2018屆初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)專(zhuān)題【二次函數(shù)壓軸題】

1、2018年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料：二次函數(shù)壓軸題面積類(lèi)【例 1】.如圖 1，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A( - 1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)三點(diǎn).(1) 求拋物線的解析式.(2)點(diǎn) M 是線段 BC 上的點(diǎn)(不與 B, C 重合)，過(guò) M 作 MN / y 軸交拋物線于N,若點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m,請(qǐng)用 m 的代數(shù)式表示 MN 的長(zhǎng).(3)在(2)的條件下，連接 NB、NC,是否存在 在，說(shuō)明理由.【考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專(zhuān)題23,【鞏固 1】.如圖 2，拋物線y=ax ?x2(a0)的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于 C 點(diǎn)，已 知 B 點(diǎn)坐標(biāo)為(4, 0).(1) 求拋

2、物線的解析式；(2)試探究 ABC 的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；(3)若點(diǎn) M 是線段 BC 下方的拋物線上一點(diǎn)，求 MBC 的面積的最大值，并求出此時(shí) M 點(diǎn)的坐標(biāo).【考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專(zhuān)題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想.】圖 2平行四邊形類(lèi)【例 2】.如圖 3，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線AB 上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)(1) 分別求出直線 AB 和這條拋物線的解析式.(2) 若點(diǎn) P 在第四象限，(3) 是否存在這樣的點(diǎn) 點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)；若不存在，PM 最長(zhǎng)時(shí)，求 ABM 的面積.O 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出等腰三角形類(lèi)【例 3】.如圖，點(diǎn) A

3、在 x 軸上，OA=4，將線段 OA 繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120至 OB 的位置.(1) 求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；(2) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn) A、O、B 的拋物線的解析式；(3)在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn) P、O、B 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在,求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專(zhuān)題：壓軸題；分類(lèi)討論.】連接 AM、P,使得以點(diǎn)請(qǐng)說(shuō)明理由.BM，當(dāng)線段P、 M、 B、2y=x+mx+ n 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A (3, 0)、B (0, - 3),點(diǎn) P 是直線M，設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 t.【鞏固 3】.在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC 放在第二象限，

4、斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn) A( 0，2)，點(diǎn) C (- 1, 0),如圖所示：拋物線 尸 ax2+ax- 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B.(1)求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)在拋物線上是否還存在點(diǎn) P (點(diǎn) B 除外)，使 ACP仍然是以 AC 為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.規(guī)律探索類(lèi)【例 4】如圖，已知點(diǎn) A1、A2、A3、A4、An在 x 軸的正半軸上，且橫坐標(biāo)依次為連續(xù)的正整數(shù)，過(guò) 點(diǎn) Ai、A2、A3、A4、An分別作 x 軸的垂線，父拋物線 y=x? +x 于點(diǎn) Bi、B2、B3、B4、Bn，父過(guò) 點(diǎn) Bi的直線 y=2x 于點(diǎn) C2、C

5、3、C4、Cn。若厶 B1C2B2、 B2C3B3、 B3C4B4、 BnCn dBn d的面積分別為 S1、S2、S3、Sn。求 S2 S1與 S3- S2的值；猜想 Sn Sn與 n 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；若將拋物線 y=x2+x”改為 y=x2+bx+c”，直線 y=2x”改為 與 n 的數(shù)量關(guān)系(直接寫(xiě)出答案)。綜合類(lèi)【例 5】.如圖，已知拋物線 y=x2+bx+c 的圖象與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)為 B (5, 0),另一個(gè)交點(diǎn)為 A,且與 y 軸交于點(diǎn) C(0，5).( 1)求直線 BC 與拋物線的解析式；(2)若點(diǎn) M 是拋物線在 x 軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M 作 MN / y

6、 軸交直線 BC 于點(diǎn) N,求 MN 的最大值;(3)在(2)的條件下，MN 取得最大值時(shí)，若點(diǎn) P 是拋物線在 x 軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以 BC 為邊作 平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形 CBPQ 的面積為, ABN 的面積為 S2,且 SF6S2,求點(diǎn) P 的坐標(biāo).【考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專(zhuān)題：壓軸題.】Av【鞏固 6】如圖，拋物線 y=ax2+bx+c (a 工0的圖象過(guò)點(diǎn) C (0,1),頂點(diǎn)為 Q (2, 3),點(diǎn) D 在 x 軸正半 軸上，且 OD = OC. (1)求直線 CD 的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)

7、x(4)在(3)的條件下， 若點(diǎn) P 是線段 QE 上的動(dòng)點(diǎn)， 點(diǎn) F 是線段 OD 上的動(dòng)點(diǎn)， 問(wèn)： 在 P 點(diǎn)和 F 點(diǎn)移動(dòng) 過(guò)程中， PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20XX年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料：二次函數(shù)壓軸題【參考答案】【例題 1】考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.專(zhuān)題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合.分析：(1)已知了拋物線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.(2)先利用待定系數(shù)法求出直線 BC 的解析式，已知點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)，代入直線 BC、拋物線的解析 式中，可得到 M、N 點(diǎn)的坐標(biāo)，N、M 縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值即為 MN 的長(zhǎng).(3)設(shè)

8、MN 交 x 軸于 D，那么 BNC 的面積可表示為：SABNC=SAMNC+SMNB=MN ( OD + DB )=MN?OB ,MN 的表達(dá)式在(2)中已求得，OB 的長(zhǎng)易知，由此列出關(guān)于 SABNC、m 的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性 質(zhì)即可判斷出 BNC 是否具有最大值.解答：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y=a (x+1) (x-3),則: 拋物線的解析式：y= -( x+1) (x- 3) = -X2+2X+3.(2) 設(shè)直線 BC 的解析式為：y=kx+b,則有：Rk+b 二 Q，解得(k二-1；故直線Lb=3Ib=3已知點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 m, MN / y,貝 U M (m, m+3

9、)、N ( m, m2+2m+3);故 MN=m2+2m+3(m+3)=-m2+3m(0vmv3).(3)如圖 2 SBNC=SMNC+SAMNB=MN (OD+DB) =MN?OB,2227SABNC=(m +3m)?3=-(m ) +- (0vmv3);8當(dāng) m=時(shí)， BNC 的面積最大，最大值為士 .8【鞏固 1】【考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專(zhuān)題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想.】分析：(1)該函數(shù)解析式只有一個(gè)待定系數(shù)，只需將B 點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可.(2)首先根據(jù)拋物線的解析式確定A 點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過(guò)證明 ABC 是直角三角形來(lái)推導(dǎo)出直徑 AB 和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo).MBC 的面積可由 9M

10、BC=BC h 表示，若要它的面積最大，需要使 h 取最大值，即點(diǎn) M 到直線 BC 的 距離最大，若設(shè)一條平行于 BC 的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)就是點(diǎn)M .解答：(1)將 B (4, 0)代入拋物線的解析式中，得：拋物線的解析式為：y=x2- x-2.(2)由(1)的函數(shù)解析式可求得：A (- 1 , 0)、C ( 0,- 2) ; OA=1 , OC=2 , OB =4,即：OC =OA?OB，又：OC 丄 AB, OACAOCB，得：/ OCA =ZOBC;/ ACB= / OCA+ / OCB= / OBC+ / OCB=90 , ABC 為直角三角形，A

11、B ABC 外接圓的直徑；所以該外接圓的圓心為 AB 的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：(,0).(3)已求得：B (4, 0)、C (0,- 2),可得直線 BC 的解析式為：y=x- 2;設(shè)直線 I / BC,則該直線的解析式可表示為：y=x+b,當(dāng)直線 l 與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可列方程：x+ b=x2-x-2,即：x2-2x-2-b=0，且=0; 4-4X(2-b)=0,即卩 b=-4;二直線 I:y=x-4.過(guò)M點(diǎn)作 MN 丄 x 軸于 N,SABMC=S梯形OCMN+ SAMNB-SAOCB=X2 X(2+3) +X2 X3 -X24=4 .JLA0|D叭圖 2a(0+1) (03)=3,a=-

12、1;所以點(diǎn) M 即直線 l 和拋物線的唯一交點(diǎn)，有:，解得：(即 M(2, - 3).y= - 3BC 的解析式：y= - x+3.圖 4圖 5【例 2】考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定.專(zhuān)題：壓軸題；存在型.分析：(1)分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把 A( 3, 0)B( 0, - 3)分別代入 y=x2 3+mx+n 與 y=kx+b,得到關(guān)于 m、n 的兩個(gè)方程組，解方程組即可；(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(t, t - 3),則 M(t, t2-2t- 3),用 P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去 M

13、 的縱坐標(biāo)得到 PM 的長(zhǎng)， 即 PM= (t-3)-( t2- 2t - 3) =-t2+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到；貸 g當(dāng) t= - :=時(shí)，PM 最長(zhǎng)為-=，再利用三角形的面積公式利用SABM=SBPM+APM計(jì)算即可；(3)由 PM / 0B,根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB 時(shí)， 點(diǎn)P、M、B、O 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四 邊形，然后討論：當(dāng) P 在第四象限：PM=0B=3, PM 最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能；當(dāng) P 在第一象限：PM = 0B=3,(t2- 2t - 3)-( t- 3) =3；當(dāng) P 在第三象限：PM = 0B=3, t2- 3t=3，分別解一元二次方程即可

14、得到滿足 條件的 t 的值.解答：解：(1)把 A (3, 0) B (0,- 3)代入 y=x2+mx+ n,得，所以拋物線的解析式是豪-2x- 3設(shè)直線 AB 的解析式是 y=kx+b,n= - 32已知 O、A、B 三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.3 根據(jù)(2)的拋物線解析式，可得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，然后先設(shè)出P 點(diǎn)的坐標(biāo)，而 O、B 坐標(biāo)已知, 可先表示出 OPB 三邊的邊長(zhǎng)表達(dá)式，然后分 OP=OB、OP=BP、OB=BP 三種情況分類(lèi)討論，然后 分辨是否存在符合條件的 P 點(diǎn).解答：g+3 麗解得l_3=n(2)所以k=l，所以直線b=-3設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)是(t, t -

15、 3),則 M(t, t2- 2t- 3),因?yàn)?p 在第四象限，PM =(3, 0) B (0, - 3)代入 y=kx+b,得，解得，-3-bAB 的解析式是 y=x- 3 ；當(dāng) t=一(t - 3)-( t2- 2t- 3) =-t2+3t,Q0 9=時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即PM 最長(zhǎng)值為“、4X ( -1)1927貝 V SABM=SBPM+SAPM=：=二 .存在，理由如下： PM / OB,PM=OB 時(shí)，點(diǎn) P、M、B、P 在第四象限：PM=OB=3,(3).當(dāng)當(dāng) P 在第一象限：PM=OB=3,O 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，PM 最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能有PM=3.(t2- 2

16、t - 3)-( t- 3) =3，解得 t1=- , t2=(舍去)，所以%圖 7P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是乂工當(dāng) P 在第三象限：PM=OB=3,:所以二-(舍去)，t2=，所以 P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是匸或t2- 3t=3，解得 t1【例3】分析:(1)首先根據(jù)B 做 x 軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建直角三角形和 OB 的長(zhǎng) (即 OA 長(zhǎng))確定 B 點(diǎn)的坐標(biāo).解：(1)如圖，過(guò) B 點(diǎn)作 BC 丄 x 軸，垂足為 C,則/ BCO=90/ AOB=120 , / BOC=60 ,又 OA=OB=4, OC=OB =X4=2, BC=OB?sin604X也 =2 _,點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(-2,- 2 二

17、);2(2)V拋物線過(guò)原點(diǎn) O 和點(diǎn) A、B，可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx.此拋物線的解析式為63(3)存在，如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2，直線 x=2 與 x 軸的交點(diǎn)為 D，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2, y),1若 OB=OP，則 22+|yf=42，解得 y=2 7 , 當(dāng) y=2/時(shí)，在 Rt POD 中，/ PDO=90 sin/ POD=Z?顯衛(wèi)，/ POD=60OP 2/ POB= / POD+ / AOB=6O+12O=18O ,即 P、O、B 三點(diǎn)在同一直線上， y=2 二不符合題意，舍去，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2, - 2 7)2若 OB=PB ,則 42+|y+2 =f

18、=42,解得 y= - 2 -,故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(2, - 2 7),3若 OP=BP ,則 22+|y|2=42+|y+2 ，解得 y= - 2 二,故點(diǎn)_P 的坐標(biāo)為(2, - 2 二),綜上所述,符合條件的點(diǎn)P 只有一個(gè)，其坐標(biāo)為(2, - 2 二)，【例題 5】【考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專(zhuān)題：壓軸題.】分析：(1)設(shè)直線 BC 的解析式為 y=mx+n ,將 B (5 , 0), C (0 , 5)兩點(diǎn)的坐標(biāo) 八丁代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線BC 的解析式；同理，將 B ( 5 , 0), C (0 , 5)兩點(diǎn)口勺坐標(biāo)代入 y=x2+bx+c ,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式

19、；(2)MN 的長(zhǎng)是直線 BC 的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個(gè)關(guān)于 XMN 的長(zhǎng)和 M 點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN 的最大值；(3)先求出 ABN的面積 S2=5 ,則 S1=6S2=30 .再設(shè)平行四邊形 CBPQ 的邊 BC上的高為 BD,根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=3 徒,過(guò)點(diǎn) D 作直線 BC 的平行線，交拋物線與點(diǎn) P ,交 x 軸于點(diǎn) E ,在直線 DE 上截取 PQ = BC ,則四邊形 _CBPQ 為平行四邊形.證明 EBD 為等腰直角三角形，貝 U BE2BD=6 ,求出 E +的坐標(biāo)為(-1 , 0),運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線 PQ

20、的解析式為 y=- x- 1,然后解方程組尸,即可求出點(diǎn) P 的坐標(biāo).、Jy= X2-解答：(1)設(shè)直線 BC 的解析式為 y=mx+n ,將 B (5 , 0) , C (0 , 5)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得5 阿二 Q，解得嚴(yán)一 1 ,所以直線BC的解析式為 y= - x+5;Ln=5In二5將 B (5 , 0) , C (0 , 5)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y=/+bx+c,(fb= - 62得十X U，解得*,所以拋物線的解析式為y=x2- 6x+5 ；iC 5. ：一5(2) 設(shè) M (x , x2- 6x+5) (1v xv 5),貝 U N (x, - x+5),2222525 MN= (-

21、 x+5)-( x2- 6x+5) = - x2+5x=-( x-)，當(dāng) x=時(shí)，MN 有最大值一；33v MN 取得最大值時(shí)，x=2.5，- x+5= - 2.5+5=2.5 ,即 N (2.5 , 2.5).解方程 x2- 6x+5=0 ,得 x=1 或 5 A ( 1 , 0), B ( 5 , 0), AB=5 -仁 4 , ABN 的面積=“ X2.5=5 ,將 A (4, 0), B (- 2 - 2 近)代入，得(4) 在(3)的條件下，若點(diǎn) P 是線段 QE 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) F 是線段 OD 上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：在 過(guò)程中，PCF 的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在

22、，請(qǐng)說(shuō)明理由. 分析：(1)利用待定系數(shù)法求出直線解析式；(2) 利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；(3) 關(guān)鍵是證明 CEQ 與厶 CDO 均為等腰直角三角形；(4)如答圖所示，作點(diǎn) C 關(guān)于直線 QE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) C 作點(diǎn) C 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) C， 連接 CC，交 OD 于點(diǎn) F,交 QE 于點(diǎn)卩，則厶 PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形， 由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知， PCF 的周長(zhǎng)等于線段 CC的長(zhǎng)度.利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可以證明此時(shí)PCF 的周長(zhǎng)最小.如答圖所示，利用勾股定理求出線段CC的長(zhǎng)度，即 PCF 周長(zhǎng)的最小值.解答：解：(1)TC (0, 1), OD = OC

23、, D 點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 0).設(shè)直線 CD 的解析式為 y=kx+b(k 工0 ,_=b將 C (0, 1), D (1, 0)代入得：*，解得：b=1 , k= - 1，直線 CD 的解析式為：y=- x+1 .lk+b-0(2)設(shè)拋物線的解析式為 y=a (x- 2)2+3,將 C (0, 1 )代入得：1=aX(- 2)2+3，解得 a=- y= 三(x - 2)2+3=UX2+2X+1 .(3) 證明：由題意可知，/ ECD=45/ OC=OD ,且 OC 丄 OD , OCD 為等腰直角三角形，/ ODC=45/ECD= / ODC , CE/ x 軸，則點(diǎn) C、E 關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸(直線

24、X=2)對(duì)稱(chēng)，.點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(4 , 1). 如答圖所示,設(shè)對(duì)稱(chēng)軸(直線 x=2)與 CE 交于點(diǎn) M ,則 M( 2 , 1), ME=CM=QM=2, QME 與厶 QMC 均為等腰直角三角形，/ QEC =ZQCE=45 .又OCD 為等腰直角三角形，/ ODC= / OCD=45/QEC=/QCE=/ODC=ZOCD =45, CEQCDO.(4) 存在.如答圖所示，作點(diǎn) C 關(guān)于直線 QE 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) C 作點(diǎn) C 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) C ,連接 CC”, 交 OD 于點(diǎn) F ,平行四邊形 CBPQ 的面積為 BD，貝 U BC 丄 BD ./ BC=5 _, BC?BD=30,過(guò)點(diǎn) D 作直線 BC 的平行線，SI=6S2=30 .設(shè)平行四邊形 CBPQ 的邊 BC 上的高 BD=3_.交拋物截取 PQ=BC，則四邊形 CBPQ 為平行四邊形. BC 丄 BD，/ OBC=45 /EBD=4