比例諧振控制算法分析

1、比例諧振控制算法分析比例諧振控制算法分析u錄0前言21 pr控制器22準pr控制器53準pr控制雅的參數設置63. 1 3c二，kr 變化63.2 3c 變化，kr=1 64準pr控制器的離散化 7附錄a數字濾波器設計9a. 1脈沖響應不變法9a. 2雙線性變換法10附錄b雙線性變換法原b. 1連續(xù)時間系統(tǒng)h(s)的最基木環(huán)節(jié)b.2積分的數值計算與離散一階系統(tǒng)b.3連續(xù)時間一階環(huán)節(jié)的離散實現(xiàn)b.4高階連續(xù)時間系統(tǒng)的離散實現(xiàn).亠.在整流器和雙饋發(fā)電機的矢量控制系統(tǒng)中廣泛地釆用了坐標變換技術，將三相靜止坐標 系下的電流電壓等正弦量轉化為同步旋轉坐標系下的玄流量，這一方面是

2、為了簡化系統(tǒng)的 模型，實現(xiàn)冇功功率和和無功功率的解耦，另一方面是因為pi控制器無法對正弦量實現(xiàn) 無靜差控制。坐標變換簡化了控制系統(tǒng)外環(huán)的設計，卻使電流分量互相耦合，造成內環(huán)結 構復雜,設計困難。pr控制器對以實現(xiàn)對交流輸入的無靜差控制。將pr控制器用于網側變換器的控制系統(tǒng) 中，可在兩相靜止坐標系卜-對電流進行調節(jié)。可以簡化控制過程中的坐標變換，消除兩相靜止坐標系下對電流進行調節(jié)。叮以簡化控制過程屮的坐標變換，消除電流d、q軸分量 z間的耦合關系，且可以忽略電網電壓對系統(tǒng)的擾動作用。此外，應用pr控制器，易于 實現(xiàn)低次諧波補償，這些都有助于簡化控制系統(tǒng)的結構。1 pr控制器pr控制器，即比例諧振

3、控制器，由比例環(huán)節(jié)和諧振環(huán)節(jié)組成，可對正眩量實現(xiàn)無靜差控 制。理想pr控制器的傳遞函數如下式所示：g s二kp+krss+s0式中kp為比例項系數，kr為諧振項系數，3。為諧振頻率。pr控制 器屮的積分壞節(jié)又稱廣義積分器，可以對諧振頻率的正弦量進行幅值積分。i對于同頗的輸入信號msin(3t+ <p),該環(huán)節(jié)的時域響應分析如下：!輸入信號的拉普拉斯變換為：iil( m snf cot + q>) = b m sin( 3t) cosq)+ mcos( a)t)siiiq) = mcosq> *+ n經過輕后的表達式為:jmcostp * 缶 + mshw *l=kr * m

4、* (cos® *+ siiicp *s 占一3$1l(s2+w2)22 0)5； l(tcosa)t)=utsincat)=i求上式的拉普拉斯反變換為：i' kr * m * tsin( cot) +- * 2 (s2+o)2)2；分別推導tcoscot、tsina)t的拉普拉斯變換為(推導見下一頁): s2tcos( o)t i + sinkot)i整理后得:ii葺“ .(tcoscp + sin(3t) + tsinq> * cos(cot)kr*m2由上式可知，當4)=0時，輸出信號為* t sin st與輸入信號相位相同，幅值呈時間線性上升。當"90

5、時,輸出信號為:kr*m2* a)sin at +t*cos(a)t) 1當時間稍大時，該值貼近于cos (丄)t),從整體看, 該諧振器(或稱z為廣義積分器)是對誤差信號的按時間遞增。 沁sih3t的拉普扌工斯變換：ii恰一i l(tsin3t) = l()2j3上)_斗氓-叭)-(-_一_-_-2 l(s_ j3尸(s +j3)21 /4|u)s2j (s ja)r (s + j3)j23s(s2 +o>2)；再觀察tcos3t的拉普拉斯變換；l(tcosojt) = l(-)= £(l(td3t) + atet3t)2 ( s - j 3)2 + ( s + j3；i 2

6、 /s2 3三(s-j3)2(s + j3)2 s2-g>2(s2 +o>2)2r如下圖所示，pr控制器中的積分部分s+soks頻率點z外幾乎沒有衰減。因此，為了有選擇地補償諧波，它對以作為一個直角濾波 器。2準pr控制器如上所述，與pi控制器相比，pr控制器可以達到零穩(wěn)態(tài)誤差，提高有選擇地抗電網電 壓于擾的能力。但是在實際系統(tǒng)應用屮，pr控制器的實現(xiàn)存在兩個主要問題：由丁模擬系統(tǒng)元器件參數精度和數字系統(tǒng)精度的限制，pr控制器不易實現(xiàn)pr控制器在非基頻處增益非常小，當電網頻率產生偏移時，就無法有效抑制電網產生的諧波。因此，在pr的基礎上，提出了一種易于實現(xiàn)的準pr控制器，既町以保持

7、pr控制器的 高增益，同時還可以有效減小電網頻率偏移對逆變器輸出電感電流的彫響。準pr控制器傳遞函數為：rg s二kp+s+2®2k3cscs+ 3 0控制器波特圖如下圖所示，從圖中所示，控制器在基波頻 率處的幅頻特性為a(oo)=60db.同時和角裕度為無窮大，因此基木可以實現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)誤差， 同時具有很好的穩(wěn)態(tài)裕度和暫態(tài)性能。150bode diagramsoo-50100270 1010103準pr控制器的參數設置由此可見，除了比例系數外，準pr控制器主要有kr、3c兩個參數。為了分析每個參 數對控制器的影響，可先假設其余參數不變，然后觀察這個參數變化時間對系統(tǒng)性能的影 響。3.

8、1 二， 變化控制器傳遞函數的波特圖如下圖所示，從圖中可以看出，kr參數增人時，控制器的峰值 增益也增大，而控制器的帶寬卻沒有變化。因此kr參數和控制器的峰值增益成正比。3.2 變化， =1由下圖可知，參數3c不僅影響控制器的增益，同時述影響控制器截止頻率的帶寬。隨 著3c的增加，控制器的增益和帶寬都會增加（基頻增益為kr不變）。將s=j3代入傳 遞函數，則冇：rcrg j3 二一 32+2 二 23 j3 + 31+j 3-3 /23 3c00c2k3 j3k 根據對帶寬的定義， g j3二kr/時,此時計算得到的兩個頻率之差即為帶寬。令23c3 32-320二1,經過 計算得到準諧振控制器

9、的帶寬為：3c/hhz。3cjt設電網電壓頻率允許波動范圍為土0.8hz,則有二1.6hz,即3c=5hzbode diagramx 二50 -qs 45£<d 0if -4510frequency (hz)104準pr控制器的離散化模擬控制器的離散化有兩種方式，分別為脈沖響應不變法與雙線性變換法，此處采用脈 沖響應不變法對其進行離散化pr控制器的數字實現(xiàn)方法生要有兩種，分別是采用z算符和采川6算符對具進行離散 彳匕o g s 2kr3css+2scs+3 0 s 2c+4<c4(0s 2 w c4 co c4 co 0s+ co c co c 0) o s+3c+ co

10、 c co o s+3c co c to 0 s+3c+ 3c 30其中 a=kr(oc 1 3c3 0; b二krac 1+ cue3。將上式通過脈沖響應不變法轉成z變換，得：g z =z-e1 z 1 eaz 3c wc w0 tzebz coc+ 3c3。t 3c3ct 1 z1e a)c+te=c設mp)101 10 10frequency (hz)2 3 c a)2c3。t ； d二 e2 3c+ 3 2c3。t ,則:g z 二a1-zc+b1zd二a+b -(ad-bc)z-ll- c+d z+cdz設y二gx,則轉成差分函數后，該式可表達 成：y n 二 c+d y nl -c

11、dy 門一2 + a+b x n - ad-bc x(nl)其中：a=krcoc 1; b=krwc 1 wc <0c= e 3 c 3 2c3 20 t ；3 c3。e 3c+ 3 2c3 20 t d二附錄a數字濾波器設計通常利用模擬濾波器的理論和設計方法來設計iir數字濾波器。其設計的過程是：先根 據技術指標要求設計出一個相應的模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳遞函數ha s，然后再按照一左的轉換關系將設計好的模擬濾波器的傳輸函數ha s轉換成為數字濾 波器的系統(tǒng)函數h(z)。轉換方法有兩種：脈沖響應不變法和雙線性映射法。利用模擬濾波器設計數字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞

12、兩數血(s)設計數字濾 波器傳遞函數ii(z),這是一個由s平而到z平而的映射變換，這種映射變換應遵循兩個基 本原則：1. ii(z)的頻響要能模仿ila s的頻響，即s平血的虛軸應能映射到z平面的單位圓 ej3上2. ha s的因果穩(wěn)定性映射到h(z)后保持不變，即s平面從左半平面re s0映射到z 平而的單位圓內z <1a. 1脈沖響應不變法利用模擬濾波器理論設計數字濾波器，也就是使得數字濾波器能模仿模擬濾波器的特 性，這種模仿口j從不同角度出發(fā)。脈沖響應不變法就是從濾波器的脈沖響應出發(fā)，使數字 濾波器的單位脈沖響應序列h(n)模仿模擬濾波器的沖擊響應ha(t),使h n正好等于 h

13、a (t)的釆樣值,即:h n =ha(nt) t為采樣周期。如以ila(s)和h(z)分別表示ha(t)的拉氏變換及h n的z 變換，b|j： ha s =lha(t), h z =zh(n)按照采樣序列z變換及模擬信號拉氏變換的 關系,得：h z | z=est= oom=-coia s+jt12 jitm上式表明,釆用脈沖響應不變法將模 擬濾波器變換為數字濾波器時，它所完成的s平面到z平血的變換，正是以前討論的拉氏 變換到刁變換的標準變換關系，即首先對hd s作周期延拓，然后再經過滬est的映射關 系映射到z平面上。z=est的映射關系表明，s平面上每一條2n/t的橫帶部分，都將重疊地映

14、射到z平面 的全部平面上。每個橫帶在左半部分映射到z平面單位圓以內，每個橫帶的右半部分映射 到z平而單位関以外，jq軸映射在單位鬪上，但jq軸上每一段2h/t都対應于繞單位 圓一周。如下圖所示，和應的頻率變換關系為：3二qt,顯然3 一與q之間為線性關系。(其中3為數字域頻率；q為模擬域頻率)應當指出,z=est的映射關系反映的是ha s的周期延拓與h(z)的關系,而不是ha s 本身與hg)的關系，因此，在使用脈沖響應不變法時，從膾s到hg)并沒有一個出s平 而到z平而的簡單代數映射關系，即沒有一個s二f (z)的代數關系式。另外，數字濾波器的頻響也不是簡單地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響應，而是模擬

15、濾波器頻響2ht的周期延拓，周期為qs二1二2 兀 fs。即 2 ji nith ej =t °°m=°°ha j q +j=t °°m=°°ha j 1 cj +2 mt 根據香農 采樣定律，如果模擬濾波器的頻響帶限于折證頻率qs/2以內，即ha jq =0, q »/t這時，數字濾波器的頻響才能不失真地垂現(xiàn)模擬濾波器的頻響(在折程頻率以內)h ej3 =tiia jt, o <1 3但任何一個實際的模擬濾波器，其頻響應都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即頻譜混淆，這時數字濾波器

16、的頻響將不同于原模 擬濾波器的頻響而帶來一定的失真。模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越人，失真則越小，這吋采用脈沖響應不變法設計 的數字濾波器才能冇良好的效果。a. 2雙線性變換法脈沖響應不變法的主要缺點是頻譜交亞產生的混淆，這是從s平而到z平而的標準變換 z二est的多值對應關系導致的，為了克服這一缺點，設想變換分為兩步：1將整個s平面壓縮到s1平而的一條橫帶2.通過標準變換將此橫帶變換到整個z平而上去由此建立的s平面與z平而一一對應的單值關系，消除了多值性，也就消除了混淆現(xiàn) 象。為了將s平面的jq軸壓縮到s1平血的jq軸上的-tt 一段上，可通過以下正切變 換實現(xiàn)：q二c*tg q 1t2

17、 n ji此處c是待定系數，通常取c=2/t。用不同的方法確處c,可使模擬 濾波器的頻率特性與數字濾波器的頻率特性在不同的頻率點有對應關系。經過這樣的頻率變換，當q1在一段變化時，q在一8«段變動，映射了整個jq 軸。thji將這一解析關系延拓到整個s平面，即得到s平面-s1平面的映射關系:s二c*tgslt2=c*stcos sinc*ststj-e-jj-je+e c*1-e-jsltl+el再將si平而通過標準變換映射到z平而，即令:z 二 est最后得到s平面到z平面的單值映射關系。t1+zt 1+ s =稱為雙線性變換z=l- s221-z-1雙線性變換法的主耍優(yōu)點是不存在

18、頻率混迭。由于s平面與z平面一一單值對應，s平 而的虛軸（整個jq）對應于z平而單位圓的一周，s平而的q二0對應于z平而的3二0； 對應于z平面的3=71,即數字濾波器的頻率響應終止于折疊頻率處，所以雙線性變 換不存在頻譜混迭效應。靠頻率的嚴重非線性關系得到s平面與z平血的單值一一-對應關系，整個j q軸單值對 應于單位圓一周，這個頻率關系是q二c*tg 2 ,其中3和q為非線性關系。從左圖可以看出，在o頻率附近，3和q接近于線性關系，當q at-步增加時，3 增長變得緩慢。當q-8吋，3=71, 3終止于折亞頻率處。所以雙線性變換不會出現(xiàn)由 于高頻部分超過折疊頻率而混淆低頻部分的現(xiàn)象。正由于

19、3和q之間的非線性關系，導致數字濾波器的幅頻響應相對于模擬濾波器的幅 頻響應有畸變。例如一個模擬微分器，它的幅度與頻率是線性關系，但是通過雙線性變換后，不可能得 到數字微分器。若：h jq 二kq+b,則 h ej3 =h j q 丨 q二tg3二k*tg2+bi. o co /n圖3.5雙線性變換的頻率非線性關系另外，一個線性相位的模擬濾波器經過雙線性變換后，濾波器不再有線性相位特征。雖 然雙線性變換有這樣的缺點，但它u前仍是使用最普遍，最有成效的一種設計工具。這是 因為大多數濾波器都冇分段常數的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，他們在通帶 內要求-個衰減為0的常數特性，在阻帶部分要求逼

20、近一個衰減為8的常書特性，這種特 性的濾波器經過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常 數的特性。例如，一個考爾型的模擬濾波器ha(s),雙線性變換后，得到的h(z)在通帶 與阻帶內都保持原模擬濾波器相同的起伏特性，只有通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率以 及起伏的峰點、谷點頻率等臨界頻率點發(fā)牛了非線性變化，這種頻率點的畸變可通過預畸來加以校正。即將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，通過雙線性變換后正好映射到所需要的數字頻率上。圖3.6、雙線性變換時頻率的預畸附錄b雙線性變換法原理b. 1連續(xù)時間系統(tǒng)h(s)的最基木環(huán)節(jié)連續(xù)時間系統(tǒng)h(s)的極點有兩種情況；單重極點和多重極點。但是一個多重極點環(huán)節(jié)可 以看成由多個單重極點環(huán)節(jié)級聯(lián)構成，例如對二重極點冇：h s =a(sp) 2= spsp 因此，可以將一階壞節(jié) hi s =sp k看成是構成h s的最棊本環(huán)節(jié)。它對應于一階微分方程。dy (t) dtpy (t) =kx (t)系統(tǒng)結構如下圖所示。若要將該系統(tǒng)離散化，主要是對一次積分運算的