人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：積分_20210103224739

1、積分知識講解一、函數(shù)定積分1.定義：設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上用分點，把區(qū)間分為個小區(qū)間，其長度依次為記為這些小區(qū)間長度的最大值，當(dāng)趨近于時，所有的小區(qū)間長度都趨近于在每個小區(qū)間內(nèi)任取一點，作和式當(dāng)時，如果和式的極限存在，我們把和式的極限叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即其中叫做被積函數(shù)，叫積分下限，叫積分上限叫做被積式此時稱函數(shù)在區(qū)間上可積2.曲邊梯形：曲線與平行于軸的直線和軸所圍成的圖形，通常稱為曲邊梯形根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形的面積等于其曲邊所對應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上的定積分，即求曲邊梯形面積的四個步驟：第一步：分割在區(qū)間中插入各分點，將它們等分成個小區(qū)間，區(qū)間的長度，第二步：近似代替，“以直代曲”

2、，用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值第三步：求和第四步：取極限4.求積分與求導(dǎo)數(shù)互為逆運算，即從到的積分等于在兩端點的取值之差5.微積分基本定理內(nèi)容：如果，且在上可積，則，其中叫做的一個原函數(shù)由于，也是的原函數(shù)，其中為常數(shù)一般地，原函數(shù)在上的改變量簡記作，因此，微積分基本定理可以寫成形式：6.定積分的性質(zhì)1）2）3）4）5）若為奇函數(shù)，則6）若為偶函數(shù)，則經(jīng)典例題一選擇題（共12小題）1若a=ln2，b=5-12，c=140sinxdx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）abcabacbcbacdabc【解答】解：由題意可得：c=140sinxdx=14×

3、-cosx|0=12，而 a=ln212=lne，b=5-12=1512，據(jù)此可得：acb故選：b2計算12（x+1x）dx的值為（）a34b32+ln2c52+ln2d3+ln2【解答】解：12（x+1x）dx=(12x2+lnx)|12=2+ln212=ln2+32；故選：b301|x-1|dx=（）a1b2c3d12【解答】解：01|x-1|dx=01（1x）dx=（x12x2）|01=112=12，故選：d4由曲線xy=1與直線y=x，y=3所圍成的封閉圖形面積為（）a2ln3bln3c2d4ln3【解答】解：方法一：由xy=1，y=3可得交點坐標(biāo)為（13，3），由xy=1，y=x可得

4、交點坐標(biāo)為（1，1），由y=x，y=3可得交點坐標(biāo)為（3，3），由曲線xy=1，直線y=x，y=3所圍成的平面圖形的面積為131（31x）dx+13（3x）dx=（3xlnx）|131+（3x12x2）|13，=（31ln3）+（9923+12）=4ln3故選：d方法二：由xy=1，y=3可得交點坐標(biāo)為（13，3），由xy=1，y=x可得交點坐標(biāo)為（1，1），由y=x，y=3可得交點坐標(biāo)為（3，3），對y積分，則s=13（y1y）dy=（12y2lny）|13=92ln3（120）=4ln3，故選：d5直線y=4x與曲線y=x2在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為（）a64b32c16d323【

5、解答】解：令4x=x2，解得x=0或x=4，s=04（4xx2）dx=（2x213x3）|04=32643=323故選：d6設(shè)函數(shù)f（x）=&x2，0x1&1，1x2則定積分02f（x）dx等于（）a83b2c43d13【解答】解：02f（x）dx=01x2dx+12dx=13x3|01+x|12=13+21=43，故選：c7圖中，陰影部分是由直線y=x4和拋物線y2=2x所圍成，則其面積是（）a16b18c20d22【解答】解：由&y=x-4&y2=2x，解得y=2或y=4，故其面積s=-24（y+412y2）dy=（12y2+4y16y3）|-24=18，故

6、選：b802（x2+1）dx=（）a143b6c8d10【解答】解：02（x2+1）dx=（13x3+x）|02=83+2=143，故選：a902（4-x2+x）dx的值為（）a2+2b2+c4+2d4+4【解答】解：024-x2dx表示以原點為圓心，以2為半徑的圓的面積的四分之一，故024-x2dx=14××22=，02xdx=12x2|02=2，故02（4-x2+x）dx=2+，故選：b10定積分01(sinx+2x)dx=（）a1+cos1bcos1c1cos1d2cos1【解答】解：01(sinx+2x)dx=（cosx+x2）|01=（cos1+1）（cos0+0

7、）=2cos1，故選：d11已知某物體作變速直線運動，其速度v單位：m/s）關(guān)于時間t（單位：s）的關(guān)系是v=4t+1，則在第2s至第3s間經(jīng)過的位移是（）a10mb11mc12md13m【解答】解：某物體作變速直線運動，其速度v單位：m/s）關(guān)于時間t（單位：s）的關(guān)系是v=4t+1，則在第2s至第3s間經(jīng)過的位移是23（4t+1）dt=（2t2+t）|23=（18+3）（8+2）=11，故選：b12024-x2dx等于（）a2bc2d4【解答】解：由定積分的幾何意義知：024-x2dx是如圖所示的陰影部分的面積，即表示以原點為圓心以2為半徑的圓的面積的四分之一，故024-x2dx=14&#

8、215;22=，故選：b二填空題（共4小題）13-11（1-x2+sin2x）dx=2【解答】解：-11（1-x2+sin2x）dx=-111-x2dx+-11sin2xdx由定積分的幾何意義可知，-111-x2dx是以原點為圓心，以1為半徑的上半圓的面積，等于2；-11sin2xdx=-12cos2x|-11=-12cos2+12cos(-2)=0-11（1-x2+sin2x）dx=2故答案為：214由曲線y=x2和直線y=1所圍成的封閉圖形面積為43【解答】解：聯(lián)立方程組&y=x2&y=1，解得&x=1&y=1或&x=-1&y=1，曲線y=x

9、2與直線y=x圍成的封閉圖形的面積為s=-11(1-x2)dx=43故答案為：4315若12（2x+1x）dx=3+ln2【解答】解：12（2x+1x）dx=(x2+lnx)|12=22+ln212ln1=3+ln2故答案為：3+ln216已知曲線y=x3與直線y=kx（k0）在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為4，則k=4【解答】解：聯(lián)立方程可得&y=x3&y=kx，解得x=0，或x=k，先根據(jù)題意畫出圖形，得到積分上限為k，積分下限為0直線y=kx與曲線y=x3所圍圖形的面積s=0k（kxx3）dx而0k（kxx3）dx=（12kx214x4）|0k=12k214k2=14k2=4解得k=4，故答案為：4三解答題（共2小題）17求由曲線y=x，y=2x，y=-13x所圍成的封閉圖形的面積【解答】解：由題意，將三個解析式兩兩聯(lián)立：可得交點坐標(biāo)（1，1），（0，0），（3，1）則s=01(x+13x)dx+13(2-x+13x)dx=(23x32+1312x2)|10+(2x-2312x2)|31=23+