高考數(shù)學三角函數(shù)?？碱}型及解答方法總結

1、高考數(shù)學三角函數(shù)?？碱}型及解答方法總結1、角的概念的推廣：平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所的圖形。按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉時，稱它形成一個零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。2、象限角的概念：在直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限。3. 終邊相同的角的表示：終邊與終邊相同 (的終邊在終邊所在射線上)2()kkz，注意 ：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等. 如 與

2、角1825的終邊相同，且絕對值最小的角的度數(shù)是，合弧度。（答：25；536）4、與2的終邊關系 ：由“兩等分各象限、一二三四”確定. 如若是第二象限角，則2是第 _象限角（答：一、三）5. 弧長公式 ：|lr，扇形面積公式：211|22slrr，1 弧度 (1rad)57.3.如已知扇形aob 的周長是6cm，該扇形的中心角是1 弧度，求該扇形的面積。 （答： 22cm）6、 任意角的三角函數(shù)的定義： 設是任意一個角， p( ,)x y是的終邊上的任意一點 （異于 原 點 ）， 它 與 原 點 的 距 離 是220rxy， 那 么sin,cosyxrr，tan,0yxx，三角函數(shù)值只與角的大小

3、有關，而與終邊上點p 的位置無關。如（1）已知角的終邊經過點p(5，12)，則co ssi n的值為。（答：713） ；（2） 設是第三、 四象限角，mm432sin， 則m的取值范圍是_ （答： （ 1，)23） ；7. 特殊角的三角函數(shù)值：3045600901802701575sin2122230 1 0 1 624624cos2322211 0 1 0 624624tan331 30 0 2-32+3cot31 330 0 2+32-38.同角三角函數(shù)的基本關系式：（1）平方關系：1cossin22；（2）商數(shù)關系：cossintan；同角三角函數(shù)的基本關系式的主要應用是，已知一個角的三

4、角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。 在運用平方關系解題時，要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地壓縮角的范圍， 以便進行定號； 在具體求三角函數(shù)值時，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對值。如（ 1）若220 x，則使xx2cos2sin12成立的x的取值范圍是_（答：0,4,43） ；（ 2）已知53sinmm，)2(524cosmm，則tan_（答：125） ；（ 3） 已 知11tantan， 則c ossinc os3sin _ ；2cossinsin2_（答：35；513） ；（ 4）已知xxf3c

5、os)(cos，則)30(sinf的值為 _（答： 1） 。9. 三角函數(shù)誘導公式（2k）的本質是：奇變偶不變（對k而言，指k取奇數(shù)或偶數(shù)） ，符號看象限（看原函數(shù)，同時可把看成是銳角）. 誘導公式的應用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：（ 1）負角變正角，再寫成2k+,02；(2)轉化為銳角三角函數(shù)。如（ 1）97costan()sin 2146的值為 _（答：2323） ；（2）已知54)540sin(，則)270cos(_，若為第二象限角，則)180tan()360cos()180sin(2_。 （答：54；1003）10、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincos

6、cossinsin22sincos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22 tantan21tan令如（1）已知35sin()coscos()sin，那么2cos的值為 _ （答：725） ；（2）131080sinsin的值是 _（答： 4） ；(3) 已知0tan110a，求0tan50的值（用a 表示）甲求得的結果是313aa，乙求得的結果是212aa，對甲、乙求得的結果的正確性你的判斷是_（答：甲、乙都對）11.三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名

7、三結構。即首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關系，通?！扒谢摇?；第三觀察代數(shù)式的結構特點?；镜募记捎? （1）巧變角 （已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如()()，2()()，2()()，22，222等） ，如 （1） 已知2tan()5，1tan()44， 那么tan()4的值是 _ （答：322）（2） 已知02， 且129cos()，223sin()， 求c o s ()的值（答：490729） ；(2) 三角函數(shù)名互化( 切割化弦 ) ，如（ 1） 求值sin 50

8、 (13 tan10 )（答： 1） ；（2）已知sincos21,tan()1cos23，求tan(2)的值（答：18）(3) 公式變形使用（tantantan1tantan。如（ 1） 已知 a、b 為銳角，且滿足tantantantan1abab，則cos()ab_（答：22） ；(2) 設abc中，33tan atan btan atan b，34sin acos a，則此三角形是 _三角形（答：等邊）(4) 三角函數(shù)次數(shù)的降升( 降冪公式：21cos2cos2，21cos2sin2與升冪公式：21cos22cos，21cos22sin) 。如(1) 若32(,)，化簡11112222

9、2cos為_（答：sin2） ；（2）函數(shù)255 3f ( x)sin xcosxcos x532( xr)的單調遞增區(qū)間為_（答：51212 k,k( kz )） (5) 常值變換主要指“1”的變換 （221sincosxx22sectantancotxxxxtansin42等） ，如已知tan2，求22sinsincos3cos（答：35） .(6) 正余弦“ 三兄妹 sincos sin cosxxxx、”的內存聯(lián)系“知一求二”，如（ 1） 若sincosxxt，則sincosxx_（答：212t) ， 特別提醒 ：這里2,2t；（2）已知2sin 22sin1tank ()42，試用k

10、表示sincos的值（答：1k） 。12、輔助角公式中輔助角的確定：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a, b 的符號確定，角的值由tanba確定 )在求最值、化簡時起著重要作用。如 （1） 若方程sin3 cosxxc有實數(shù)解， 則c的取值范圍是_. （答： 2,2 ） ；（2）當函數(shù)23ycos xsin x取得最大值時，tanx的值是 _(答：32)；（3）如果sin2cos()fxxx是奇函數(shù)，則tan= (答： 2)；（4）求值：20sin6420cos120sin3222_(答： 32)13、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)sinyx和余弦函數(shù)cosyx圖象

11、的作圖方法：五點法：先取橫坐標分別為0，3,222的五點，再用光滑的曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內的圖象。14、正弦函數(shù)sin ()yx xr、余弦函數(shù)cos ()yx xr的性質 ：（1）定義域 ：都是 r。（2）值域 ：都是1,1，對sinyx，當22xkkz時，y取最大值1；當322xkkz時，y取最小值 1；對cosyx，當2xkkz時，y取最大值 1，當2xkkz時，y取最小值 1。如（ 1）若函數(shù)sin(3)6yabx的最大值為23，最小值為21，則a_，b（答：1,12ab或1b） ；（2）函數(shù)xxxfcos3sin)(（2,2x）的值域是 _（答：

12、1, 2） ；（3） 若2， 則6y c o ss i n的最大值和最小值分別是_ 、 _ （答：7； 5） ；（4）函數(shù)2( )2cossin()3sin3f xxxxsin cosxx的最小值是 _， 此時x_（答： 2；()12kkz） ；（ 5） 若cos2sin2sin22，求22sinsiny的最大、最小值（答：1m axy，222miny） 。 特別提醒 ：在解含有正余弦函數(shù)的問題時，你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎？（ 3） 周期性 ： sinyx、cosyx的最小正周期都是2； ( )sin()f xax和( )cos()f xax的最小正周期都是2|t。如 (1) 若3si

13、n)(xxf，則(1)(2)(3)(2003)ffff_（答： 0） ；(2)函數(shù)4( )cosfxx2sincosxx4sin x的最小正周期為_（答：） ；(3) 設函數(shù))52sin(2)(xxf，若對任意rx都有)()()(21xfxfxf成立，則|21xx的最小值為 _（答： 2）（ 4 ） 奇 偶 性 與 對 稱 性 ： 正 弦 函 數(shù)sin()yx xr是 奇 函 數(shù) ， 對 稱 中 心 是,0kkz，對稱軸是直線2xkkz；余弦函數(shù)cos ()yx xr是偶函數(shù)，對稱中心是,02kkz，對稱軸是直線xkkz（正 (余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心

14、為圖象與x軸的交點）。如（ 1） 函數(shù)522ysinx的奇偶性是 _（答：偶函數(shù)） ；（2） 已知函數(shù)31f (x )axb sin x(a,b為常數(shù)）， 且57f ()， 則5f()_（答： 5） ；（ 3） 函數(shù))cos(sincos2xxxy的圖象的對稱中心和對稱軸分別是_、_（答：128k(, )( kz )、28kx(kz )） ；（ 4 ） 已 知3f ( x )si n ( x)c o s ( x)為 偶 函 數(shù) ， 求的 值 。（ 答 ：6k( kz )）（ 5 ） 單 調 性 ：sin2,222yxkkkz在上 單 調 遞 增 ， 在32, 222kkkz單調遞減；cosyx

15、在2,2kkkz上單調遞減，在2,22kkkz上單調遞增。 特別提醒 ，別忘了kz！15、形如sin()yax的函數(shù)：（1）幾個物理量：a振幅；1ft頻率（周期的倒數(shù)） ；x相位；初相；（2） 函數(shù)sin()yax表達式的確定： a 由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點確定，如( )sin()(0,0f xaxa，|)2的圖象如圖所示，則( )f x_（答：15( )2sin()23f xx） ；（3）函數(shù)sin()yax圖象的畫法 ：“五點法”設xx，令x0，3,222求出相應的x值，計算得出五點的坐標，描點后得出圖象；圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法。（4）函數(shù)sin()yaxk的圖

16、象與sinyx圖象間的關系：函數(shù)sinyx的圖象縱坐標不變，橫坐標向左（0）或向右（0）平移|個單位得sinyx的圖象；函數(shù)sinyx圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到函數(shù)sinyx的圖象；函數(shù)sinyx圖象的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶 倍，得到函數(shù)sin()yax的圖象；函數(shù)sin()yax圖象的橫坐標不變，縱坐標向上（0k）或向下（0k） ，得到sinyaxk的圖象。要 特別注意 ，若由sinyx得到sinyx的圖象，則向左或向右平移應平移|個單位，如（ 1） 函數(shù)2sin(2)14yx的圖象經過怎樣的變換才能得到sinyx的圖象？（答：2sin(2)14yx向上平移1 個單位

17、得2sin(2)4yx的圖象，再向左平移8個單位得2sin 2yx的圖象，橫坐標擴大到原來的2 倍得2sinyx的圖象，最后將縱坐標縮小到原來的12即得sinyx的圖象）；(2) 要得到函數(shù)cos()24xy的圖象，只需把函數(shù)sin2xy的圖象向 _平移 _個單位（答：左；2） ；（3） 將函數(shù)72sin(2)13yx圖像，按向量a平移后得到的函數(shù)圖像關于原點對稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一， 求出模最小的向量（答：存在但不唯一，23題 圖29yx-223模最小的向量(, 1)6a） ；（4）若函數(shù)cossin0,2fxxx x的圖象與直線yk有且僅有四個不同的交點，則k的取

18、值范圍是（答：1,2)）（5）研究函數(shù)sin()yax性質的方法：類比于研究sinyx的性質 ，只需將sin()yax中的x看成sinyx中的x，但在 求sin()yax的單調區(qū)間時，要特別注意a和的符號，通過誘導公式先將化正。如（1 ）函數(shù)23ys in (x)的遞減區(qū)間是_（答：51212 k,k( kz )） ；（2）1234xylogcos()的遞減區(qū)間是_（答：336644k, k( kz )） ；（3）對于函數(shù)2sin23fxx給出下列結論：圖象關于原點成中心對稱；圖象關于直線12x成軸對稱；圖象可由函數(shù)2sin 2yx的圖像向左平移3個單位得到；圖像向左平移12個單位，即得到函數(shù)

19、2cos 2yx的圖像。其中正確結論是_（答：） ；（4）已知函數(shù)( )2sin()fxx圖象與直線1y的交點中，距離最近兩點間的距離為3，那么此函數(shù)的周期是_（答：）16、正切函數(shù)tanyx的圖象和性質 ：（1）定義域：|,2x xkkz。遇到有關正切函數(shù)問題時，你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎？（2）值域是r，在上面定義域上無最大值也無最小值；（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線ya的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期。絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、 切不變 既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，其它

20、不定。如xyxysin,sin2的周期都是, 但sinyxcosx的周期為2，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626yxyx，| tan|yx的周期不變；（4）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是,02kkz， 特別提醒 ：正 (余 )切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象與x軸的交點， 另一類是漸近線與x軸的交點， 但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。（5）單調性：正切函數(shù)在開區(qū)間,22kkkz內都是增函數(shù)。但要注意在整個定義域上不具有單調性。如下圖：17. 三角形中的有關公式：(1) 內角和定理 ：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！ 任意兩角和 與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方. (2) 正弦定理 ：2sinsinsinabcrabc( r 為三角形外接圓的半徑). 注意 ：正弦定理的一些變式：sinsinsini a b cabc；sin,sin,sin22abiiabcrr2cr；2sin ,2sin,2 siniiiara brb brc；已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解. (3) 余弦定理 ：2222222cos ,co