三種方法求橢圓軌跡

1、精品文檔6歡迎下載3、求點的軌跡方程:(1)定義法：用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識將題目條件 (已知兩焦點 的距離或坐標)轉化為到兩定點的距離之和為定值，然后判斷橢圓的中心是否在 原點、對稱軸是否為坐標軸，最后由定義產生橢圓的基本量 a，b，c.例題：如圖，P為圓B： (x + 2)2 + 一 36上一動點，點A坐標為(2,0)，線段AP的 垂直平分線交直線BP于點Q求點Q的軌跡方程.連接AQ:直線AP的垂直平分線交直線 BP于點Q |AQ| = |PQ|， |AQ| + |BQ| = |PQ| + |BQ| = 6 (> |AB| )，:由橢圓的定義可知：:點Q的軌跡為以

2、A、B為焦點的橢圓，且 2a= 6,2c = 4:H-a=3， c=2!2 2；-點 Q的軌跡方程為-9 +一 5尸1-跟蹤訓練：_已知圓A： (x + 3)2+ y2= 100，圓A內一定點B(3，0)，圓P過B且與圓A 內切，求圓心P的軌跡方程.如圖，設圓P的半徑為r，又圓P過點B, 又圓P與圓A內切，圓A的半徑為10, 兩圓的圓心距|PA| = 10 r，即 |PA| + |PB| = 10( > |AB|).由橢圓的定義可知：點P的軌跡是以A B為焦點的橢圓. 2a= 10,2c = |AB| = 6-a=5， c=32 2 2 b = a c = 25 9= 16.2 2點p的

3、軌跡方程為25+y6= 1.6-（2）相關點法:當題目中所求動點和已知動點存在明顯關系時，一般利用相關點的方法求解用相關點法求軌跡方程的基本步驟為一 設點：設所求軌跡上動點坐標 P（x，y），已知曲線上動點坐標Q（xi，yi）.求關系式：用點P的坐標表示出點Q的坐標，即得關系式（3）代換：將上述關系式代入已知曲線方程得到所求動點軌跡的方程，并把所得 方程化簡即可.例題：如圖，在圓x2 + y2= 4上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD, D為垂足.當 點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？i設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x 0，yo），yo貝U x= Xo，y=222:點

4、 P（xo，yo）在圓 x + y = 4 上,；二 x0+ y0= 4.；把xo = x， yo = 2y代入方程 ，l>2；得 x2 + 4y2= 4，即 x + y2= 1.4:.點M的軌跡是一個橢圓.跟蹤訓練：_如圖，設P是圓x2 + y2 = 25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD4上一點，且|MD = 5|PD.當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程，并判斷此曲線的類型.；設M點的坐標為（x，y），P點的坐標為（x p，yp），II；Xp= x:由已知易得 5，；yP=卩II25 2:/ P在圓上， x + 4y = 25，II22:即軌跡C的方程為/ += 1.該曲

5、線表示橢圓.2516(3)直接法：例題：4且它們的斜率之積是-9,求點M的軌跡方程.如圖，設點A, B的坐標分別為(一5,0) , (5,0).直線AM BM相交于點M:設點M的坐標為(x, y),;點A的坐標是(一5,0),Iy:直線 AM的斜率kA心(xm 5);|x + 5 同理，直線勺斜率2 x 5(x - 5)-1y y 4由已知有 x +5X x 5 一 9(xM±5),I' 2 21x y:化簡，得點M的軌跡方程為25+ 100 = 1 ( xm ±5).例題變式：4若將例題中的二一人改為_a _(_a<0)，曲線形狀如何?9'III|I

6、|y y|丨 設點 M(x, y)，則 5x 5= a ( xm ±5).X十 5 x 5Ii122i1y x|:化簡得，一25a+ 25= 1 ( Xm ±j) 25a 25II:(1)當a= 1時，曲線表示圓x2+ y2= 25 ( x工均，去掉兩點(±j,0).;(2)當aM 1時，曲線表示橢圓，去掉兩點 (±5,0).; 當1<a<0時，橢圓焦點在 x軸上；L_當a<丄時，橢圓焦點在_ y軸上.例題小結：_橢圓的另一種生成方法：一個動點到兩個定點連線的斜率之積是一個負常數(shù) (不等于-1)，軌跡即為橢圓，但要注意除去不符合題意的點.跟蹤訓練： 已知M(4,0) ,N1,0)，若動點P滿足MNMP- 6|NR.求動點P的軌跡C的方程.設動點 P(x, y)，則 MP= (x 4, y) , MN= ( 3,0) , PN= (1 x, y),2 2由已知得一3(x 4) = 61 x 2+ y2,化簡得 3