延性材料中球腔膨脹模型及其解析解的進(jìn)一步研究

1、    延性材料中球腔膨脹模型及其解析解的進(jìn)一步研究    高光發(fā) 李永池摘要：空腔膨脹模型是當(dāng)前廣泛應(yīng)用于許多工程領(lǐng)域的一個(gè)理論模型?；趀uler坐標(biāo)構(gòu)架，對(duì)球腔膨脹過(guò)程中不同階段介質(zhì)內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的通解進(jìn)行理論推導(dǎo)。討論了當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的一些推導(dǎo)成果的不足之處，分析表明當(dāng)前的研究結(jié)果具有彈塑性解不連續(xù)、混淆了彈性體積壓縮率和塑性階段體積壓縮率的概念等局限性，是一種間斷的特解。給出了考慮塑性壓縮性和塑性不可壓兩種情況下的彈塑性通解，在此基礎(chǔ)上給出了考慮初始球腔尺寸和彈性變形等相關(guān)參數(shù)的準(zhǔn)確的、連續(xù)的通解；并對(duì)塑性階段壓縮率的影響進(jìn)行分析討論。經(jīng)過(guò)驗(yàn)證分析

2、，這些通解更加普適，其簡(jiǎn)化及在特定假設(shè)下的特解與當(dāng)前的國(guó)內(nèi)外研究結(jié)果一致，該研究為球腔膨脹模型的應(yīng)用和深化研究提供一定的參考。關(guān)鍵詞：球腔膨脹；空腔膨脹；應(yīng)用力學(xué)；塑性力學(xué)：o39文獻(xiàn)標(biāo)志碼：a：1672-1098（2017）03-0006-11abstract：the cavity expansion model is widely used in engineering area. the deficiencies and problem of the corresponding solutions in the published literatures， such as discont

3、inuity between the elastic stage and plastic stage and confusion of some concepts， were analyzed and discussed. the general solutions of the relative size of the plastic zone and field of stress in the euler coordinate system were deduced， in which the initial cavity size and the elastic deformation

4、 prior to the plastic deformation were considered. these solutions are verified that they are continuous and universal and the solutions in the published literatures are the special solutions. it can be referred to in the appllication and further study the cavity expansion model.key words：spherical

5、expansion； cavity expansion； applied mechanics； plasticity空腔膨脹模型自提出至今無(wú)論是土木工程、礦業(yè)工程還是軍事工程都得到了廣泛的應(yīng)用與推廣，自從空腔膨脹模型首次被引入桿彈對(duì)金屬類延性靶板的準(zhǔn)靜態(tài)/動(dòng)態(tài)侵徹行為分析1半個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，得到更多力學(xué)學(xué)者的關(guān)注和研究。在此創(chuàng)新性的工作1基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)2考慮了材料的可壓縮性，并推導(dǎo)出此種情況下的空腔膨脹模型中相應(yīng)的物理量的計(jì)算式；同時(shí)，文獻(xiàn)3以另一種方法推導(dǎo)出考慮材料壓縮特征的空腔膨脹模型中相關(guān)物理量的解析解。文獻(xiàn)4對(duì)二戰(zhàn)期間空腔膨脹模型的研究成果進(jìn)行了綜述。之后，文獻(xiàn)5對(duì)勻速球腔膨脹問(wèn)題進(jìn)行了分

6、析，文獻(xiàn)6根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀察對(duì)空腔膨脹模型進(jìn)行了分析，文獻(xiàn)7對(duì)金屬材料中空腔膨脹非穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。在侵徹力學(xué)理論研究方面，文獻(xiàn)8-10對(duì)考慮材料壓縮性情況下動(dòng)態(tài)空腔膨脹問(wèn)題進(jìn)行了系列的研究討論，特別地，在延性材料的抗侵徹問(wèn)題中，動(dòng)態(tài)空腔膨脹得到許多學(xué)者11-19的應(yīng)用和推廣。文獻(xiàn)20對(duì)空腔膨脹模型進(jìn)行了總結(jié)和研究。雖然當(dāng)前在此方面的研究眾多，但各研究之中存在許多不統(tǒng)一之處，各有優(yōu)缺點(diǎn)，例如，一般以拉為正，但有些研究以壓為正，有些在euler坐標(biāo)系下進(jìn)行推導(dǎo)20-23，也有點(diǎn)在lagrange坐標(biāo)系下進(jìn)行推導(dǎo)4。這在很大程度上限制了空腔膨脹模型在工程中的應(yīng)用。對(duì)金屬延性材料中球腔膨脹模型的研究已經(jīng)有

7、半個(gè)多世紀(jì)了，然而除了存在上述所提的問(wèn)題之外，當(dāng)前的研究還存在一些不足之處：首先，在膨脹過(guò)程中存在彈性壓縮和塑性壓縮兩個(gè)過(guò)程，因而在不可壓縮假設(shè)過(guò)程中應(yīng)區(qū)分兩種情況下的區(qū)別，也需要考慮應(yīng)變包含彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變這一事實(shí)，這點(diǎn)在當(dāng)前的一些研究中沒(méi)有體現(xiàn)；其次，絕大部分研究所計(jì)算出的塑性區(qū)域相對(duì)尺寸是一個(gè)固定值，事實(shí)上，這個(gè)沒(méi)有體現(xiàn)壓縮過(guò)程中的實(shí)際情況，從而導(dǎo)致其彈性解與塑性解之間不連續(xù)。本文參考當(dāng)前國(guó)際對(duì)球腔膨脹模型的研究，在討論分析當(dāng)前的相關(guān)研究中的不足之處和待改進(jìn)之處，借鑒當(dāng)前學(xué)者的研究方法，給出系統(tǒng)的、思想統(tǒng)一的和較易理解和應(yīng)用的一種新的推導(dǎo)過(guò)程與結(jié)論。1球腔膨脹模型的彈性解在無(wú)限介質(zhì)中，

8、內(nèi)部球形內(nèi)腔由于壓力向外部呈球形膨脹，初期周邊只有彈性變形，但隨著內(nèi)部壓力的增大，從而形成最內(nèi)部為塑性變形、外部為彈性變形、無(wú)限遠(yuǎn)處可認(rèn)為無(wú)變形等三個(gè)區(qū)域。利用彈塑性力學(xué)，可以求出球腔內(nèi)表面及介質(zhì)內(nèi)部的壓力等相關(guān)參數(shù)。1.1彈性解的推導(dǎo)在無(wú)限彈塑性介質(zhì)中，若初始球腔壓力為0，此時(shí)向球腔內(nèi)表面緩慢施加作用力，使得材料變形行為為準(zhǔn)靜態(tài)，在初期，材料中的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)為彈性狀態(tài)。對(duì)于球腔膨脹模型，則有應(yīng)力平衡方程即當(dāng)球腔膨脹到a0+a時(shí)，介質(zhì)中才開(kāi)始出現(xiàn)塑性壓縮行為。1.2彈性解的分析與討論在上述準(zhǔn)靜態(tài)球腔膨脹模型的彈性解的推導(dǎo)過(guò)程中，整個(gè)過(guò)程并沒(méi)有假設(shè)彈性不可壓，完全根據(jù)彈性理論進(jìn)行推導(dǎo)，所以也應(yīng)適合

9、于彈性可壓縮即泊松比不為0.5時(shí)的情況，所以該彈性解為準(zhǔn)靜態(tài)球腔膨脹模型中線彈性材料的解。而從式（6）可知即體應(yīng)變?yōu)?。在整個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中只有一處假設(shè)，即小應(yīng)變假設(shè)，忽略了真應(yīng)變中的高階項(xiàng)，而體應(yīng)變恰恰是徑向和環(huán)向應(yīng)變的高階小量，所以出現(xiàn)此結(jié)果；而且，從推導(dǎo)結(jié)果來(lái)看，小應(yīng)變假設(shè)是合理較準(zhǔn)確的，所以該解也是合理準(zhǔn)確的，適合與可壓縮和不可壓縮兩種情況的。2塑性不可壓介質(zhì)彈塑性解不可壓縮假設(shè)應(yīng)包含兩個(gè)意義：彈性不可壓和塑性不可壓。前者一般存在誤差，因?yàn)榻饘俨牧系膹椥噪A段的泊松比v一般明顯小于0.5，如普通45號(hào)鋼為0.29，所以在壓縮過(guò)程中密度會(huì)逐漸增大，但由于其彈性應(yīng)變極小，所以此類假設(shè)雖然理論上不

10、正確但計(jì)算結(jié)果誤差較??；后者在一般壓縮過(guò)程中基本成立，在很多屈服準(zhǔn)則中，假定金屬類材料塑性不可壓，只是在高速侵徹和爆炸過(guò)程中由于高溫高壓條件下，才考慮其可壓縮性。另一方面，應(yīng)變也包含彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變部分，總應(yīng)變可假設(shè)為兩種應(yīng)變之和。相對(duì)于其他學(xué)者的推導(dǎo)過(guò)程，文獻(xiàn)20的推導(dǎo)過(guò)程較為簡(jiǎn)潔易懂，只由euler坐標(biāo)系下的質(zhì)量守恒方程方程推導(dǎo)出相關(guān)解，但其假設(shè)介質(zhì)彈塑性皆不可壓，因此推導(dǎo)過(guò)程與結(jié)論稍顯粗糙；文獻(xiàn)6直接給出塑性相對(duì)尺寸，雖然在塑性區(qū)域相對(duì)尺寸的結(jié)果中存在泊松比參數(shù)，但推導(dǎo)中并沒(méi)有完全體現(xiàn)彈性壓縮等現(xiàn)象。2.1塑性不可壓縮介質(zhì)中的塑性區(qū)域相對(duì)尺寸在上節(jié)的彈性區(qū)域內(nèi)應(yīng)力等量的推導(dǎo)過(guò)程中，假設(shè)

11、應(yīng)變極小從而滿足小應(yīng)變理論，結(jié)果表明該假設(shè)是合理可行的；而在塑性變形中，其應(yīng)變往往不一定能夠滿足該理論，而且很多時(shí)候其應(yīng)變值很大；因此，此時(shí)應(yīng)變不能取值為cauchy應(yīng)變，而應(yīng)為真應(yīng)變。根據(jù)文獻(xiàn)4的推導(dǎo)結(jié)果，有式（13）推導(dǎo)的是塑性階段的質(zhì)量守恒方程，需要注意的是p0表示介質(zhì)中剛達(dá)到塑性變形時(shí)的初始密度，而不是整個(gè)階段包括彈性變形的初始密度，如圖1所示。從圖1可以看出，從p0變化p至經(jīng)歷兩個(gè)主要階段：首先，塑性變形從內(nèi)邊界傳遞到物質(zhì)坐標(biāo)r-u處，此階段內(nèi)，此階段的變形為彈性變形；其次，該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到瞬時(shí)坐標(biāo)r處，此階段的變形為塑性變形。在彈性階段，介質(zhì)的體應(yīng)變?yōu)閺较蚝铜h(huán)向應(yīng)變的高階小項(xiàng)，所以其中極

12、小，再根據(jù)塑性不可壓假設(shè)，可認(rèn)為兩者之間的值相等，所以其比值為1。然而此時(shí)，其邊界條件并不是當(dāng)前現(xiàn)有研究中的u（a）=a-a0（為a0初始球腔半徑），因?yàn)樗苄噪A段的位移是從介質(zhì)達(dá)到彈性極限時(shí)開(kāi)始計(jì)算的，根據(jù)式（10）可知，在塑性階段開(kāi)始時(shí)， 球腔內(nèi)壁半徑已經(jīng)膨脹了a，因此其邊界條件應(yīng)為u（a）=a-a0-a，根據(jù)式（13），可有上式說(shuō)明，球腔內(nèi)徑膨脹到aa0+a時(shí)才開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形，即此時(shí)才有c0，而不是當(dāng)前文獻(xiàn)中，aa0時(shí)就出現(xiàn)塑性變形，這與球腔膨脹過(guò)程中的物理過(guò)程相符。其次，以上述的45號(hào)鋼為例，其屈服強(qiáng)度為355mpa，泊松比為0.29，楊氏模量為206gpa，兩者之間的關(guān)系如圖2所示。

13、圖2中對(duì)不同彈性屈服應(yīng)變時(shí)塑性區(qū)域相對(duì)尺寸之間的關(guān)系進(jìn)行了描述，其中泊松比取為0.29。由圖2（a）可知，在球腔膨脹初期，隨著孔洞的增大，塑性區(qū)域尺寸迅速增加，但當(dāng)孔洞直徑增大到原有的兩倍之后，塑性區(qū)域的相對(duì)尺寸基本恒定，并不明顯隨孔洞尺寸的增加而增大1，20；影響塑性區(qū)域最終相對(duì)尺寸的最大因素是材料的彈性屈服應(yīng)變。而從圖2（b）可知，塑性區(qū)域的相對(duì)尺寸一直為彈性碰撞，內(nèi)徑到達(dá)a=a0+a后才逐漸出現(xiàn)塑性區(qū)域，之后逐趨穩(wěn)定，與時(shí)間情況是吻合的，而且該解能夠與彈性解保持連續(xù)性。同樣，以上文的45號(hào)鋼為例，對(duì)比本文的推導(dǎo)結(jié)果與當(dāng)前研究結(jié)果，如圖3所示。從圖3可以看出，當(dāng)球腔膨脹相對(duì)內(nèi)徑大于3.5之

14、后，本研究的結(jié)果與文獻(xiàn)1的研究結(jié)果基本一致，且皆大于文獻(xiàn)20的簡(jiǎn)化結(jié)果，即說(shuō)明考慮彈性階段的可壓縮性所得到的塑性區(qū)域相對(duì)尺寸稍大于不可壓縮假設(shè)下的結(jié)果。2.2塑性不可壓縮介質(zhì)中的球腔內(nèi)壁壓力如式（7）所示，當(dāng)球腔內(nèi)邊界壓力大于時(shí)，材料進(jìn)入屈服階段。如圖1所示，此時(shí)在鄰近球腔內(nèi)邊界區(qū)域首先形成塑性區(qū)，較遠(yuǎn)區(qū)才為彈性區(qū)域。對(duì)于一般金屬材料而言，在準(zhǔn)靜態(tài)加載作用下，其應(yīng)變率及塑性變形導(dǎo)致的溫升都極小，可以不予考慮。因此可簡(jiǎn)單的認(rèn)為塑性階段材料中的等效應(yīng)力取決于其初始屈服強(qiáng)度和等效應(yīng)變。上式簡(jiǎn)化結(jié)果與文獻(xiàn)1的研究結(jié)果一致，其一般連續(xù)解為式（36）。3塑性可壓介質(zhì)彈塑性解的推導(dǎo)與分析3.1準(zhǔn)靜態(tài)理想彈塑

15、性性介質(zhì)中球腔膨脹模型彈塑性解初解式（48）和式（49）即考慮塑性壓縮效應(yīng)時(shí)塑性區(qū)域相對(duì)尺寸和球腔內(nèi)表面壓力的解析表達(dá)式的通解和特殊情況下的解；其中特殊情況下的解與當(dāng)前國(guó)內(nèi)外研究和使用的解析公式一致。利用上述所推導(dǎo)出的模型，可以對(duì)考慮與不考慮材料壓縮性能時(shí)球腔膨脹模型時(shí)的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行對(duì)比，以45號(hào)鋼為例，不考慮材料壓縮性時(shí)塑性相對(duì)尺寸的計(jì)算結(jié)果比考慮材料壓縮性時(shí)的結(jié)果高約12%，其內(nèi)表面的壓力高約5%。3.2初解存在的問(wèn)題分析上述考慮塑性可壓縮效應(yīng)時(shí)的解得到大量的應(yīng)用，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出其他更復(fù)雜本構(gòu)模型時(shí)的解析表達(dá)式和動(dòng)態(tài)球腔膨脹下的解。從上述的結(jié)果分析來(lái)看，考慮塑性壓縮性時(shí)45號(hào)鋼所得的解

16、明顯小于塑性不可壓假設(shè)前提下的對(duì)應(yīng)的解。從上述的推導(dǎo)方法可以看出，主要基礎(chǔ)就是式（42）所示的質(zhì)量守恒方程，然而，在其基礎(chǔ)和推導(dǎo)過(guò)程中存在以下幾個(gè)概念性的問(wèn)題：上二式與式（48）（49）一致，說(shuō)明當(dāng)前通用的結(jié)論中沒(méi)有區(qū)分彈塑性階段的體積壓縮率，混淆了其概念。而本推導(dǎo)與當(dāng)前推導(dǎo)的基礎(chǔ)除此處修改外，還有一項(xiàng)是本推導(dǎo)考慮到密度增加是從球腔出現(xiàn)塑性變形開(kāi)始，即壓力為當(dāng)前壓力與彈性屈服點(diǎn)壓力之差，但結(jié)果與前文研究結(jié)果一致。原因如下：前文的第一種推導(dǎo)過(guò)程中利用屈服條件y=-r，使整個(gè)計(jì)算納入塑性范疇，在此方面兩者推導(dǎo)結(jié)果一致，但該修正是具有物理意義的。以45號(hào)鋼為例（同上忽略初始球腔尺寸），則其塑性區(qū)域相

17、對(duì)尺寸和球腔內(nèi)表面的壓力隨塑性泊松比的值如圖5所示。圖5塑性區(qū)域相對(duì)尺寸與內(nèi)表面壓力隨塑性泊松比的變化趨勢(shì)從圖5中可以看出，以45號(hào)鋼為例，考慮塑性變形階段介質(zhì)的可壓縮性會(huì)減小塑性區(qū)域相對(duì)尺寸以及球腔內(nèi)邊界壓力的值，但考慮到金屬延性材料的塑性壓縮率遠(yuǎn)小于彈性壓縮率，其減小的幅度小于文獻(xiàn)20。4結(jié)論空腔膨脹模型自從提出以來(lái)，在許多工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。本文針對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)球腔膨脹模型，參考借鑒當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的研究思想，對(duì)球腔膨脹過(guò)程介質(zhì)中的彈性應(yīng)力狀態(tài)及相關(guān)參數(shù)的求解進(jìn)行了推導(dǎo)，并分別在euler坐標(biāo)系中對(duì)考慮塑性階段材料的壓縮率和不考慮其壓縮率兩種情況下的相關(guān)參數(shù)解進(jìn)行了推導(dǎo)和討論，校正了當(dāng)前推導(dǎo)過(guò)

18、程中的一些不足之處。主要結(jié)論如下：1）分析表明，在彈性解的推導(dǎo)過(guò)程中，小應(yīng)變假設(shè)是合理和較準(zhǔn)確的；然而，由于體應(yīng)變是徑向和環(huán)向應(yīng)變的高階小量，從而導(dǎo)致小應(yīng)變假設(shè)中體應(yīng)變被忽略。因而，球腔膨脹模型中，彈性解具有普適性，對(duì)于考慮塑性壓縮性和不考慮塑性壓縮性情況時(shí)其解基本一致。2）在塑性不可壓假設(shè)下，考慮了彈性壓縮階段的壓縮性和初始球腔尺寸，得到了塑性相對(duì)尺寸和球腔內(nèi)壁壓力的連續(xù)的通解。該解考慮了塑性變形時(shí)球腔內(nèi)已具備的彈性應(yīng)變，也考慮了初始球腔尺寸不為0的情況，描述了球腔膨脹塑性變形初期相關(guān)參數(shù)如塑性尺寸、內(nèi)壁壓力隨球腔尺寸變化的規(guī)律；同時(shí)，該塑性解能夠與彈性解保持很好的連續(xù)性，并對(duì)幾種典型材料本

19、構(gòu)模型時(shí)的具體解進(jìn)行了分析討論。最后，將該解與當(dāng)前國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中所求得的常用解進(jìn)行了對(duì)比分析，分析表明，當(dāng)前文獻(xiàn)中的解為本文所推導(dǎo)出的解的特解。3）在考慮介質(zhì)可壓縮性的前提下，借鑒當(dāng)前學(xué)者的推導(dǎo)思想，給出了euler坐標(biāo)系中的相關(guān)解，并對(duì)改進(jìn)進(jìn)行了討論分析。然而，當(dāng)前解存在兩個(gè)問(wèn)題：一為與塑性不可壓假設(shè)下的解不連續(xù)，二為彈塑性階段泊松比概念模糊。分析表明，實(shí)際上此兩個(gè)問(wèn)題的根源就只有一個(gè)問(wèn)題，即在推導(dǎo)中混淆了彈性體積壓縮率和塑性階段體積壓縮率的概念。在此基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行了推導(dǎo)，得到了考慮初始球腔尺寸和塑性變形前的彈性應(yīng)變等情況下的通解，結(jié)果表明，該解與不考慮塑性變形下的結(jié)果連續(xù)，即假設(shè)塑性階段的泊

20、松比為0.5時(shí)，兩解一致，解決了當(dāng)前解存在的問(wèn)題；并給出了相關(guān)解隨塑性泊松比的變化而改變的規(guī)律，對(duì)比分析顯示，當(dāng)前通用解是該解的一種特解。本文中的所有推導(dǎo)都是基于euler坐標(biāo)完成的，推導(dǎo)過(guò)程中參考了當(dāng)前國(guó)內(nèi)外相關(guān)的思想，并對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，推導(dǎo)結(jié)果為球腔膨脹模型的通解，適用情況更加廣泛，為工程應(yīng)用提供了一定的參考作用。參考文獻(xiàn)：1bishop r f， hill r， mott n f. the theory of indentation and hardness testj. the proceedings of the physical society， 1945， 57（3）： 147-1

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