大物期末習題

1、1 1 例題例題：假設物體以初速度：假設物體以初速度v0沿與水平方向成角沿與水平方向成角 方方向被拋出向被拋出, 求物體運動的軌道方程、射程、飛行時間和求物體運動的軌道方程、射程、飛行時間和物體所能到達的最大高度。物體所能到達的最大高度。0 拋體運動可以看作為拋體運動可以看作為x方向方向的勻速直線運動和的勻速直線運動和y方向的勻方向的勻變速直線運動相疊加。變速直線運動相疊加。0 xy0vO解解：首先必須：首先必須建立坐標系建立坐標系, 取拋射點為坐標原點取拋射點為坐標原點O, x 軸水平向右軸水平向右, y 軸豎直向上軸豎直向上, 如圖。如圖。運動疊加原理是求解復雜運動的有力工具。運動疊加原理

2、是求解復雜運動的有力工具。 2 2()(cos)tan0002220 xgvxxvg20202sin10 x 解得：解得：（射程）（射程）物體的飛行時間物體的飛行時間Txvvg200002cossin拋射角拋射角 0 = /4時時,最大射程最大射程gvx20max0 xy0vO00cos00(cos)xvxvtt將將x2代入上式，得代入上式，得3 30 xy0vO由（由（1）、（）、（2）得：）得：yxgvx()(cos)tan000222拋體運動軌道方程拋體運動軌道方程 00000,cos,(cos)xxavvxvt00200,sin,1(sin)2yyagvvgtyvtgt (1)(2)討

3、論：討論：令令y = 0，得，得 ()(cos)tan0002220 xgvx4 4 實際運動軌道是彈道曲線，射實際運動軌道是彈道曲線，射程和最大高度都比上述值要小。程和最大高度都比上述值要小。 最大高度最大高度 :Hvg02202sin當物體到達最大高度時當物體到達最大高度時, 必有必有0yvtvg100sin物體達最大高度的時間物體達最大高度的時間0 xy0vO將上式代入將上式代入2001(sin)2yvtgt5 5()(cos)tan0002220 xgvxxvg20202sin10 x 解得：解得：（射程）（射程）物體的飛行時間物體的飛行時間Txvvg200002cossin拋射角拋射

4、角 0 = /4時時,最大射程最大射程gvx20max0 xy0vO00cos00(cos)xvxvtt將將x2代入上式，得代入上式，得6 6 實際運動軌道是彈道曲線，射實際運動軌道是彈道曲線，射程和最大高度都比上述值要小。程和最大高度都比上述值要小。 最大高度最大高度 :Hvg02202sin當物體到達最大高度時當物體到達最大高度時, 必有必有0yvtvg100sin物體達最大高度的時間物體達最大高度的時間0 xy0vO將上式代入將上式代入2001(sin)2yvtgt7 7 例例1：通過絞車拉動湖中小船拉向岸邊：通過絞車拉動湖中小船拉向岸邊, 如圖。如如圖。如果絞車以恒定的速率果絞車以恒定

5、的速率u拉動纖繩拉動纖繩, 絞車定滑輪離水面絞車定滑輪離水面的高度為的高度為h, 求小船向岸邊移動的速度和加速度。求小船向岸邊移動的速度和加速度。 解解：以絞車定滑輪處為坐標原點：以絞車定滑輪處為坐標原點, x 軸水平向軸水平向右右, y 軸豎直向下軸豎直向下, 如圖所示。如圖所示。xlhyoxxlhu8 8 設設:小船到坐標原點的距離為小船到坐標原點的距離為l, 任意時刻小船到岸邊的距離任意時刻小船到岸邊的距離x總總滿足滿足 x 2 = l 2 h 2 兩邊對時間兩邊對時間t 求導數(shù)求導數(shù), 得得 22xxtlltdddd 絞車拉動纖繩的速率絞車拉動纖繩的速率, 纖繩隨時間在纖繩隨時間在縮短

6、縮短, 故故 ; 是小船向岸邊移動的速是小船向岸邊移動的速率。率。ddltu ddlt 0ddxtvxlhyoxuxhxuxlv22 負號表示小船速負號表示小船速度沿度沿x 軸反方向。軸反方向。 9 92222222dlld xd dddtalhdtdt dtdtlh2222dludludtdtlhlh 根據(jù)數(shù)學公式：2vuvvuuu22222222dlldldtlhldtlhaulh 2-10102222222222222222()llhlhllhuulhlhlh222223u hu hxxx 小船的加速度隨著到岸邊距離的減小而急劇增大小船的加速度隨著到岸邊距離的減小而急劇增大2222222

7、2dlldldtlhldtlhaulh -1111 解解：質(zhì)點的切向加速度和法向加速度分別為：質(zhì)點的切向加速度和法向加速度分別為 例例2: 質(zhì)點以初速質(zhì)點以初速 沿半徑為沿半徑為R 的圓周運動的圓周運動, 其其加速度方向與速度方向夾角加速度方向與速度方向夾角 為恒量為恒量, 求質(zhì)點速求質(zhì)點速率與時間的關系。率與時間的關系。 v02nd,dvvaatR分離變量分離變量ddtanvvtR2vtRvaaddtan2tnvaana 1212這就是所要求的速率與時間的關系。這就是所要求的速率與時間的關系。 110vvtRtan得得ddtan vvtRvvt200積分積分1313 習習 題題1-4 現(xiàn)有一

8、矢量現(xiàn)有一矢量R是時間是時間t的函數(shù)，問的函數(shù)，問 與與 在在一般情況下是否相等？為什么？一般情況下是否相等？為什么？ddRtddRt 解解: 與 在一般情況下是不相等的。因為在一般情況下是不相等的。因為前前者是對矢量者是對矢量R的絕對值的絕對值(大小或長度大小或長度)求導，表示矢求導，表示矢量量R的大小隨時間的變化率的大小隨時間的變化率；而；而后者是對矢量后者是對矢量R的的大小和方向兩者同時求導，再取絕對值，表示矢量大小和方向兩者同時求導，再取絕對值，表示矢量R大小隨時間的變化和矢量大小隨時間的變化和矢量R方向隨時間的變化兩方向隨時間的變化兩部分的絕對值。部分的絕對值。如果矢量如果矢量R方向

9、不變只是大小變化，方向不變只是大小變化，那么這兩個表示式是相等的。那么這兩個表示式是相等的。 ddRtddRt14141-12 設質(zhì)點的位置與時間的關系為設質(zhì)點的位置與時間的關系為x = x(t)，y = y(t)，在計算質(zhì)點的速度和加速度時，如果先，在計算質(zhì)點的速度和加速度時，如果先求出求出 ，然后根據(jù)，然后根據(jù) 和和 求得結(jié)果；還可以用另一種方法計算：先算出速求得結(jié)果；還可以用另一種方法計算：先算出速度 和 加 速 度 分 量 ， 再 合 成 ， 得度 和 加 速 度 分 量 ， 再 合 成 ， 得 v = 和和rxy22vrtddartdd22()()ddddxtyt22axtyt()(

10、)dddd222222。你認為哪一組結(jié)果正確？。你認為哪一組結(jié)果正確？為什么？為什么？ 1515解解 第二組結(jié)果是正確的。而在一般情況下第一第二組結(jié)果是正確的。而在一般情況下第一組結(jié)果不正確，這是因為在一般情況下組結(jié)果不正確，這是因為在一般情況下vtrtatrtdddddddd22rr,22 速度和加速度中的速度和加速度中的r是質(zhì)點的位置矢量，不僅有是質(zhì)點的位置矢量，不僅有大小而且有方向，微分時，既要對大小微分也要對大小而且有方向，微分時，既要對大小微分也要對方向微分。第一組結(jié)果的錯誤就在于，只對位置矢方向微分。第一組結(jié)果的錯誤就在于，只對位置矢量的大小微分，而沒有對位置矢量的方向微分。量的大

11、小微分，而沒有對位置矢量的方向微分。16161-21 質(zhì)點從傾角為質(zhì)點從傾角為 =30 的斜面上的的斜面上的O點被拋出，點被拋出，初速度的方向與水平線的夾角為初速度的方向與水平線的夾角為 = 30 ， 如圖所如圖所示，初速度的大小為示，初速度的大小為v0 = 9.8 m s 1 。若忽略空氣。若忽略空氣的阻力，試求：的阻力，試求：(1) 質(zhì)點落在斜面上的質(zhì)點落在斜面上的B點離開點離開O點的距離；點的距離；(2) 在在t = 1.5 s時，質(zhì)點的速度、切向加速度和法時，質(zhì)點的速度、切向加速度和法向加速度。向加速度。1717解解 建立如圖所示的坐標系建立如圖所示的坐標系 avvxvtxx000co

12、s(cos )agvvgtyvtgtyy 00212sin(sin ) (1) 設設B點到點到O點的距離為點的距離為l，則，則B點的坐標可以表示為點的坐標可以表示為 如果質(zhì)點到達如果質(zhì)點到達B點的時間為點的時間為 ，則可以列出下面的方程式，則可以列出下面的方程式 xlyl cos,sin. (1) xlvcos(cos ), 01818以上兩式聯(lián)立，可解得以上兩式聯(lián)立，可解得20vgsin()cos (3) ylvg sin(sin ) 0212(2) 將式將式(3)代入式代入式(1)，得，得lvg219602sin()coscos.m1919 (2) 設在設在t = 1.5 s 時質(zhì)點到達時

13、質(zhì)點到達C點，此時點，此時 vvx0185cos.m svvgy 0198sin.m s所以速度的大小為所以速度的大小為vvvxy221130 .m s速度與速度與y軸負方向的夾角為軸負方向的夾角為arctanarctan0.867 =vvxy40 562020agtm scos.742agnm ssin.6422121 例題例題6：在傾角為在傾角為 的山坡上安放一尊大炮，大炮的山坡上安放一尊大炮，大炮相對山坡的仰角為相對山坡的仰角為 ，所發(fā)射炮彈的初速為，所發(fā)射炮彈的初速為v0。忽。忽略了空氣阻力，求炮彈擊中目標的位置、最大射略了空氣阻力，求炮彈擊中目標的位置、最大射程和對應最大射程的仰角。

14、程和對應最大射程的仰角。 解解:取炮口為坐標原點，取炮口為坐標原點，取取x軸沿水平向右、軸沿水平向右、y軸豎軸豎直向上，建立坐標系。直向上，建立坐標系。 該題與拋體運動無本質(zhì)差異，只是炮彈的著地該題與拋體運動無本質(zhì)差異，只是炮彈的著地點點P不是在水平面上，而是在傾角為不是在水平面上，而是在傾角為 的山坡上。的山坡上。另外，炮彈著地點另外，炮彈著地點P不是在水平面上不是在水平面上 2222根據(jù)拋物線方程：根據(jù)拋物線方程：山坡的直線方程為山坡的直線方程為 yxgxvtan()cos ()20222 (1) yxtan(2) （1）、（）、（2）聯(lián)立得：）聯(lián)立得：xvgk102()yvgk102()

15、 tan(3) 2323其中其中k()sin ()tancos ()222最大射程應該滿足下面的條件：最大射程應該滿足下面的條件： ddx10 由這個方程可以求得對應最大射程的仰角。由這個方程可以求得對應最大射程的仰角。將將x1代入上式，得代入上式，得20120dd()dd2cos2()tansin2()0vxkgvg2424于是得到于是得到cot ()tancot()22 2()2由此可解得對應最大射程的仰角，為由此可解得對應最大射程的仰角，為42 射程射程R是從坐標原點是從坐標原點(即炮口即炮口)沿山坡到擊中點沿山坡到擊中點P的的距離距離OP，不要錯誤地認為就是，不要錯誤地認為就是x1。所

16、以射程應為。所以射程應為 Rxvgk102coscos()25252022vgcostan()tan cos ()2022022cos()sincossin(2)sin cosvgvg 將對應最大射程的仰角值代入上式，即可得將對應最大射程的仰角值代入上式，即可得到最大射程，為到最大射程，為 Rvgmax0221cos(sin )例例1： 應以多大速度發(fā)射，才能使人造地球衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運動應以多大速度發(fā)射，才能使人造地球衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運動? 解：解：地球近似半徑為地球近似半徑為R的均勻球體的均勻球體, 衛(wèi)星離衛(wèi)星離地面高度為地面高度為h, 繞地球作勻速圓周運動所需繞地球作勻速圓周運動

17、所需向心力為向心力為 若衛(wèi)星只受地球引力作用若衛(wèi)星只受地球引力作用, 引力就是衛(wèi)星作勻速圓周運動的向心力。引力就是衛(wèi)星作勻速圓周運動的向心力。 地地球的引力球的引力 在半徑等于地球半徑的圓形軌道上運行的衛(wèi)星所在半徑等于地球半徑的圓形軌道上運行的衛(wèi)星所需速度需速度, ,就是發(fā)射衛(wèi)星所需速度，即就是發(fā)射衛(wèi)星所需速度，即第一宇宙速度第一宇宙速度。 FmvrmvRh122FGMmrGMmRh222()由由F1 = F2 得得 vGMRhvR g11-3sm109 . 7 T0 = T0 ，作用力和反作用力，作用力和反作用力 ；繩子不可伸長繩子不可伸長, 物體的加速度物體的加速度a 必定等于繩子的加速度

18、必定等于繩子的加速度a 。例例2:光滑桌上有一均勻細繩光滑桌上有一均勻細繩, 質(zhì)量質(zhì)量m、長度、長度 l, 一端一端系質(zhì)量為系質(zhì)量為M的物體的物體, 另一端施加一水平拉力另一端施加一水平拉力F。求。求 (1) 細繩作用于物體上的力細繩作用于物體上的力, (2) 繩上各處的張力。繩上各處的張力。解解: (1) 根據(jù)題意根據(jù)題意, 取物體和繩子為隔離體取物體和繩子為隔離體,分析分析其受力情況并畫出受力圖：其受力情況并畫出受力圖： MMgNT0aT0 Fa mgNs 建立坐標系建立坐標系, 取繩子與物體的接觸點為坐標原取繩子與物體的接觸點為坐標原點點O, x軸沿繩子水平向右軸沿繩子水平向右, y軸豎

19、直向上。在軸豎直向上。在x方方向和向和y方向分別列出物體和繩子的運動方程方向分別列出物體和繩子的運動方程 x方向：方向：T0=Ma , F T0=ma y 方 向 ：方 向 ： N M g = 0 , Ns mg=0物體和繩子的加速度為物體和繩子的加速度為aFMm繩作用于物體繩作用于物體拉力拉力為為TMMmF0 一般物體所受繩子的拉力一般物體所受繩子的拉力T0 總小于外力總小于外力F, 只只有當繩子的質(zhì)量可以忽略時有當繩子的質(zhì)量可以忽略時, 它們才近似相等。它們才近似相等。 OxyOxy (2) 在在 x 處取繩元處取繩元 dx (質(zhì)量質(zhì)量dm)作作為為隔離體隔離體, 分析受力，列運動方程分析

20、受力，列運動方程 dmx+dxxTT+dTadmgdNs x方向上：方向上：y方向上：方向上：()TTTa mdd0dsdgmN將將 和和 代代入得入得 ddmmlxaFMm()()TTTmFl MmxddddTmFl Mmx()xmMlmFTlxFTd)(dTFmFl MmlxMmxlFMm()()() 例例3：質(zhì)量為質(zhì)量為mA和和mB兩物體摞在桌面上。兩物體摞在桌面上。A與與B間間最大靜摩擦系數(shù)為最大靜摩擦系數(shù)為 1 , B與桌面的滑動摩擦系數(shù)為與桌面的滑動摩擦系數(shù)為 2, 現(xiàn)用水平向右的力現(xiàn)用水平向右的力F拉物體拉物體B, 試求當試求當A、B間無相對間無相對滑動并以共同加速度向右運動時滑

21、動并以共同加速度向右運動時, F的最大值。的最大值。 解：解：分別取分別取A和和B為研究對象。為研究對象。 建立坐標系取建立坐標系取x軸水平向右軸水平向右, 取取y軸豎直向上。沿軸豎直向上。沿x軸向右為正軸向右為正,向左為負向左為負; 沿沿y軸向上為正向下為負。軸向上為正向下為負。FABAmAgN1f0f0 FmBgN2N1 fB由牛頓第二定律和摩擦力的規(guī)律列出方程式：由牛頓第二定律和摩擦力的規(guī)律列出方程式：F = ( 1 + 2 ) (mA + mB ) g對物體對物體A：f0=mAa, N1 mAg=0, f0= 1N1 對對B：F f0 f=mBa, N2 N1 mBg=0, f= 2

22、N2 在考慮在考慮A、B之間的摩擦力時之間的摩擦力時, 使用的是最大靜使用的是最大靜摩擦力摩擦力f0 和和f0 , 所以上面求得的所以上面求得的F值是使值是使A、B之之間無相對滑動、且共同向右運動時的最大值。間無相對滑動、且共同向右運動時的最大值。 若若F ( 1+ 2) (mA+mB) g , 則則A、B之間必定之間必定出現(xiàn)相對滑動。出現(xiàn)相對滑動。32 例1:超重與失重：臺秤上顯示的體重讀數(shù)是多少？)(agmN向下 失重afmgN)(agmNa向上 超重0Nmgf 解:afma 0Nmgmaaf0Nmgma33例2: 求地球表面緯度處質(zhì)量為m的物體的重量。 解: 設地球是半徑R均勻球體, 自

23、轉(zhuǎn)角速度, 為了便于分析, 將該重物用繩懸掛在緯度處,并相對于地球處于靜止狀態(tài)。0*F FT TF F*FFTWmTFWF*FmR2cos慣性離心力 除慣性離心力外, 還有地球?qū)λ娜f有引力F和繩子對它的張力T, 并且有 34mTFWF*2222422222cos2coscos2RmFRmFFFFFW利用余弦定理 很小, 上式高次方項可略去, 所以 729105.rad s-1212221/)cos(FRmFW麥克勞林的展開式 (1)(1)(1)(1)1,12!mnxmmmmm nmxxxn 35 處于地球表面的物體所受地球的萬有引力與重力是不同的, 而且物體的質(zhì)量與重量這兩個概念是有本質(zhì)差別

24、的。 22221cos)cos(RmFFRmF重量隨所處緯度的增高而增大212221/)cos(FRmFWFgmTyxO 例例1 1：質(zhì)量為：質(zhì)量為m的小球系于長度為的小球系于長度為R的細繩末端的細繩末端, , 細細繩的另一端固定在點繩的另一端固定在點A, , 將小球懸掛在空間?，F(xiàn)將小球懸掛在空間?，F(xiàn)小球在小球在水平推力水平推力F的作用下的作用下, , 緩慢地從豎直位置移到細繩與豎緩慢地從豎直位置移到細繩與豎直方向成直方向成 角的位置角的位置。求水平推力。求水平推力F 所作的功所作的功( (不考慮不考慮空氣阻力空氣阻力) )。 解：取如圖所示的坐標系解：取如圖所示的坐標系, ,0=+gmTF其

25、分量式為其分量式為: 在在x方向方向 :FT=sin 在在y方向方向 :TmgcosAR小球受推力小球受推力 、細繩的張力和小球所受、細繩的張力和小球所受重力重力 三個力始終是平衡的三個力始終是平衡的, 即即 FTgmFmgFtan=上兩式相除得：上兩式相除得：取元位移取元位移 ，變力，變力 所作的元功為：所作的元功為：ldF偏轉(zhuǎn)偏轉(zhuǎn) 角的過程中的總功為：角的過程中的總功為：)cos1 (dsindcostandcosd000RmgRmgmgRFRAARFsFlFAdcosdcosdddFgmTyxO hldARF 例例2：已知彈簧的勁度系數(shù)：已知彈簧的勁度系數(shù)k = 200 N m 1 ,

26、若忽略彈若忽略彈簧的質(zhì)量和摩擦力簧的質(zhì)量和摩擦力,求將彈簧壓縮求將彈簧壓縮10 cm , 彈性力所作彈性力所作的功和外力所作的功。的功和外力所作的功。 xoyxxoy解：取如圖所示的坐標系解：取如圖所示的坐標系彈簧的彈力為：彈簧的彈力為：ikxF-在在x 處取元位移處取元位移 dx, 彈力所作元功彈力所作元功xkxi xikxi xFAddd d-彈性力所作的總功為：彈性力所作的總功為：0.10.1200dd.0J112AAkx xkx 外力所作的功為：外力所作的功為：J01.AAdxhAB 例例1 1：小球以初速率小球以初速率vA 沿光滑曲面向下滾動沿光滑曲面向下滾動, , 如圖所示。問當小

27、球滾到距出發(fā)點如圖所示。問當小球滾到距出發(fā)點A A的垂直距離的垂直距離為為h 的的B 處時處時, , 速率為多大速率為多大 ? ? NgmyOx解：建立如圖所示的坐標系，解：建立如圖所示的坐標系，小球在滾動過程中受小球在滾動過程中受到到 和和 兩個力的作用。兩個力的作用。gmN合力為合力為：NgmF+=根據(jù)動能定理有：根據(jù)動能定理有：222121dABBAmvmvrF即即222121ddABBABAmvmvrNrgm因因 始終垂直于始終垂直于 ， 所以所以rdN0d BArN而重力加速度的分量式而重力加速度的分量式 ，ggy-=0=xg即即mghmvmvBA121222解得末速率為解得末速率為

28、 vvghBA22于是有于是有2211d22BBAAmgrmvmv 所以所以mghymgymgrgmhBABA0dddhABNgmyOx41選項1鏈接答案衛(wèi)星在衛(wèi)星在A，B兩點處兩點處（請點擊你要選擇的項目）（請點擊你要選擇的項目）的勢能差為的勢能差為上圖中，上圖中，AB衛(wèi)星地球質(zhì)量質(zhì)量m質(zhì)量質(zhì)量M近地點遠地點Or2r1（1）r2mMGr1r1r2（2）r2mMGr1r1r2（3）r2mMGr1r1（4）r2mMGr1r2例 1：求使物體脫離地球引力作用的最小速度。 解：根據(jù)機械能守恒定律有22102mMmvGR（）1 -32sm1021122.gRRGMv 例 2：求使物體不僅擺脫地球引力作

29、用, 而且脫離太陽引力作用的最小速度。 解：根據(jù)機械能守恒定律有2S20120mMmvGr）（所以1302-sm 101422.rGMvS地球公轉(zhuǎn)速度130S1-sm 10729.rGMv物體相對于地球的速度1 -313312sm 10412-sm1072910142.).(vvv相對地球的動能2k21mvE脫離地球引力所需動能222k21mvE所以從地面發(fā)射時所需最小動能為k2kk3EEE 物體沿斜面運行了s = 2.0 m后停止。若忽略空氣阻力, 試求: (1) 斜面與物體之間的摩擦系數(shù)； (2) 物體下滑到出發(fā)點的速率v。 由此可得第三宇宙速度.).().(1 -3-123232223s

30、m 10716sm1021110412vvv 例3:一物體以初速v0= 6.0 m s 1沿傾角為 =30的斜面向上運動,如圖, 0vNfgmcosmgNf摩擦力的大小為所以即有mg smg smvcossin1202解得480028902890623212212021.cossingsgsv2021mvmgslfQPsindcosdcosdmgslmglfQPQP0v0v解： 物體沿斜面上升過程中根據(jù)功能原理得 物體下滑到出發(fā)點過程中, 根據(jù)功能原理得sincossmgmvsmg221即有11 -sm8 . 1sm)230 . 248. 0210 . 28 . 9 (2 )cossin( 2

31、sgsgv解得sindmgsmvlfCQ221Nfgm例4： 一根質(zhì)量均勻分布且不可伸長的柔軟細繩，總長度為l，其一部分放置在光滑的水平桌面上，另一部分經(jīng)桌邊下垂，下垂部分的長度為l0。釋放后繩子從靜止開始下落，求繩子的下落速度與下落長度的關系。 解 建立如圖所示的坐標系Oy0 = l0 把細繩和地球劃為一個系統(tǒng)，由于桌面是光滑的，系統(tǒng)的機械能守恒 設繩子的質(zhì)量為M，它的線密度為 Ml 取繩子全部處于桌面時為勢能的零點02p0001d2lEyg ygl 初狀態(tài)繩子的動能為零。當下端點落到y(tǒng)處時，繩子的速度為v，這是系統(tǒng)的動能為EMvlvk121222yy+dydmdydmggdyydmggyd

32、y 繩子初狀態(tài)的勢能當下端點落到y(tǒng)處時，系統(tǒng)的勢能為Eyg ygyypd 0212根據(jù)機械能守恒定律，應有 EEEpkp01212120222gllvgy解得 ：vglyl()202在繩子全部離開桌面的瞬間，繩子下落的速度為vglll()202 此題也可以用牛頓第二定律求解 根據(jù)牛頓第二定律，在y方向可以列出下面的方程式 MvtMlygddddddddddvtvyytvvy 兩式聯(lián)立得：vvyglyddv vgly yddv vgly ydd 當y = y0時，v = 0，當y = y時，v = v，在此積分限內(nèi)對上式積分00vyyv vgly ydd12122202vglyy()整理，并考慮

33、到y(tǒng)0 = l0得vglyl()202 本 章 習 題2-7 機車的功率為2.0106 W，在滿功率運行的情況下，在100 s內(nèi)將列車由靜止加速到20 ms1 。若忽略摩擦力，試求：(1) 列車的質(zhì)量；(2) 列車的速率與時間的關系；(3) 機車的拉力與時間的關系；(4) 列車所經(jīng)過的路程。解 (1) 將牛頓第二定律寫為下面的形式mtddvFddmv vFv tFv = P，是機車的功率，為一定值。對上式積分 mv vP tvtdd00212mvPtmv vP tvtdd00m 10106. kg (2) 212mvPt22Pvttm (3) 由上式得 ddvttddmt代入式：vFmtF61

34、.0 10Ft(4) 列車在這100秒內(nèi)作復雜運動，因為加速度也在隨時間變化。列車所經(jīng)過的路程 rrrrv000ddtttttt( )sv ttt ttttt( )()./dd m003 210032431310因為直線運動，上式可化為標量式 2-8 質(zhì)量為m的固體球在空氣中運動將受到空氣對它的黏性阻力f的作用，黏性阻力的大小與球相對于空氣的運動速率成正比，黏性阻力的方向與球的運動方向相反，即可表示為f = v，其中是常量。已知球被約束在水平方向上，在空氣的黏性阻力作用下作減速運動，初始時刻t0 ，球的速度為v0 ，試求：(1) t時刻球的運動速度v；(2) 在從t0 到t的時間內(nèi)，黏性阻力所

35、作的功A。 解 (1) 根據(jù)已知條件，可以作下面的運算avtfmmvv ddm其中，ddvvt 00()()/00eet tt tmvvv(2) 在從t0 到t的時間內(nèi)，黏性阻力所作的功Af sfsttfv tvtstttttt dddddd02000000022 ()2 ()2000eded2 ()2ttt tt tttvvttt 1210220mvt tm()/eddvvt 00vtvtdvdtv積分：00ln()vttv 02()201e12t tmv2-17 一個勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定，另一端懸掛一個質(zhì)量為m的小球，這時平衡位置在點A，如圖所示。現(xiàn)用手把小球沿豎直方向拉伸x并達到

36、點B的位置，由靜止釋放后小球向上運動，試求小球第一次經(jīng)過點A時的速率。 解 把小球、彈簧和地球看作為一個系統(tǒng)，則小球所受彈性力和重力都是保守內(nèi)力。系統(tǒng)不受任何外力作用，也不存在非保守內(nèi)力，所以在小球的運動過程中機械能是守恒的。 vkmx12121202022kxxkxmgxmv()()()mgkx()0 勢能零點可以任意選擇，那么彈力勢能的零點若選在點A不是更簡便嗎？ 121222kxmgxmv()()vkmxgx()()222-18 一個物體從半徑為R的固定不動的光滑球體的頂點滑下，問物體離開球面時它下落的豎直距離為多大？ 解 設物體的質(zhì)量為m，離開球面時速度為v，此時它下落的豎直距離為h。

37、對于由物體、球體和地球所組成的系統(tǒng)，沒有外力和非保守內(nèi)力的作用，機械能守恒，故有 21(1)2mghmv 在物體離開球體之前，物體在球面上的運動過程中，應滿足下面的關系2cos(2)mvmgNRcos;RhRN 02RhmvmgRR2()vg RhmgRhRmvR2hR13將上式代入21(1)2mghmvOy例例1: 質(zhì)量為質(zhì)量為M = 5.0 102 kg的重錘從高為的重錘從高為h = 2.0 m處自由下落打在工件上處自由下落打在工件上, 經(jīng)經(jīng) t =1.0 10 2 s 時間速度時間速度變?yōu)榱?。若忽略重錘自身的重量變?yōu)榱?。若忽略重錘自身的重量, 求重錘對工件的平求重錘對工件的平均沖力。均沖

38、力。 解：解：取重錘為研究對象取重錘為研究對象, y 軸豎軸豎 直向上。重錘與工件接觸直向上。重錘與工件接觸 時時, 動量大小為動量大小為 FgMh根據(jù)動量定理得根據(jù)動量定理得Mgh2120MvMvdtFtOyFgMh即即)2(0ghMtF解得解得N101 . 3N100 . 1)0 . 28 . 92(100 . 52522/ 12tghMF根據(jù)牛頓第三定律，重錘對工件的平均沖力大小根據(jù)牛頓第三定律，重錘對工件的平均沖力大小N101 . 35FF方向豎直向下方向豎直向下例題例題2 在如圖所示的裝置中，一不可伸長的輕繩跨過定滑輪，兩端系有質(zhì)量分別在如圖所示的裝置中，一不可伸長的輕繩跨過定滑輪，

39、兩端系有質(zhì)量分別為為m和和M ( m )的物體。開始時的物體。開始時M靜止在地面上，繩子松弛，當物體靜止在地面上，繩子松弛，當物體m自由下落自由下落h的距離后，繩子才被拉緊。滑輪的質(zhì)量和摩擦力都可忽略不計，求繩子剛被拉緊的距離后，繩子才被拉緊?；喌馁|(zhì)量和摩擦力都可忽略不計，求繩子剛被拉緊時物體的運動速率以及物體時物體的運動速率以及物體M所能達到的最大高度。所能達到的最大高度。 解解 建立如圖所示的坐標系。當建立如圖所示的坐標系。當物體物體m自由下落自由下落h的距離時，它的距離時，它就具有了速度就具有了速度 ugh2TT張力作用的時間為張力作用的時間為 t，則，則 T tmvmu () 物體物

40、體m具有了動量具有了動量 mu，由于繩，由于繩子的張力子的張力T所產(chǎn)生的沖量，使它的動所產(chǎn)生的沖量，使它的動量變?yōu)榱孔優(yōu)?mv。與此同時，由于繩子的。與此同時，由于繩子的張力張力T 所產(chǎn)生的沖量，使物體所產(chǎn)生的沖量，使物體M的動的動量從量從0變?yōu)樽優(yōu)镸v。由于繩子是輕繩，質(zhì)。由于繩子是輕繩，質(zhì)量可以忽略，所以滑輪兩側(cè)繩子的張量可以忽略，所以滑輪兩側(cè)繩子的張力相等，即力相等，即 T tMv 0由以上兩式可以解得由以上兩式可以解得 vmuMmmghMm2 物體物體M所能達到的最大高度所能達到的最大高度zm，可以使用，可以使用能量關系求解。能量關系求解。 取地面為重力勢能零點，則在初狀態(tài)系統(tǒng)的取地面

41、為重力勢能零點，則在初狀態(tài)系統(tǒng)的總能量為總能量為 EMvmvmgz02201212末狀態(tài)的總能量為末狀態(tài)的總能量為 EMgzmg zzmm()0由于機械能守恒，故有由于機械能守恒，故有 12122200MvmvmgzMgzmg zzmm()zMm vg Mmm hMmm()()22222解得解得物理與微電子學院物理與微電子學院66xOldd解：選擇如圖所示的坐標系，圓弧關于x 軸對稱。設圓弧的線密度為 ，取質(zhì)量元dm = R d 坐標為x=R cos 例 1：求半徑為R、頂角為2 的均勻圓弧的質(zhì)心。 則圓弧質(zhì)心坐標為sinddcosdddd2CRRRRRxmmxx物理與微電子學院物理與微電子學

42、院67例題2 求一個半徑為R的半圓形均勻薄板的質(zhì)心 解 將坐標原點取在半圓形薄板的圓心上，并建立如圖的坐標系。在這種情況下，質(zhì)心C必定處于y軸上，即xC 0yy mmCdd質(zhì)量元是取在y處的長條，如圖所示。 長條的寬度為dy，長度為2x。根據(jù)圓方程 xyR22222xRy物理與微電子學院物理與微電子學院68如果薄板的質(zhì)量密度為，則有220222022d2 d124dRCRyRyyyx yymRy RyyR 令 , 則 ，對上式作變量變換，并積分，得uRy22dduy y 2yuuRRuuRRCRR22430421 20221 2022/.dd物理與微電子學院物理與微電子學院69222201/2

43、01/22231/222020d42d222d40.423RRCRRuyuuuyyRRuuuRRRR22024dRCy RyyyR22uRyd2 duy y 物理與微電子學院物理與微電子學院70例題3 有一厚度和密度都均勻的扇形薄板，其半徑為R，頂角為2，求質(zhì)心的位置。解 以扇形的圓心為坐標原點、以頂角的平分線為y軸xC 0yy mmy mmCddd質(zhì)量元可表示為ddd dmSrr整個扇形薄板的質(zhì)量為mmRd220d dddRmrrr rR物理與微電子學院物理與微電子學院712d dCy r ryR將yr cos代入上式，得yrrRRRRCRcossinsin dd202322323若 ，則扇

44、面就變成了半圓。224332cRRy物理與微電子學院物理與微電子學院72例題1 柔軟且質(zhì)量均勻分布的繩子長度為L，質(zhì)量為M。開始時手拿其上端豎直懸提著，并使其下端剛剛與桌面相接觸，如圖所示?，F(xiàn)將繩子由靜止釋放，試求當繩子下落到所剩長度為l時，繩子作用于桌面上的力。解：任意時刻質(zhì)心的位置為 zMzMLzlLlCd1202物理與微電子學院物理與微電子學院73質(zhì)心的加速度為222CC22dddd2()ddddlzllLattt L t2dd3()2ddclvlvglavgtLLLtLd2 ()dlvg Llt ddvgt 又2 ()vg Ll 物理與微電子學院物理與微電子學院74 為了對繩子的整體運

45、用質(zhì)心運動定理，還需考慮繩子的受力CFMgMaMgF代入上式，得 FMglL31 ()繩子對桌面的作用力為 FFMglL 31 ()3(2)glFMgMgL 大炮在發(fā)射時炮身會發(fā)生反沖大炮在發(fā)射時炮身會發(fā)生反沖現(xiàn)象。設炮身的仰角為現(xiàn)象。設炮身的仰角為, 炮彈和炮身的質(zhì)量分別為炮彈和炮身的質(zhì)量分別為m和和M, 炮彈在離開炮口時的速率為炮彈在離開炮口時的速率為v, 若忽略炮身反若忽略炮身反沖時與地面的摩擦力沖時與地面的摩擦力, 求炮身的反沖速率。求炮身的反沖速率。 例例1：如圖所示：如圖所示, 解解：設：設x軸沿水平向右軸沿水平向右，根據(jù)動量守恒定律得根據(jù)動量守恒定律得M vmv cos0所以炮身

46、的反沖速率為所以炮身的反沖速率為 vmvMcosxyO 例例 2：一原先靜止的裝置炸裂為質(zhì)量相等的三塊：一原先靜止的裝置炸裂為質(zhì)量相等的三塊, 已已知其中兩塊在水平面內(nèi)各以知其中兩塊在水平面內(nèi)各以80 ms1 和和60 ms1 的速的速率沿互相垂直的兩個方向飛開。求第三塊的飛行速度。率沿互相垂直的兩個方向飛開。求第三塊的飛行速度。 解：解：設碎塊的質(zhì)量都為設碎塊的質(zhì)量都為m， 建立如圖所示的坐標建立如圖所示的坐標系系根據(jù)動量守恒定律得根據(jù)動量守恒定律得vv130cosvv230sin,75. 0=8060=tan12vv1 -21 -13sm 100 . 1sm37cos80cosvv解方程組

47、得解方程組得所以所以 373v2v1v 例例 ：如圖所示的裝置稱為沖擊擺：如圖所示的裝置稱為沖擊擺, 可用它來測定可用它來測定子彈的速度。質(zhì)量為子彈的速度。質(zhì)量為M的木塊被懸掛在長度為的木塊被懸掛在長度為l的細的細繩下端繩下端, 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈沿水平方向以速度的子彈沿水平方向以速度v射中射中木塊木塊, 并停留在其中。木塊受到?jīng)_擊而向斜上方擺并停留在其中。木塊受到?jīng)_擊而向斜上方擺動動, 當?shù)竭_最高位置時當?shù)竭_最高位置時, 木塊的水平位移為木塊的水平位移為s。試確。試確定子彈的速度。定子彈的速度。 MlvsMlvs解：根據(jù)動量守恒定律得解：根據(jù)動量守恒定律得uMmmv)+(=根據(jù)機械能守

48、恒定律得根據(jù)機械能守恒定律得ghMmuMm)+(=)+(212由圖知由圖知22=sllh-解以上三方程的聯(lián)立方程組得解以上三方程的聯(lián)立方程組得)(2+=22sllgmMmv-h例例1 質(zhì)量為質(zhì)量為1.0 kg的質(zhì)點在力的質(zhì)點在力F = (2t 3) i + (3t 2) j 的作用下運動，其中的作用下運動，其中t是時間，單位為是時間，單位為s，F(xiàn)的單位的單位是是N，質(zhì)點在，質(zhì)點在t = 0 時位于坐標原點，且速度等于零。時位于坐標原點，且速度等于零。求此質(zhì)點在求此質(zhì)點在 t = 2.0 s時所受的相對坐標原點時所受的相對坐標原點O的力矩。的力矩。 解解 質(zhì)點的加速度為質(zhì)點的加速度為 afijm

49、tt()()23322 m sd dtva vaijijdd32 m s tttttttttt00221233232()() ()()t時刻質(zhì)點的位置矢量為時刻質(zhì)點的位置矢量為rvijijd32d mtttttttttttt0220323232133212()() ()()質(zhì)點在質(zhì)點在 t = 2.0 s時所受的相對坐標原點時所受的相對坐標原點O的力矩為的力矩為3232()131()(32)()(23) N m322yxxfyftttttt Mrfkk 40313kk N m N m 例例1 1：一質(zhì)量為：一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿著一條空間曲線運動，的質(zhì)點沿著一條空間曲線運動，該曲線在直角坐標下的矢

50、徑為：該曲線在直角坐標下的矢徑為：j tbi tarsincos ，其中其中a、b、 皆為常數(shù)，求該質(zhì)點對原點的角動量皆為常數(shù)，求該質(zhì)點對原點的角動量。j tbi tatrvcossinddj tbi tarsincos解解：已知：已知 22 cossinmabtmabtkmab 角動量角動量lxmvymvzyx開普勒第二定律應用質(zhì)點的角動量守恒定律可以證明開普勒第二定律行星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過相等的面積例題例題2解解: :將行星看為質(zhì)點將行星看為質(zhì)點, ,在在dt 時間內(nèi)以速度時間內(nèi)以速度 完成的完成的位移為位移為 , ,矢徑矢徑 在在d t 時間內(nèi)掃過的面積為時間內(nèi)掃過的面積為dS

51、（圖中陰影）。圖中陰影）。 vtv drtvrSd21d根據(jù)質(zhì)點角動量的定義根據(jù)質(zhì)點角動量的定義 )(vrmvmrl則則tmlSd2dfrromdtv 例例3：質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球系于細繩的一端的小球系于細繩的一端 , ,繩的另一繩的另一端縛在一根豎直放置的細棒上端縛在一根豎直放置的細棒上, , 小球被約束在水平面小球被約束在水平面內(nèi)繞細棒旋轉(zhuǎn)內(nèi)繞細棒旋轉(zhuǎn), , 某時刻角速度為某時刻角速度為 1 1，細繩的長度為，細繩的長度為r1。當旋轉(zhuǎn)了若干圈后當旋轉(zhuǎn)了若干圈后, , 由于細繩纏繞在細棒上由于細繩纏繞在細棒上, , 繩長變繩長變?yōu)闉閞2, , 求此時小球繞細棒旋轉(zhuǎn)的角速度求此時小球繞細棒旋轉(zhuǎn)

52、的角速度 2 2 。2r1r解：解：小球受力小球受力 繩子的張力繩子的張力 , ,指向細棒；指向細棒；重力重力 ，豎直向下；支撐力，豎直向下；支撐力 , ,豎直向上。豎直向上。 與繩子平行與繩子平行, , 不產(chǎn)生力矩；不產(chǎn)生力矩； 與與平衡，力矩始終為零。所以平衡，力矩始終為零。所以, , 作用于小作用于小球的力對細棒的力矩始終等于零球的力對細棒的力矩始終等于零, , 故小故小球?qū)毎舻慕莿恿勘囟ㄊ鞘睾愕?。球?qū)毎舻慕莿恿勘囟ㄊ鞘睾愕摹?TTWWNN根據(jù)質(zhì)點對軸的角動量守恒定律根據(jù)質(zhì)點對軸的角動量守恒定律 2211rmvrmv式中式中v1是半徑為是半徑為r1時小球的線速度時小球的線速度, ,

53、v2是半徑為是半徑為r2時小球的線速度。時小球的線速度。 代入上式得代入上式得222121mrmr解得解得12212)(rr 可見可見, 由于細繩越轉(zhuǎn)越短由于細繩越轉(zhuǎn)越短, , 小球的角速度小球的角速度必定越轉(zhuǎn)越大必定越轉(zhuǎn)越大, 即即 。rr2121222111,rvrv而而2r1r例例4 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的小球處于光滑的水平桌面上，并的小球處于光滑的水平桌面上，并被系于長度為被系于長度為s、勁度系數(shù)為、勁度系數(shù)為k的輕彈簧的一端，而的輕彈簧的一端，而輕彈簧的另一端被固定在桌面的輕彈簧的另一端被固定在桌面的O點。初始時刻小點。初始時刻小球處于桌面的球處于桌面的A點，輕彈簧呈完全松弛的自由狀態(tài)

54、，點，輕彈簧呈完全松弛的自由狀態(tài)，如圖所示。某時刻小球受到?jīng)_擊后，使它獲得與彈如圖所示。某時刻小球受到?jīng)_擊后，使它獲得與彈簧縱向相垂直的簧縱向相垂直的v0，并沿桌面滑動。當小球運動到，并沿桌面滑動。當小球運動到B點時，彈簧比原先伸長了點時，彈簧比原先伸長了 s，求小球到達，求小球到達B點時點時的速度。的速度。 解：把桌面取為解：把桌面取為xy平面，取過平面，取過O點垂點垂直于桌面向上的軸線為直于桌面向上的軸線為z軸。軸。 根據(jù)對軸的角動量守恒定律根據(jù)對軸的角動量守恒定律 llzAzBsmvss mv0()sin根據(jù)機械能守恒定律根據(jù)機械能守恒定律1212120222mvmvks()聯(lián)立得聯(lián)立得

55、 vvksm022()sin()()()svss vsvssvksm00022 例例5： 在探測原子結(jié)構的盧瑟福實驗中，用質(zhì)量為在探測原子結(jié)構的盧瑟福實驗中，用質(zhì)量為m、并帶正電的、并帶正電的 粒子轟擊金箔。當粒子轟擊金箔。當 粒子進入金箔粒子進入金箔并接近金原子核時，由于它與金原子核之間的靜電斥并接近金原子核時，由于它與金原子核之間的靜電斥力作用，使它的運動軌道發(fā)生了彎曲，如圖所示。因力作用，使它的運動軌道發(fā)生了彎曲，如圖所示。因為金原子核的質(zhì)量比為金原子核的質(zhì)量比 粒子的質(zhì)量大得多，所以當粒子的質(zhì)量大得多，所以當 粒子經(jīng)過時可以認為金原子核是靜止不動的。已知粒子經(jīng)過時可以認為金原子核是靜止

56、不動的。已知 粒子的入射速度為粒子的入射速度為v0，與金原子核之間的斥力勢能為，與金原子核之間的斥力勢能為Ep = k/r (k為大于零的常量為大于零的常量)，金原子核到沿入射速度方向金原子核到沿入射速度方向的延長線的距離的延長線的距離(稱為瞄準距稱為瞄準距離離)為為b，求，求從金原子核到從金原子核到 粒粒子的運動軌道的最短距離子的運動軌道的最短距離rm 。 解解 粒子的運動是在金原子核粒子的運動是在金原子核對它的有心力作用下進行的對它的有心力作用下進行的，它對金原子核所在位置的角動它對金原子核所在位置的角動量是守恒的。同時，由量是守恒的。同時，由 粒子和粒子和金原子核所組成的系統(tǒng)的機械金原子

57、核所組成的系統(tǒng)的機械能也是守恒的能也是守恒的 根據(jù)角動量守恒定律，有根據(jù)角動量守恒定律，有 v bv r0m m根據(jù)機械能守恒定律，應有根據(jù)機械能守恒定律，應有 220mm1122kmvmvr12202202mvmb vrkrm2m()mvrkrmb v0220220m2mrkmvkm vbm0222042rkmvm202 由以上兩式聯(lián)立可以得到由以上兩式聯(lián)立可以得到 ,整理后可得整理后可得 .由此二次方程可解出由此二次方程可解出rm，得，得 . 由這個結(jié)果可以探測原子核的大小。瞄準距離由這個結(jié)果可以探測原子核的大小。瞄準距離b越小越小， 粒子與金原子核的最小距離粒子與金原子核的最小距離rm也

58、越短，也越短， 粒子就越粒子就越接近金原子核。當瞄準距離接近金原子核。當瞄準距離b0時，表示時，表示 粒子與金原粒子與金原子核發(fā)生正碰，由上式可得子核發(fā)生正碰，由上式可得 這是這是rm的最小值，在極限情況下，它應等于金原的最小值，在極限情況下，它應等于金原子核的半徑。在盧瑟福實驗中，得到子核的半徑。在盧瑟福實驗中，得到rm 3 10 14 m，與以后從其他實驗中測得的原子核的大小范圍，與以后從其他實驗中測得的原子核的大小范圍10 15 10 14 m相一致。相一致。rkmvm202（請點擊你要選擇的項目）兩人質(zhì)量相等兩人質(zhì)量相等一一人人握握繩繩不不動動一一人人用用力力上上爬爬可能出現(xiàn)的情況是可

59、能出現(xiàn)的情況是終點線終點線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）兩人同時到達；兩人同時到達；用力上爬者先到；用力上爬者先到；握繩不動者先到；握繩不動者先到；以上結(jié)果都不對。以上結(jié)果都不對。同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點系若系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動量系統(tǒng)的末態(tài)角動量得不論體力強弱，兩人等速上升。若系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動量不守恒。可應用質(zhì)點系角動量定理進行具體分析討論。 4-7 一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為m的質(zhì)點在的質(zhì)點在O-xy平面上運動，其位置平面上運動，其位置矢量隨時間的關系為矢量隨時間的關系為r = a cos t i + b sin t

60、j，其，其中中 a、b和和 都是常量。從質(zhì)點運動和角動量定理兩個都是常量。從質(zhì)點運動和角動量定理兩個方面證明此質(zhì)點對坐標原點方面證明此質(zhì)點對坐標原點O的角動量是守恒的。的角動量是守恒的。解解: (1) 從質(zhì)點運動的角度：從質(zhì)點運動的角度：vrijij ddddttatbtatbt( cossin)sincos()( coscossinsin)yxmxmvymvat mbtbt matLrvkkabmttabm(cossin)22kk(2) 從角動量定理的角度：根據(jù)質(zhì)點運動的位置矢量從角動量定理的角度：根據(jù)質(zhì)點運動的位置矢量表達式，可以得到表達式，可以得到 xatcosybtsin將上兩式平方相