高中物理競賽輔導(dǎo)教程力、物體的平衡

1、力、物體的平衡§1.1常見的力1、1、1力的概念和量度 慣性定律指出，一個(gè)物體，如果沒有受到其他物體作用，它就保持其相對(duì)于慣性參照系的速度不變，也就是說，如果物體相對(duì)于慣性參照系的速度有所改變，必是由于受到其他物體對(duì)它的作用，在力學(xué)中將這種作用稱為力。凡是講到一個(gè)力的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)說清楚講到的是哪一物體施了哪一個(gè)物體的力。一個(gè)物體，受到了另一物體施于它的力，則它相對(duì)于慣性參照系的速度就要變化，或者說，它獲得相對(duì)于慣性參照系的加速度，很自然以它作用于一定的物體所引起的加速度作為力的大小的量度。實(shí)際進(jìn)行力的量度的時(shí)候，用彈簧秤來測量。重力由于地球的吸引而使物體受到的力，方向豎直向下，在地面附

2、近，可近似認(rèn)為重力不變（重力實(shí)際是地球?qū)ξ矬w引力的一個(gè)分力，隨緯度和距地面的高度而變化）l圖1-1-1 彈力物體發(fā)生彈性變形后，其內(nèi)部原子相對(duì)位置改變，而對(duì)外部產(chǎn)生的宏觀反作用力。反映固體材料彈性性質(zhì)的胡克定律，建立了脅強(qiáng)（應(yīng)力）與脅變（應(yīng)變）之間的正比例關(guān)系，如圖所示 式中E為楊氏彈性模量，它表示將彈性桿拉長一倍時(shí)，橫截面上所需的應(yīng)力。GTTTT圖1-1-2彈力的大小取決于變形的程度，彈簧的彈力，遵循胡克定律，在彈性限度內(nèi)，彈簧彈力的大小與形變量（伸長或壓縮量）成正比。F=-kx式中x表示形變量；負(fù)號(hào)表示彈力的方向與形變的方向相反；k為勁度系數(shù)，由彈簧的材料，接觸反力和幾何尺寸決定

3、。ABCAAAAAA圖1-1-3 接觸反力 限制物體某些位移或運(yùn)動(dòng)的周圍其它物體在接觸處對(duì)物體的反作用力（以下簡稱反力）。這種反力實(shí)質(zhì)上是一種彈性力，常見如下幾類：1、柔索類（圖1-1-2）如繩索、皮帶、鏈條等，其張力一般不計(jì)柔索的彈性，認(rèn)為是不可伸長的。滑輪組中，若不計(jì)摩擦與滑輪質(zhì)量，同一根繩內(nèi)的張力處處相等。 2、光滑面（圖1-1-3）接觸處的切平面方位不受力，其法向支承力A圖1-1-43、光滑鉸鏈物體局部接觸處仍屬于光滑面，但由于接觸位置難于事先確定，這類接觸反力的方位，除了某些情況能由平衡條件定出外，一般按坐標(biāo)分量形式設(shè)定。ABC圖1-1-5圖1-1-6（1）圓柱形鉸鏈（圖1

4、-1-4,圖1-1-5，圖1-1-6）由兩個(gè)圓孔和一個(gè)圓柱銷組成。在孔的軸線方向不承受作用力，其分力 圖中AC桿受力如圖，支座B處為可動(dòng)鉸，水平方向不受約束，反力如圖。（2）球形鉸鏈（圖1-1-7,圖1-1-8）由一個(gè)球碗和一個(gè)球頭組成，其反力可分解為A圖1-1-7 圖1-1-84、固定端（圖1-1-9，圖1-1-10） 如插入墻內(nèi)的桿端，它除限制桿端移動(dòng)外，還限制轉(zhuǎn)動(dòng)，需增添一個(gè)反力偶。 A圖1-1-9 圖1-1-10A摩擦力 物體與物體接觸時(shí)，在接觸面上有一種阻止它們相對(duì)滑動(dòng)的作用力稱為摩擦力。不僅固體與固體的接觸面上有摩擦，固體與液體的接觸面或固體與氣體的接觸面上也有摩擦，我們

5、主要討論固體與固體間的摩擦。112、摩擦分為靜摩擦和滑動(dòng)摩擦當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體之間存在相對(duì)滑動(dòng)的趨勢（就是說：假如它們之間的接觸是“光滑的”，將發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)）時(shí)，產(chǎn)生的摩擦力為靜摩擦力，其方向與接觸面上相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢的指向相反，大小視具體情況而定，由平衡條件或從動(dòng)力學(xué)的運(yùn)動(dòng)方程解算出來，最大靜摩擦力為式中稱為靜摩擦因數(shù)，它取決于接觸面的材料與接觸面的狀況等，N為兩物體間的正壓力。當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體之間有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的摩擦力為滑動(dòng)摩擦力?；瑒?dòng)摩擦力的方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向相反,其大小與兩物體間的正壓力成正比。為滑動(dòng)摩擦因數(shù)，取決于接觸面的材料與接觸面的表面狀況，在通常的相對(duì)速度范圍內(nèi)，可看作

6、常量，在通常情況下，可不加區(qū)別，兩物體維持相對(duì)靜止的動(dòng)力學(xué)條件為靜摩擦力的絕對(duì)值滿足在接觸物的材料和表面粗糙程度相同的條件下，靜摩擦因數(shù)略大于動(dòng)摩擦因數(shù)。摩擦角 令靜摩擦因數(shù)等于某一角的正切值，即，這個(gè)角就稱為摩擦角。在臨界摩擦（將要發(fā)生滑動(dòng)狀態(tài)下）,。支承面作用于物體的沿法線方向的彈力N與最大靜摩擦力的合力F（簡稱全反力）與接觸面法線方向的夾角等于摩擦角，如圖1-1-11所示（圖中未畫其他力）。在一般情況下，靜摩擦力未達(dá)到最大值，即NFfm圖1-1-11AF圖1-1-12 v圖1-1-13因此接觸面反作用于物體的全反力的作用線與面法線的夾角，不會(huì)大于摩擦角，即。物體不會(huì)滑動(dòng)。由此可

7、知，運(yùn)用摩擦角可判斷物體是否產(chǎn)生滑動(dòng)的條件。如圖1-1-12放在平面上的物體A，用力F去推它，設(shè)摩擦角為，推力F與法線夾角為，當(dāng)時(shí)，無論F多大，也不可能推動(dòng)物塊A，只有時(shí)，才可能推動(dòng)A。摩擦力作用的時(shí)間 因?yàn)橹挥挟?dāng)兩個(gè)物體之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢時(shí)，才有摩擦力，所以要注意摩擦力作用的時(shí)間。如一個(gè)小球豎直落下與一塊在水平方向上運(yùn)動(dòng)的木塊碰撞后，向斜上方彈出，假設(shè)碰撞時(shí)間為，但可能小球不需要時(shí)間，在水平方向上便已具有了與木塊相同的速度，則在剩下的時(shí)間內(nèi)小球和木塊盡管還是接觸的，但互相已沒有摩擦力。 如圖1-1-14，小木塊和水平地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，用一個(gè)與水平方向成多大FNGFG圖1-1-

8、14 角度的力F拉著木塊勻速直線運(yùn)動(dòng)最省力？將摩擦力和地面對(duì)木塊的彈力N合成一個(gè)力，摩擦角為，這樣木塊受三個(gè)力：重力G，桌面對(duì)木塊的作用力和拉力F，如圖1-1-14，作出力的三角形，很容易看出當(dāng)F垂直于最小，即有F與水平方向成時(shí)最小。AA圖1-1-15例1、 例1、      如圖1-1-15所示皮帶速度為，物A在皮帶上以速度垂直朝皮帶邊運(yùn)動(dòng)，試求物A所受摩擦力的方向。 解：物A相對(duì)地運(yùn)動(dòng)速度為，滑動(dòng)摩擦力f與方向相反如圖所示。例2、物體所受全反力R與法向的夾角的情形可能出現(xiàn)嗎？圖1-1-16  解：不可能。因?yàn)槿?/p>

9、有則即。，這是不可能的。然而在要判斷一個(gè)受摩擦物體是否靜止時(shí)，可事先假定它靜止，由平衡求出,有如下三種情形： §1.2力的合成與分解 F1F2FF1F2F(a)                                   

10、               (b) 圖1-2-1121、力的合成遵循平行四邊形法則即力的合力即此二力構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線所表示的力F，如圖1-2-1(a)根據(jù)此法則可衍化出三角形法則。即：將通過平移使其首尾相接，則由起點(diǎn)指向末端的力F即的合力。（如圖1-2-1(b)）如果有多個(gè)共點(diǎn)力求合力，可在三角形法則的基礎(chǔ)上，演化為多邊形法則。如圖1-2-2所示，a圖為有四個(gè)力共點(diǎn)O，b圖表示四個(gè)力矢首尾F1F2F3F4F1F2F3F4FF1F2F3F4F5(a

11、) (b) (c) 圖1-2-2相接，從力的作用點(diǎn)O連接力力矢末端的有向線段就表示它們的合力。而(c)圖表示五個(gè)共點(diǎn)力組成的多邊形是閉合的，即力矢的起步與力矢的終點(diǎn)重合，這表示它們的合力為零。力的分解是力的合成的逆運(yùn)算，也遵循力的平行四邊形法則，一般而言，一個(gè)力分解為兩力有多解答，為得確定解還有附加條件，通常有以下三種情況：已知合力和它兩分力方向，求這兩分力大小。這有確定的一組解答。已知合力和它的一個(gè)分力，求另一個(gè)分力。這也有確定的確答。已知合力和其中一個(gè)分力大小及另一個(gè)分力方向，求第一個(gè)合力方向和第二分力大小，其解答可能有三種情況：一解、兩解和無解。122、平面共點(diǎn)力系合成的解析法xyabc

12、deORxF1yF4yF3yF2yF1xF2xF3xF4xFyF1F2F3F4RyxyORxR圖1-2-3(a)(b)如圖1-2-3，將平面共點(diǎn)力及其合力構(gòu)成力的多邊形abcde，并在該平面取直角坐標(biāo)系Oxy，作出各力在兩坐標(biāo)軸上的投影，從圖上可見：上式說明，合力在任意一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，這也稱為合力投影定理。知道了合力R的兩個(gè)投影和，就難求出合力的大小與方向了。合力R的大小為：合力的方向可用合力R與x軸所夾的角的正切值來確定：123、平行力的合成與分解作用在一個(gè)物體上的幾個(gè)力的作用線平行，且不作用于同一點(diǎn)，稱為平行力系。如圖1-2-4如果力的方向又相同，則稱為同向

13、平行力。兩個(gè)同向平行力的合力（R）的大小等于兩分力ROABF2F1ABOF1F2R(a) (a)                                          

14、                                   (b) 圖1-2-4大小之和，合力作用線與分力平行，合力方向與兩分力方向相同，合力作用點(diǎn)在兩分力作用點(diǎn)的連線上，合力作用點(diǎn)到分力作用點(diǎn)的距離與分力的大小成反比，如圖1-2-4(a)，有：兩個(gè)

15、反向平行力的合力（R）的大小等于兩分力大小之差，合力作用線仍與合力平行，合力方向與較大的分力方向相同，合力的作用點(diǎn)YjkizYXZX圖1-2-5在兩分力作用點(diǎn)連線的延長線上，在較大力的外側(cè)，它到兩分力作用點(diǎn)的距離與兩分力大小成反比，如圖1-2-4(b)，有：124、空間中力的投影與分解力在某軸上的投影定義為力的大小乘以力與該軸正向間夾角的余弦，如圖1-2-5中的力在ox、oy、oz軸上的投影X、Y、Z分別定義為ZXYFFxyO圖1-2-6這就是直接投影法所得結(jié)果，也可如圖1-2-6所示采用二次投影法。這時(shí)式中為在oxy平面上的投影矢量，而力沿直角坐標(biāo)軸的分解式§1.3共點(diǎn)力作用下物體

16、的平衡131、共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件幾個(gè)力如果都作用在物體的同一點(diǎn)，或者它們的作用線相交于同一點(diǎn)，這幾個(gè)力叫作共點(diǎn)力。當(dāng)物體可視為質(zhì)點(diǎn)時(shí)，作用在其上的力都可視為共點(diǎn)力。當(dāng)物體不能視為質(zhì)點(diǎn)時(shí)，作用于其上的力是否可視為共點(diǎn)力要看具體情況而定。物體的平衡包括靜平衡與動(dòng)平衡，具體是指物體處于靜止、勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速轉(zhuǎn)動(dòng)這三種平衡狀態(tài)。F1F2F3圖1-3-1共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件是；物體所受到的力的合力為零。或其分量式：如果在三個(gè)或三個(gè)以上的共點(diǎn)力作用下物體處于平衡，用力的圖示表示，則這些力必組成首尾相接的閉合力矢三角形或多邊形；力系中的任一個(gè)力必與其余所有力的合力平衡；如果物體只在兩個(gè)力作用

17、下平衡，則此二力必大小相等、方向相反、且在同一條直線上，我們常稱為一對(duì)平衡力；如果物體在三個(gè)力作用下平衡，則此三力一定共點(diǎn)、一定在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖1-3-1所示，且滿足下式（拉密定理）：132、推論物體在n(n3)個(gè)外力作用下處于平衡狀態(tài)，若其中有n-1個(gè)力為共點(diǎn)力，即它們的作用線交于O點(diǎn)，則最后一個(gè)外力的作用線也必過O點(diǎn)，整個(gè)外力組必為共點(diǎn)力。這是因?yàn)閚-1個(gè)外力構(gòu)成的力組為共點(diǎn)（O點(diǎn)）力，這n-1個(gè)的合力必過O點(diǎn)，最后一個(gè)外力與這n-1個(gè)外力的合力平衡，其作用線必過O點(diǎn)。特例，物體在作用線共面的三個(gè)非平行力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，這三個(gè)力的作用線必相交于一點(diǎn)且一定共面。§1.4

18、固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡141、力矩FOd圖1-4-1力的三要素是大小、方向和作用點(diǎn)。由作用點(diǎn)和力的方向所確定的射線稱為力的作用線。力作用于物體，常能使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)外力的作用效果不僅取決于外力的大小和方向，而且取決于外力作用線與軸的距離力臂(d)。力與力臂的乘積稱為力矩，記為M，則M=Fd，如圖1-4-1，O為垂直于紙面的固定軸，力F在紙面內(nèi)。力矩是改變物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因。力的作用線與軸平行時(shí)，此力對(duì)物體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)沒有作用。若力F不在與軸垂直的平面內(nèi)，可先將力分解為垂直于軸的分量F和平行于軸的分量F，F(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)不起作用，這時(shí)力F的力矩為M=Fd。通常規(guī)定 繞逆時(shí)方向轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩為正。當(dāng)物體受到多

19、個(gè)力作用時(shí)，物體所受的總力矩等于各個(gè)力產(chǎn)生力矩的代數(shù)和。142、力偶和力偶矩F1F2O圖1-4-2一對(duì)大小相等、方向相反但不共線的力稱為力偶。如圖1-4-2中即為力偶，力偶不能合成為一個(gè)力，是一個(gè)基本力學(xué)量。對(duì)于與力偶所在平面垂直的任一軸，這一對(duì)力的力矩的代數(shù)和稱為力偶矩，注意到，不難得到，M=Fd，式中d為兩力間的距離。力偶矩與所相對(duì)的軸無關(guān)。143、有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡有固定轉(zhuǎn)軸的物體，若處于平衡狀態(tài)，作用于物體上各力的力矩的代數(shù)和為零。 §1.5 一般物體的平衡力對(duì)物體的作用可以改變物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，物體各部位所受力的合力對(duì)物體的平動(dòng)有影響，合力矩對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)有影響。

20、如果兩種影響都沒有，就稱物體處于平衡狀態(tài)。因此，一般物體處于平衡時(shí)，要求物體所受合外力為零和合力矩為零同時(shí)滿足，一般物體的平衡條件寫成分量式為分別為對(duì)x軸、y軸、z軸的力矩。由空間一般力系的平衡方程，去掉由力系的幾何性質(zhì)能自動(dòng)滿足的平衡方程，容易導(dǎo)出各種特殊力系的獨(dú)立平衡方程。如平面力系（設(shè)在平面內(nèi)），則自動(dòng)滿足，則獨(dú)立的平衡方程為：這一方程中的轉(zhuǎn)軸可根據(jù)需要任意選取，一般原則是使盡量多的力的力臂為零。平面匯交力系與平面平行力系的獨(dú)立方程均為二個(gè)，空間匯交力系和空間平行力系的獨(dú)立平衡方程均為三個(gè)。§1.6 平衡的穩(wěn)定性161、重心物體的重心即重力的作用點(diǎn)。在重力加速度為常矢量的區(qū)域，

21、物體的重心是惟一的（我們討論的都是這種情形），重心也就是物體各部分所受重力的合力的作用點(diǎn)，由于重力與質(zhì)量成正比，重力合力的作用點(diǎn)即為質(zhì)心，即重心與質(zhì)心重合。求重心，也就是求一組平行力的合力作用點(diǎn)。相距L，質(zhì)量分別為的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)組，其重心在兩質(zhì)點(diǎn)的連線上，且與相距分別為： AOCPBXG1G2G3圖1-6-1R 均勻規(guī)則形狀的物體，其重心在它的幾何中心，求一般物體的重心，常用的方法是將物體分割成若干個(gè)重心容易確定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。物體重心（或質(zhì)心）位置的求法我們可以利用力矩和為零的平衡條件來求物體的重心位置。如圖1-6-1由重量分別為的兩均勻圓球和重量為的均

22、勻桿連成的系統(tǒng)，設(shè)立如圖坐標(biāo)系，原點(diǎn)取在A球最左側(cè)點(diǎn)，兩球與桿的重心的坐標(biāo)分別為，系統(tǒng)重心在P點(diǎn)，我們現(xiàn)在求其坐標(biāo)x。設(shè)想在P處給一支持力R，令達(dá)到平衡時(shí)有：這樣就得出了如圖所示的系統(tǒng)的重心坐標(biāo)。若有多個(gè)物體組成的系統(tǒng)，我們不難證明其重心位置為：一般來說，物體的質(zhì)心位置與重心位置重合，由上面公式很易得到質(zhì)心位置公式：P圖1-6-2如圖1-6-2，有5個(gè)外形完全一樣的均勻金屬棒首尾相接焊在一起，從左至右其密度分別為、1、2、3、4，設(shè)每根棒長均為，求其質(zhì)心位置，若為n段，密度仍如上遞增，質(zhì)心位置又在什么地方？解：設(shè)整個(gè)棒重心離最左端距離為x，則由求質(zhì)心公式有若為n段，按上式遞推得：將坐標(biāo)原點(diǎn)移到

23、第一段棒的重心上，則上式化為：ABC圖1-6-3例、如圖1-6-3所示，A、B原為兩個(gè)相同的均質(zhì)實(shí)心球，半徑為R，重量為G，A、B球分別挖去半徑為的小球，均質(zhì)桿重量為，長度，試求系統(tǒng)的重心位置。解：將挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，圖示系統(tǒng)可簡化為圖1-1-31所示平行力系；其中ABC圖163。設(shè)重心位置為O，則合力且即OC=0.53R162、物體平衡的種類物體的平衡分為三類：穩(wěn)定平衡 處于平衡狀態(tài)的物體，當(dāng)受到外界的擾動(dòng)而偏離平衡位置時(shí)，如果外力或外力矩促使物體回到原平衡位置，這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡，處于穩(wěn)定平衡的物體，偏離平衡位置時(shí)，重心一般是升高的。不穩(wěn)定平衡 處于平衡狀態(tài)的物體，當(dāng)

24、受到外界的擾動(dòng)而偏離平衡位置時(shí)，如果外力或外力矩促使物體偏離原來的平衡位置，這樣的平衡叫不穩(wěn)定平衡，處于不穩(wěn)定平衡的物體，偏離平衡位置時(shí)，重心一般是降低的。隨遇平衡 處于平衡狀態(tài)的物體，當(dāng)受到外界擾動(dòng)而偏離平衡位置時(shí)，物體受到的合外力或合力矩沒有變化，這樣的平衡叫隨遇平衡，處于隨遇平衡的物體，偏離平衡位置后，重心高度不變。在平動(dòng)方面，物體不同方面上可以處于不同的平衡狀態(tài)，在轉(zhuǎn)動(dòng)方面，對(duì)不同方向的轉(zhuǎn)軸可以處于不同的平衡狀態(tài)。例如，一個(gè)位于光滑水平面上的直管底部的質(zhì)點(diǎn)，受到平行于管軸方向的擾動(dòng)時(shí)，處于隨遇平衡狀態(tài)；受到與軸垂直方向的擾動(dòng)時(shí)，處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，一細(xì)棒，當(dāng)它直立于水平桌面時(shí)，是不穩(wěn)定平

25、衡，當(dāng)它平放在水平桌面時(shí)，是隨遇平衡。163、穩(wěn)度物體穩(wěn)定的程度叫穩(wěn)度，一般說來，使一個(gè)物體的平衡遭到破壞所需的能量越多，這個(gè)平衡的穩(wěn)度就越高。穩(wěn)度與重心的高度及支面的大小有關(guān)，重心越低，支面越大，穩(wěn)度越大。§1.7 流體靜力學(xué)流體并沒有一定的開頭可以自由流動(dòng)，但具有一定的密度，一般認(rèn)為理想流體具有不可壓縮的特征。171、 靜止流體中的壓強(qiáng)(1)靜止流體內(nèi)部壓強(qiáng)的特點(diǎn)在靜止流體內(nèi)任何一點(diǎn)處都有壓強(qiáng)，這一壓強(qiáng)與方向無關(guān)僅與該點(diǎn)的深度有關(guān)；相連通的靜止流體內(nèi)部同一深度上各點(diǎn)的壓強(qiáng)相等。關(guān)于流體內(nèi)部的壓強(qiáng)與方向無關(guān)，可以證明如下：O圖1-7-1在靜止流體中的某點(diǎn)處任取一個(gè)長為的極小的直角三棱液柱，令其兩側(cè)面分別在豎直面內(nèi)和水平面內(nèi)，作其截面如圖1-7-1所示，圖中坐標(biāo)軸x沿水平方向，坐標(biāo)軸y沿豎直方向，以分別表示此液柱截面三角形的三條邊長，且以表示此截面三角形的一個(gè)銳角如圖1-7-1，又以,分別表示對(duì)應(yīng)側(cè)面上壓強(qiáng)的大小，則各側(cè)面所受壓力的大小分別為：由此液柱很小，則其重力將遠(yuǎn)小于它的一個(gè)側(cè)面所受到的壓力，故可忽略其重力的作用。則由此液柱的平衡條件知上述三力應(yīng)互相平衡，乃有：即注意到，代入上式便得說明在流體內(nèi)部的同一點(diǎn)處向各個(gè)方向的壓強(qiáng)是相等的。(2)靜