efogaAAA二次函數(shù)知識點(diǎn)歸納總結(jié)

1、e f o g a a a a 二次函數(shù)學(xué)問點(diǎn)歸納總結(jié)-cal-fenghai-(2020year-yicai)_jingbian二次函數(shù)學(xué)問點(diǎn)歸納1. 定義：一般地，假如 y = ax 2 + bx + c(a, b, c 是常數(shù)， a ¹ 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù).2. 二次函數(shù) y = ax 2 的性質(zhì)（1） 拋物線 y = ax 2 的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是 y 軸.（2） 函數(shù) y = ax 2 的圖像與a 的符號關(guān)系.當(dāng)a > 0 時Û 拋物線開口向上Û 頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)a < 0 時Û 拋物線開口向下Û

2、; 頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).（3） 頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是 y 軸的拋物線的解析式形式為 y = ax 2（a ¹ 0）. 3.二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c 的圖像是對稱軸平行于（包括重合） y 軸的拋物線.4. 二次函數(shù) y = ax 2+ bx + c 用配方法可化成： y = a(x - h)2 + k 的形式，其中h = - b ，k = 4ac - b 2 .2a4a5. 二次函數(shù)由特別到一般，可分為以下幾種形式： y = ax 2 ； y = ax 2 + k ； y = a(x - h)2 ；y = a(x - h)2+ k ； y = ax 2 + bx +

3、 c .6. 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn). a 的符號打算拋物線的開口方向：當(dāng)a > 0 時，開口向上；當(dāng)a < 0 時，開口向下；a 相等，拋物線的開口大小、外形相同.平行于 y 軸（或重合）的直線記作 x = h .特別地， y 軸記作直線 x = 0 .7. 頂點(diǎn)打算拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，假如二次項系數(shù)a 相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8. 求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法æb ö24ac - b2b4ac - b 2（1） 公式法： y = ax 2 + bx + c = aç x +&#

4、247;+，頂點(diǎn)是（-，），對稱軸是直線x = - b .2aè2a ø4a2a4a（2） 配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為 y = a(x - h)2稱軸是直線 x = h .+ k 的形式，得到頂點(diǎn)為( h , k )，對（3） 運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.9. 拋物線 y = ax 2 + bx + c 中， a, b, c 的作用（1） a 打算開口方向及開口大小，這與 y = ax 2

5、 中的a 完全一樣.（2） b 和a 共同打算拋物線對稱軸的位置.由于拋物線 y = ax 2 + bx + c 的對稱軸是直線x = - b ，故： b = 0 時，對稱軸為 y 軸； b > 0 （即a 、b 同號）時，對稱軸在 y 軸左側(cè)；2aab < 0 （即a 、b 異號）時，對稱軸在 y 軸右側(cè).a（3） c 的大小打算拋物線 y = ax 2 + bx + c 與 y 軸交點(diǎn)的位置.當(dāng) x = 0時， y = c ，拋物線 y = ax 2 + bx + c 與 y 軸有且只有一個交點(diǎn)（0， c ）： c = 0 ，拋物線經(jīng)過原點(diǎn); c > 0 ,與 y 軸交于

6、正半軸； c < 0 ,與 y 軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在 y 軸右側(cè)，則10. 幾種特別的二次函數(shù)的圖像特征如下：b < 0 .a函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y = ax 2x = 0 （ y 軸）（0,0）y = ax 2 + kx = 0 （ y 軸）(0, k )y = a x - h 2y = a(x - h)2 + ky = ax 2 + bx + c()當(dāng)a > 0 時x = h( h ,0)開口向上當(dāng)a < 0 時開口向下x = h( h , k )x = - b2a( - b ，2a4ac - b24a

7、)11. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1） 一般式： y = ax 2 + bx + c .已知圖像上三點(diǎn)或三對 x 、 y 的值，通常選擇一般式.（2） 頂點(diǎn)式： y = a(x - h)2 + k .已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.（3） 交點(diǎn)式：已知圖像與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo) x 、 x1，通常選用交點(diǎn)式： y = a(x - x21)(x - x ).212. 直線與拋物線的交點(diǎn)（1） y 軸與拋物線 y = ax 2 + bx + c 得交點(diǎn)為(0, c ).（2） 與 y 軸平行的直線 x = h 與拋物線 y = ax 2 + bx + c 有且只有一個交點(diǎn)( h ,

8、ah 2 + bh + c ).（3） 拋物線與 x 軸的交點(diǎn)二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c 的圖像與 x 軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo) x 、 x12，是對應(yīng)一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 的兩個實(shí)數(shù)根.拋物線與 x 軸的交點(diǎn)狀況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點(diǎn)Û d > 0 Û 拋物線與 x 軸相交；有一個交點(diǎn)（頂點(diǎn)在 x 軸上） Û d = 0 Û 拋物線與 x 軸相切；沒有交點(diǎn)Û d < 0 Û 拋物線與 x 軸相離.（4） 平行于 x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（3）一樣可

9、能有 0 個交點(diǎn)、1 個交點(diǎn)、2 個交點(diǎn).當(dāng)有 2 個交點(diǎn)時，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k ，則橫坐標(biāo)是ax 2 + bx + c = k 的兩個實(shí)數(shù)根.（5） 一次函數(shù) y = kx + n(k ¹ 0)的圖像l 與二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c(a ¹ 0)的圖像g 的交點(diǎn)，由方程組y = kx + ny = ax2 + bx + c的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時Û l 與g 有兩個交點(diǎn); 方程組只有一組解時Û l 與g 只有一個交點(diǎn)；方程組無解時Û l 與g 沒有交點(diǎn).（6） 拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)之間的距離：

10、若拋物線 y = ax 2 + bx + c 與 x 軸兩交點(diǎn)為 a(x ，0)，b(x1，0)，由于2x 、 x12是方程ax 2 + bx + c = 0 的兩個根，故x + x= - b , x × x= c12ab = x1a12a(x - x )2(x - x )2 - 4x xæç-÷-b ö2èa ø4cab2 - 4acada- x =212121 2二次函數(shù)圖象的平移（左加右減）1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 y = a (x - h)2 + k ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(h ，k )； 保持

11、拋物線 y = ax2的外形不變，將其頂點(diǎn)平移到(h ，k )處，具體平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|個單位y=ax2y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|個單位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|個單位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|個單位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|個單位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|個單位2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ h 值正右移，負(fù)左移； k 值正上移，負(fù)下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”方法二： y = ax 2 + bx + c 沿 y 軸平移:向上（下）平移m 個單位， y = ax 2 + bx + c 變成y =