)2b2mc(1-3)(b2m2+a2)=b4b2m2+a2，整理得：m2=(2-3)a223c2-(2-3)b20，則23c2（23）b20，即c2a22-32+3=（23）2，橢圓的離心率e=ca23，橢圓的離心率的取值范圍（23，1），故選：c5如圖，f為橢圓x2a2+x2b2=1（ab0）的右焦點，過f作x軸的垂線交橢圓于點p，點a，b分別為橢圓的右頂點和上頂點，o為坐標原點，若oab的面積是opf面積的52倍，則該橢圓的離心率是（）a25或35b15或45c105或155d55或255【解答】解：設p（c，y0）

12、，則c2a2+y02b2=1，可得p（c，b2a）soab=12ab，sopf=12cb2a，oab的面積是opf面積的52倍，ab=52b2ca，2a2=5bc，cb=2，或12bc+cb=52，cb=2，或12e=c2a2=c2c2+b2=55或255故選：d6過雙曲線m：x2y23=1的左焦點f作圓c：x2+（y3）2=12的切線此切線與m的左支、右支分別交于a，b兩點，則線段ab的中點到x軸的距離為（）a2b3c4d5【解答】解：過雙曲線m：x2y23=1的左焦點f（2，0），圓c：x2+（y3）2=12的圓心（0，3），半徑為：22，雙曲線m：x2y23=1的左焦點f作圓c：x2+（

13、y3）2=12的切線設切線方程為：y=k（x+2），可得|2k-3|1+k2=22，解得k=1或k=1773（舍去），所以切線方程為：y=x+2代入雙曲線方程，化簡可得：2x24x7=0，可得中點的橫坐標為：x0=1，縱坐標y0=3則線段ab的中點到x軸的距離為：3故選：b7已知雙曲線x2a2y2b2=1（a0，b0）的一條漸近線截橢圓x24+y2=1所得弦長為433，則此雙曲線的離心率等于（）a2b3c62d6【解答】解：雙曲線x2a2y2b2=1（a0，b0）的一條漸近線不妨為：bxay=0，則：&bx-ay=0&x24+y2=1，消去y可得：x=±2aa2+4b

14、2，y=±2ba2+4b2一條漸近線截橢圓x24+y2=1所得弦長為433，可得：4a2+4b2a2+4b2=43，可得2a2=b2=c2a2，解得e=ca=3故選：b8已知雙曲線x2a2-y2b2=1（ab0）的左右焦點分別為f1（c，0），f2（c，0），過雙曲線上一點p（c，y0）作y軸的垂線，垂足為m，若pf1mf2，則該雙曲線的離心率為（）a2b2+3c2+62d2+32【解答】解：不妨設p在第一象限，則p（c，b2a），故m（0，b2a），kpf1=b2a2c=b22ac，kmf2=b2a-c=b2ac，pf1mf2，b22ac（b2ac）=1，即b2=2ac，b2a2=

15、2e，即e22e1=0，解得e=2+62或e=2-62（舍）故選：c9已知雙曲線c：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦點分別為f1、f2，過f2作平行于c的漸近線的直線交c于點p，若pf1pf2，則c的漸近線方程為（）ay=±xby=±2xcy=±2xdy=±5x【解答】解：如圖，設p（x，y），根據(jù)題意可得f1（c，0）、f2（c，0），雙曲線的漸近線為：y=bax，直線pf2的方程為：y=ba（xc），直線pf1的方程為：y=ba（x+c），又點p（x，y）在雙曲線上，x2a2y2b2=1，聯(lián)立，可得x=a2+c22c，聯(lián)立，可得x=b2

16、-a2a2+b2c=b2-a2c，a2+c22c=b2-a2c，a2+a2+b2=2b22a2，b2=4a2，b=2a，c的漸近線方程為y=±2x，故選：c10已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦點分別為f1，f2，點p在雙曲線的右支上，且|pf1|=4|pf2|，則雙曲線離心率的取值范圍是（）a(53，2b(1，53c（1，2d53，+)【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線x2a2-y2b2=1(a0，b0)中，點p在雙曲線的右支上，則|pf1|pf2|=2a，又由|pf1|=4|pf2|，則|pf2|=2a3，則有2a3c-a，變形可得：23e1，即可得：e53，則雙

17、曲線的離心率取值范圍為(1，53故選：b11已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦點分別為f1、f2，過點f1作圓c：x2+y2=a2的切線l，點m在直線l上，且|mf1|mf2|=2a，且f1mf2=45°，則雙曲線的漸近線方程為（）ay=±xby=±2xcy=±3xdy=±2x【解答】解：|mf1|mf2|=2a，m在雙曲線的右支上，設直線l與圓c：x2+y2=a2的切點為a，則oa=a，oaf1m，f1a=of12-oa2=c2-a2=b，直線l的斜率為tanaf1o=ab，直線mf1的方程為y=abx+acb，設l與y

18、軸交于b點，則b（0，acb），ym=2acb，把ym=2acb代入y=abx+acb可得xm=c，m（c，2acb），又f2（c，0），mf2x軸，f1mf2=45°，a1fo=45°，tanaf1o=ab=1，即a=b雙曲線的漸近線方程為：y=±x故選：a12點p是雙曲線x2a2-y2b2=1右支上一點，f1、f2分別為左、右焦點pf1f2的內(nèi)切圓與x軸相切于點n若點n為線段of2中點，則雙曲線離心率為（）a2+1b2c2d3【解答】解：pf1f2的內(nèi)切圓與x軸相切于點n，設切點分別為n，a，b，并設pa=pb=x，bf1=nf1=y，af2=nf2=z，根據(jù)

19、雙曲線的定義|pf1|pf2|=2a，（x+y）（x+z）=2a，y+z=2c，解得z=ca，點n為線段of2中點，z=12c，12c=ca，c=2a，e=2故選：b13等腰直角三角形abc中，a=90°，a，b在雙曲線d的右支上，且線段ab經(jīng)過雙曲線的右焦點f，c為雙曲線d的左焦點，則|af|fb|=（）a2-22b21c3-33d31【解答】解：設|af|=m，則|ac|=m+2a，|ac|=|ab|，|bf|=m+a，|bc|=m+3a，abc是等腰直角三角形，|bc|=2|ac|，即m+3a=2（m+2a），m=（21）a，|af|=（21）a，|bf|=2a，|af|bf|

20、=2-12=2-22故選：a14已知點a是拋物線c：x2=2py（p0）的對稱軸與準線的交點，過點a作拋物線c的兩條切線，切點分別為p，q，若apq的面積為4，則p的值為（）a12b1c32d2【解答】解：設過點a與拋物線相切得直線方程為y=kxp2）由&y=kx-p2&x2=2py得x22pkx+p2，=4k2p24p2=0，可得k=±1，則q（p，p2），p（p，p2），apq的面積為s=12×2p×p=4，p=2故選：d15若拋物線c：y2=2px（p0）的焦點在直線x+2y2=0上，則p等于（）a4b0c4d6【解答】解：根據(jù)題意，拋物線c

21、的方程為y2=2px（p0），其拋物線的焦點在x軸的正半軸上，其焦點坐標為（p2，0），又由拋物線的焦點在直線x+2y2=0上，則有p22=0，解可得p=4，故選：a16已知拋物線y2=4x，過焦點f的弦ab（點a在一象限），p（0，6），o為坐標原點，則四邊形opab面積的最小值為（）a74b94c3d4【解答】解：設a（x1，y1），b（x2，y2）且x1，y10，易知f（1，0），設直線ab：x=my+1由&x=my+1&y2=4xy2-4my-4=0，所以y1y2=-4y2=-4y1，sopab=sopa+sofa+sofb=3y124+12y1+2y1(y10)，設f

22、（x）=34x2+12x+2x，x0，f（x）=32x+122x2=(x-1)(3x2+4x+4)2x2，易知f（x）在（0，1）減，（1，+）增，所以當y1=1時，(sopab)min=94，故選：b二填空題（共2小題）17已知f1，f2是雙曲線c：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左右焦點，a，b是雙曲線的左右頂點，m是以f1，f2為直徑的圓與雙曲線的漸近線的一個交點，若amb=45°，則該雙曲線的離心率是5【解答】解：雙曲線c：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的一條漸近線方程玩：bxay=0，以f1，f2為直徑的圓：x2+y2=c2，可得&bx-ay=0&

23、;x2+y2=c2，不妨設m（a，b），可知mbx軸amb=45°，所以mab=45°，kma=b-0a-(-a)=1，可得b=2a，可得c2a2=4a2，解得e=5故答案為：518設雙曲線y2a2-x2b2=1(a0，b0)的虛軸長為2，焦距為23，則雙曲線的漸近線方程為y=±2x【解答】解：雙曲線y2a2-x2b2=1(a0，b0)的虛軸長為2，a=1，c=3，則b=2，雙曲線的漸近線方程為：y=±2x故答案為：y=±2x三解答題（共5小題）19已知點m，n分別是橢圓c：x2a2+y2b2=1(ab0)的左右頂點，f為其右焦點，|mf|與|

24、fn|的等比中項是3，橢圓的離心率為12（1）求橢圓c的方程；（2）設不過原點o的直線l與該軌跡交于a，b兩點，若直線oa，ab，ob的斜率依次成等比數(shù)列，求oab面積的取值范圍【解答】解：（1）解：|mf|=a+c，|bn|=ac，3是|mf|與|fn|的等比中項（a+c）（ac）=3，b2=a2c2=3又e=ca=12，解得a=2，c=1，橢圓c的方程為x24+y23=1（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0故可設直線l：y=kx+m（m0），a（x1，y1），b（x2，y2），聯(lián)立直線和橢圓&3x2+4y2-12=0&y=kx+m，消去y可得，（3+4k2）x2+8k

25、mx+4m212=0，由題意可知，=64km4（4k2+3）（4m212）=48（4k2m2+3）0，即4k2+3m2，且x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，又直線oa，ab，ob的斜率依次成等比數(shù)列，所以y1x1y2x2=k2，將y1，y2代入并整理得m2（4k23）=0，因為m0，k=±32，0m26，且m23，設d為點o到直線l的距離，則有d=2|m|7，|ab|=1+k2|x1-x2|=7318-3m2，所以soab=12|ab|d=133m2(6-m2)3，所以三角形面積的取值范圍為(0，3)20已知橢圓c：x2a2+y2b2=1(ab0)過拋

26、物線m：x2=4y的焦點f，f1，f2分別是橢圓c的左、右焦點，且f1ff1f2=6（1）求橢圓c的標準方程；（2）若直線l與拋物線m相切，且與橢圓c交于a，b兩點，求oab面積的最大值【解答】（本題滿分12分）解：（1）f（0，1），b=1，又f1ff1f2=6，2c2=6，c=3又a2b2=c2，a=2，橢圓c的標準方程為x24+y2=1（2）設直線l與拋物線相切于點p（x0，y0），則l：y-x024=x02(x-x0)，即y=x02x-x024，聯(lián)立直線與橢圓&y=x02x-x024&x24+y2=1，消去y，整理得(1+x02)x2-x03x+14x04-4=0由=1

27、6(x02+1)-x040，得0x028+45設a（x1，y1），b（x2，y2），則：x1+x2=x031+x02，x1x2=x04-164(1+x02)則|ab|=1+x024|x1-x2|=1+x024(x1+x2)2-4x1x2=4+x02216(x02+1)-x041+x02原點o到直線l的距離d=x022x02+4故oab面積s=12d|ab|=18x0216(x02+1)-x041+x02=1816(x02+1)-x04x041+x021+x021+x02=1，當且僅當16(1+x02)-x04=x04，即x02=4+26取等號，故oab面積的最大值為121在平面直角坐標系xoy

28、中，已知橢圓c：x2a2+y2b2=1（ab0）的離心率為22，橢圓c截直線y=1所得線段的長度為22（）求橢圓c的方程；（）動直線l：y=kx+m（m0）交橢圓c于a，b兩點，交y軸于點m點n是m關于o的對稱點，n的半徑為|no|設d為ab的中點，de，df與n分別相切于點e，f，求edf的最小值【解答】解：（）橢圓c的離心率為22，a2-b2a2=12，a2=2b2，橢圓c截直線y=1所得線段的長度為22，橢圓c過點（2，1），2a2+1b2=1，b2=2，a2=4，橢圓c的方程為x24+y22=1（）設a，b的橫坐標為x1，x2，則a（x1，kx1+m），b（x2，kx2+m），d（x1

29、+x22，k2(x1+x2)+m），聯(lián)立&x24+y22=1&y=kx+m可得（1+2k2）x2+4kmx+2m24=0，x1+x2=4km1+2k2，d（2km1+2k2，m1+2k2），m（0，m），則n（0，m），n的半徑為|m|，|dn|=(m1+2k2+m)2+(-2km1+2k2)2=|2m|1+2k2k4+3k2+1，設edf=，sin2=endn=ondn=m2m1+2k2k4+3k2+1=1+2k22k4+3k2+1，令y=1+2k22k4+3k2+1，則y=12k(4k2+1)k4+3k2+1(k4+3k2+1)，當k=0時，sin2取得最小值，最小值為12

30、edf的最小值是60°22已知拋物線c1：x2=2py（p0）過點a（2，1），且它的焦點f也是橢圓c2：y2a2+x2b2=1（ab0）的一個焦點，橢圓上的點到焦點f的最小值為2（）求拋物線c1和橢圓c2的標準方程；（）設m，n是拋物線c1上的兩個動點，且omon=4求證：直線mn必過定點，并求定點q坐標；直線mn交橢圓c2于r、s兩點，當sfns最大時，求直線mn的方程【解答】解：（i）把a（2，1）代入拋物線c1可得：4=2p，p=2拋物線c1的方程為x2=4y故f（0，1），又f（0，1）是橢圓c2：y2a2+x2b2=1的焦點，且橢圓上的點到焦點f的最小值為2，&a2-b2=c2&a-c=2&c=1，解得a=3，b=22，橢圓c2的標準方程為：y29+x28=1（ii）直線mn與拋物線交于m，n兩點，直線mn斜率必存在設直線mn的方程為y=kx+b，m（x1，y1），n（x2，y2），聯(lián)立方程組&y=kx+b&x2=4y，消去y可得：x24kx4b=0，x1x2=4b，y1y2=x124x224=b2，omon=x1x2+y1y2=b24b=4，即b=2直線mn的方