選修4－1幾何證明選講

1、選修41幾何證明選講第一節(jié)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 基礎(chǔ)盤(pán)查一平行線分線段成比例定理(一)循綱憶知了解平行線截割定理(平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理)(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和()(2)若一條直線截三角形的兩邊(或其延長(zhǎng)線)所得對(duì)應(yīng)線段成比例，則此直線與三角形的第三邊平行()答案：(1)×(2)2.如圖，F(xiàn)為ABCD的邊AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DFAD，BF分別交DC，AC于G，E兩點(diǎn)，EF16，GF12，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)解析：由DFAD，ABCD知BGGF12，又EF16知EG4，故BE8.答案：83.(人教A版教材習(xí)題改編)如圖，A

2、BEMDC，AEED，EFBC，EF12 cm，則BC的長(zhǎng)為_(kāi) cm.解析：E為AD中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，又EFBCEFMC12 cm.BC2MC24 cm.答案：24基礎(chǔ)盤(pán)查二相似三角形的判定及性質(zhì)(一)循綱憶知理解相似三角形的定義與性質(zhì)，會(huì)證明并應(yīng)用直角三角形射影定理(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)在ABC中，AD是BC邊上的高，若AD2BD·CD，則A為直角()(2)在直角三角形ABC中，ACBC，CDAD，則BC2BD·AB()(3)若兩個(gè)三角形的相似比等于1，則這兩個(gè)三角形全等()答案：(1)(2)×(3)2.(人教A版教材習(xí)題改編)如圖，D，E分別是AB

3、C的邊AB，AC上的點(diǎn)，DEBC且2，那么ADE與四邊形DBCE的面積比是_解析：DEBC，ADEABC，.2，故.答案： |(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透) 必備知識(shí)1平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等推論1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊推論2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰2平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例提醒在使用平行線截割定理時(shí)易出現(xiàn)對(duì)應(yīng)邊的對(duì)應(yīng)順序混亂，導(dǎo)致錯(cuò)誤題組練透1.如圖，在ABC

4、中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，AE交BC于點(diǎn)F，求的值解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DMAF交BC于點(diǎn)M.點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，在BDM中，BFFM.又點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，在CAF中，CMMF，.2如圖，等邊三角形DEF內(nèi)接于ABC，且DEBC，已知AHBC于點(diǎn)H，BC4，AH，求DEF的邊長(zhǎng)解：設(shè)DEx，AH交DE于點(diǎn)M，顯然MH的長(zhǎng)度與等邊三角形DEF的高相等，又DEBC，則，解得x.3.如圖，在四邊形ABCD中，EFBC，F(xiàn)GAD，求的值解：由平行線分線段成比例定理得，故1.類(lèi)題通法對(duì)于平行線分線段成比例定理，往往會(huì)以相似三角形為載體，通過(guò)三角形相似來(lái)構(gòu)建相應(yīng)線段比，從而解決問(wèn)題解題時(shí)要充分利用

5、中點(diǎn)來(lái)作輔助線，建立三角形的中位線或梯形的中位線，從而有效利用平行線分線段成比例定理|(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)必備知識(shí)1相似三角形的判定定理判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；判定定理2：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；判定定理3：兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似2相似三角形的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線和它們周長(zhǎng)的比都等于相似比；性質(zhì)定理2：相似三角形的面積比等于相似比的平方結(jié)論：相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方提醒在解決相似三角形的判定或應(yīng)用時(shí)易出現(xiàn)對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的對(duì)應(yīng)失誤典題例析如圖，已知在ABC中，D是B

6、C邊的中點(diǎn)，且ADAC，DEBC，DE與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F.(1)求證：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的長(zhǎng)解：(1)因?yàn)镈EBC，D是BC的中點(diǎn)，所以EBEC，所以BBCE.又因?yàn)锳DAC，所以ADCACB.所以ABCFCD.(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AMBC，垂足為點(diǎn)M.因?yàn)锳BCFCD，BC2CD，所以24.又因?yàn)镾FCD5，所以SABC20.因?yàn)镾ABCBC·AM，BC10，所以20×10×AM，所以AM4.因?yàn)镈EAM，所以.因?yàn)镈MDC，BMBDDM，所以，解得DE.類(lèi)題通法證明兩個(gè)三角形相似的關(guān)鍵是根據(jù)判定定理找(證)兩

7、個(gè)三角形的邊和角之間的數(shù)量關(guān)系有的證明起來(lái)比較簡(jiǎn)單方便，但有的找邊角關(guān)系比較困難，這就要求我們必須提高讀圖、識(shí)圖、添加必要輔助線的能力對(duì)計(jì)算問(wèn)題則要靈活使用有關(guān)定理，掌握相似三角形的性質(zhì)定理演練沖關(guān)(2015·浙江模擬)如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB3，CD4.過(guò)AC與BD的交點(diǎn)O作EFAB，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EF的長(zhǎng)解：因?yàn)锳BCD，EFAB，所以EDOADB，因此有，又AB3，CD4，不妨設(shè)DO4m，OB3m，因此可得EO，則EF.|(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)必備知識(shí)射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷系纳溆?/p>

8、與斜邊的比例中項(xiàng)提醒射影定理是直角三角形中的一個(gè)重要結(jié)論，其實(shí)質(zhì)就是三角形的相似但要注意滿足直角三角形射影定理結(jié)論的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的條件和結(jié)論之間的關(guān)系，不能亂用典題例析如圖，在RtABC中，BAC90°，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，試證明：(1)AB·ACBC·AD；(2)AD3BC·CF·BE.證明：(1)在RtABC中，ADBC，SABCAB·ACBC·AD.AB·ACBC·AD.(2)RtADB中，DEAB，由射影定理可得 BD2BE·AB，同

9、理CD2CF·AC，BD2·CD2BE·AB·CF·AC.又在RtBAC中，ADBC，AD2BD·DC，AD4BE·AB·CF·AC，又AB·ACBC·AD.即AD3BC·CF·BE.類(lèi)題通法1在使用直角三角形射影定理時(shí)，要學(xué)會(huì)將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”2證題時(shí)，要注意作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時(shí)常用的方法演練沖關(guān)如圖，在RtABC中 ，BAC90°，AD是斜邊BC上的高，若ABAC21，求ADBC.解：設(shè)ACk，則AB2k，BCk

10、，BAC90°，ADBC，AC2CD·BC，k2CD·k，CDk，又BDBCCDk，AD2CD·BDk·kk2，ADk，ADBC25.1如圖，在四邊形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，ECAD，DEBC，若SBEC1，SADE3，求SCDE.解：ECAD，SDCESADEECAD.DEBC，SBCESCDEBCED，又因?yàn)镋CBDECADE，BECEAD，BECEAD，ECADBCED，SDCESADESBCESCDE，得SCDE.2在RtACB中，C90°，CDAB于D，若BDAD19，求tanBCD的值解：由射影定理得CD2AD

11、3;BD，又BDAD19，令BDx，則AD9x(x>0)CD29x2，CD3x.RtCDB中，tanBCD.3如圖，M是平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)M分別交AD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.若AE2，AD6，求的值解析：ADBC，AEFCNF，.M為AB的中點(diǎn)，1，AEBN，.AE2，BCAD6，.4已知ABC中，BFAC于點(diǎn)F，CEAB于點(diǎn)E，BF和CE相交于點(diǎn)P，求證：(1)BPECPF; (2)EFPBCP. 證明：(1)BFAC于點(diǎn)F，CEAB于點(diǎn)E，BFCCEB.又CPFBPE，BPECPF.(2)由(1)得BPECPF，.又EPFBPC，EFPBCP

12、.5.如圖所示，在ABC中，AD為BC邊上的中線，F(xiàn)為AB上任意一點(diǎn)，CF交AD于點(diǎn)E.求證：AE·BF2DE·AF.證明：過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線DM交AC于點(diǎn)M，交FC于點(diǎn)N.在BCF中，D是BC的中點(diǎn)，DNBF，DNBF.DNAF，AFEDNE，.又DNBF，即AE·BF2DE·AF.6ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AB，AC上的點(diǎn)，AD，EF交于P，若BDDC，AEAF.求證：.證明：過(guò)F作MNAD交BA的延長(zhǎng)線及DC于M，N.對(duì)MEF有，因?yàn)锳EAF，所以.對(duì)MBN有，因?yàn)锽DDC，所以.對(duì)ADC有，所以.所以，所以.7.已知：如圖，在ABC中，

13、ABAC，BAC90°，D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，AEAC，BDAB，且CFBC.求證：(1)EFBC；(2)ADEEBC.證明：設(shè)ABAC3a，則AEBDa，CFa.(1)，.又C為公共角，故BACEFC，由BAC90°得EFC90°，故EFBC.(2)由(1)得EF·ABa，故，ADEFBE，所以ADEEBC.8如圖，在梯形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EFAD，假設(shè)EF做上下平行移動(dòng)(1)若，求證：3EFBC2AD；(2)請(qǐng)你探究一般結(jié)論，即若，那么你可以得到什么結(jié)論？解：過(guò)點(diǎn)A作AHCD分別交EF，BC于點(diǎn)G，H.(1)證明：

14、因?yàn)?，所?又EGBH，所以，即3EGBH.又EGGFEGADEF，從而EF(BCHC)AD，所以EFBCAD，即3EFBC2AD.(2)因?yàn)?，所?又EGBH，所以，即EGBH.所以EFEGGFEGAD(BCAD)AD，所以EFBCAD，即(mn)EFmBCnAD.第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)盤(pán)查圓冪定理(一)循綱憶知會(huì)證明和應(yīng)用有關(guān)圓的定理(1)圓周角定理；(2)圓的切線判定定理與性質(zhì)定理；(3)相交弦定理；(4)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理；(5)切割線定理(二)小題查驗(yàn)1判斷正誤(1)同弧所對(duì)的圓心角與圓周角相等()(2)若一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共

15、圓()(3)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心()(4)弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角的一半()(5)從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的乘積()答案：(1)×(2)×(3)(4)×(5)×2.如圖，P是圓O外一點(diǎn)，過(guò)P引圓O的兩條割線PB，PD，PAAB，CD3，則PC的長(zhǎng)為_(kāi)解析：設(shè)PCx，由割線定理知PA·PBPC·PD.即×2x(x3)，解得x2或x5(舍去)故PC2.答案：23(2015·陜西模擬)如圖所示，A，B是兩圓的交點(diǎn)，AC是小圓的直徑，D，E分別是CA，CB的

16、延長(zhǎng)線與大圓的交點(diǎn)，已知AC4，BE10，且BCAD，則AB_.解析：設(shè)xBCAD，由圓外一點(diǎn)向圓引兩條割線的結(jié)論得到x(x10)4(x4)，x2，AB2.答案：24(2014·湖北高考)如圖，P為O外一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.過(guò)PA的中點(diǎn)Q作割線交O于C，D兩點(diǎn)若QC1，CD3，則PB_.解析：由切割線定理，得QA2QC·QD4QA2，則PBPA2QA4.答案：4|(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)必備知識(shí)1圓周角定理圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半2圓心角定理圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的

17、圓周角所對(duì)的弧也相等推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑3弦切角定理弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角4圓的切線的性質(zhì)及判定定理性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線提醒圓周角定理與弦切角定理多用于證明角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，也可用于求線段的長(zhǎng)或角的大小及與圓的切線有關(guān)的問(wèn)題題組練透1.(2015·湖北黃岡模擬)已知點(diǎn)C在圓O的直徑BE的延長(zhǎng)線上，直線CA與圓O相切于A，ACB的平分線分別

18、交AB，AE于D，F(xiàn)兩點(diǎn)，求AFD.解：因?yàn)锳C為圓的切線，由弦切角定理，得BEAC.又因?yàn)镃D平分ACB，則ACDBCD，所以BBCDEACACD.根據(jù)三角形外角定理，ADFAFD.因?yàn)锽E是圓O的直徑，則BAE90°，所以ADF是等腰直角三角形所以ADFAFD45°.2.如圖，在圓內(nèi)接梯形ABCD中，ABDC.過(guò)點(diǎn)A作圓的切線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.若ABAD5，BE4，求弦BD的長(zhǎng)解：因?yàn)樵趫A內(nèi)接梯形ABCD中，ABDC，所以ADBC，BADBCD180°，ABEBCD.所以BADABE180°.又因?yàn)锳E為圓的切線，所以AE2BE·EC

19、4×936，故AE6.在ABE中，由余弦定理得cosABE，cosBADcos(180°ABE)cosABE，在ABD中，BD2AB2AD22AB·AD·cosBAD，所以BD.3(2014·江蘇高考)如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)證明：OCBD.證明：因?yàn)锽，C是圓O上的兩點(diǎn)，所以O(shè)BOC.故OCBB.又因?yàn)镃，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，故B，D為同弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角，所以BD.因此OCBD.類(lèi)題通法1圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小2涉及圓的

20、切線問(wèn)題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端作圓周角或弦切角|(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)必備知識(shí)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理性質(zhì)定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)性質(zhì)定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓判定定理的推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓提醒利用其性質(zhì)或判定定理解決四點(diǎn)共圓問(wèn)題時(shí)，要弄清四邊形的外角和它的內(nèi)對(duì)角的位置注意圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系以及與垂徑定理的聯(lián)系與應(yīng)用典題例析(2015·開(kāi)封模擬)如圖，AB是O的直

21、徑，G是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，GCD是O的割線，過(guò)點(diǎn)G作AG的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)G作O的切線，切點(diǎn)為H.(1)求證：C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；(2)若GH6，GE4，求EF的長(zhǎng)解：(1)證明：連接DB，AB是O的直徑，ADB90°，在RtABD和RtAFG中，ABDAFE，又ABDACD，ACDAFE.C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓(2)C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，GE·GFGC·GD.GH是O的切線，GH2GC·GD，GH2GE·GF.又GH6，GE4，GF9.EFGFGE945.類(lèi)題通法證明四點(diǎn)共圓的常用方法(1)若四個(gè)點(diǎn)到一定

22、點(diǎn)等距離，則這四個(gè)點(diǎn)共圓(2)若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角的和等于180°，則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓(3)若一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓(4)若兩個(gè)點(diǎn)在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個(gè)點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)共圓(5)若AB，CD兩線段相交于點(diǎn)P，且PA·PBPC·PD，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓(6)若AB，CD兩線段延長(zhǎng)后相交于點(diǎn)P，且PA·PBPC·PD，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓(7)若四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線的乘積，則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓演練沖關(guān)(2015·銀川

23、模擬)如圖，在正ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，且ADAC，AEAB，BD，CE相交于點(diǎn)F.(1)求證：A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓；(2)若正ABC的邊長(zhǎng)為2，求A，E，F(xiàn)，D所在圓的半徑解：(1)證明：AEAB，BEAB.在正ABC中，ADAC，ADBE，又ABBC，BADCBE，BADCBE，ADBBEC，即ADFAEF，所以A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓(2)如圖，取AE的中點(diǎn)G，連接GD，則AGCEAE.AEAB，AGGEAB，ADAC，DAE60°，AGD為正三角形，GDAGAD，即GAGEGD，所以點(diǎn)G是AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為.由于A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，即A，E

24、，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓G，其半徑為.|(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)必備知識(shí)1相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等2割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等3切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)4切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角提醒相交弦定理、切割線定理主要用于與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明，解決問(wèn)題時(shí)要注意相似三角形的知識(shí)及相關(guān)圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用典題例析(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，P是O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)

25、，割線PBC與O相交于點(diǎn)B，C，PC2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)E.證明：(1)BEEC；(2)AD·DE2PB2.證明：(1)連接AB，AC.由題設(shè)知PAPD，故PADPDA.因?yàn)镻DADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，從而.因此BEEC.(2)由切割線定理得PA2PB·PC.因?yàn)镻APDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得AD·DEBD·DC，所以AD·DE2PB2.類(lèi)題通法以圓為載體與三角形、四邊形相結(jié)合的綜合性題目，往往要綜合運(yùn)用多個(gè)定理以及添加相應(yīng)的輔助線才能解決，在解題時(shí)要注

26、意總結(jié)一些添加輔助線的技巧在實(shí)際應(yīng)用中，見(jiàn)到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理；見(jiàn)到兩條割線就要想到割線定理；見(jiàn)到切線和割線時(shí)就要想到切割線定理演練沖關(guān)(2015·大同調(diào)研)如圖，AB是O的直徑，AC是弦，BAC的平分線AD交O于D，DEAC交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F.(1)求證：DE是O的切線；(2)若，求的值解：(1)證明：連接OD，OAOD，ODAOAD.BAC的平分線是AD，OADDAC，DACODA，可得ODAE.又DEAE，DEOD.OD是O的半徑，DE是O的切線(2)連接BC，DB，過(guò)D作DHAB于H，AB是O的直徑，ACB90°，RtABC中，cos

27、CABODAE，DOHCAB，cosDOHcosCAB.RtHOD中，cosDOH，設(shè)OD5x，則AB10x，OH3x，RtHOD中，DH 4x，AHAOOH8x，RtHAD中，AD2AH2DH280x2.BADDAE，AEDADB90°，ADEABD，可得，AD2AE·ABAE·10x.而AD280x2，AE8x又ODAE，AEFDOF，可得.1(2014·重慶高考改編)過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓的切線PA(A為切點(diǎn))，再作割線PBC分別交圓于B，C.若PA6，AC8，BC9，求AB的長(zhǎng)解：如圖所示，由切割線定理得PA2PB·PCPB·(PB

28、BC)，即62PB·(PB9)，解得PB3(負(fù)值舍去)由弦切角定理知PABPCA，又APBCPA，故APBCPA，則，即，解得AB4.2.(2015·廣州綜合測(cè)試)如圖，PC是圓O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)C，直線PA與圓O交于A，B兩點(diǎn)，APC的角平分線交弦CA，CB于D，E兩點(diǎn)，已知PC3，PB2，求的值解：由切割線定理可得PC2PA·PBPA，由于PC切圓O于點(diǎn)C，由弦切角定理可知PCBPAD，由于PD是APC的角平分線，則CPEAPD，所以PCEPAD，所以3×.3.如圖，AB是O的直徑，弦BD，CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求

29、證：BE·DEAC·CECE2.(2)若D是BE的中點(diǎn)，求證E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓證明：(1)由割線定理得EA·ECDE·BE，BE·DEAC·CEEA·CEAC·CECE2，BE·DEAC·CECE2.(2)如圖，連接CB，CD.AB是O的直徑，ECB90°，CDEB.EFBF，F(xiàn)DBE.E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)與點(diǎn)D等距離E，F(xiàn)，C，B四點(diǎn)共圓4(2015·忻州模擬)如圖，直線AB經(jīng)過(guò)O上的點(diǎn)C，并且OAOB，CACB，O交直線OB于E，D，連接EC，CD.(1)求證：直線AB

30、是O的切線；(2)若tanCED，O的半徑為3，求OA的長(zhǎng)解：(1)證明：如圖，連接OC，OAOB，CACB，OCAB.OC是O的半徑，AB是O的切線(2)由弦切角定理得BCDE，又CBDEBC，BCDBEC， .tanCED， ，設(shè)BDx，則BC2x，BC2BD·BE，即(2x)2x(x6)，BD2，OAOBBDOD235.5(2014·遼寧高考)如圖，EP交圓于E，C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且PGPD，連接DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑；(2)若ACBD，求證：ABED.證明：(1)因?yàn)镻DPG，所以PDGPGD.由于PD為切線，故PDADBA，又由于PGDEGA，故DBAEGA，所