2019-2020學(xué)年北京市海淀區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

1、2019-2020學(xué)年北京市海淀區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題、單選題（本題包括12個小題，每小題 35,共60分.每小題只有一個選項(xiàng)符合題意）1,復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軻復(fù)數(shù)是()1 iA. 1 iB.1 iC.1 i2.設(shè) a log4 9, b log4 25, c 10g 5 9,則()D. 1 iA. abcB. cabC. b c a3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足1+z=i,則憶尸() 1 zA. 1B. 72C. 73d. b a cD. 2f x的圖象如圖所示，則yf x的圖象最有可能的是（）一、2 ，5 .函數(shù)f （x） - log3 x的一個零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）xD. (3,4)A.

2、(0,1)B. (1,2)C. (2,3)6 .在一次調(diào)查中，根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的等高條形圖，則（）A.兩個分類變量關(guān)系較強(qiáng)B.兩個分類變量關(guān)系較弱C.兩個分類變量無關(guān)系A(chǔ)D.兩個分類變量關(guān)系難以判斷N(100,a2) (a 0,試卷滿分 1507.今年全國高考，某校有3000人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績X分），統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績高于130分的人數(shù)為100,則該校此次數(shù)學(xué)考試成績高于100分且低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（A.1300B. 1350C.1400D. 14508.已知a,b0,1b 1,則M與N的大小關(guān)系是（）A.B. M NC.D.不能確定9.設(shè)平面向量V2,1 ,b

3、 0, 2 ,則與v+2b垂直的向量可以是（A.4, 6B. 4,6C.3, 2D.3,210.設(shè) X R ,1”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件11 .橢圓1的點(diǎn)到直線X 2y 4 0的距離的最小值為（P 6.5C. 5D.12.以下四個命題,其中正確的個數(shù)有（由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知， 有99%的把握認(rèn)為物理成績與數(shù)學(xué)成績有關(guān),某人數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀,則他有99%勺可能物理優(yōu)秀.兩個隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；在線性回歸方程 y 0.2x 12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時，預(yù)報變量？平均增加0.2個單位;對分類變量 X與Y ,它們的

4、隨機(jī)變量K2的觀測值k來說，k越小，“ X與Y有關(guān)系”的把握程度越大.A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空題（本題包括 4個小題，每小題5分，共20分）13.某高中有高一學(xué)生 320人,高二學(xué)生400人，高三學(xué)生360人.現(xiàn)采用分層抽樣調(diào)查學(xué)生的視力情況已知從高一學(xué)生中抽取了8人,則三個年級一共抽取了14.已知 ，為銳角,cos的值為15.已知集合A x|（x1) xa2 a 2 ,0,a R若0 A,則a的取值范圍是216.若函數(shù) f (x) loga(x ax1）有最小值,則a的取值范圍是三、解答題（本題包括 6個小題,共70分）17.已知a,b, c分別為 ABC內(nèi)角A, B,C的對

5、邊，且asin B V3b cos A 0 .（1）求角A；若a JT3,b 3,求ABC的面積.18 .如圖，四邊形 SABS, AB P SC , AB BC , SC 2AB2BC , D為邊SC的中點(diǎn)，現(xiàn)將VSAD沿AD折起到達(dá)PAD的位置（折起后點(diǎn) S記為P ） .門（1）求證:AD PC ; 2為PD中點(diǎn)，當(dāng) PDC 時,3求二面角A MBC的余弦值.19. (6分)選彳4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為3(1 cos )23 .一 sin2（ 為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為芻2工2（t為參數(shù)），且l與曲線M交于B兩點(diǎn).以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的

6、正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線M的極坐標(biāo)方程;（2）已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（J2,）,若PA4PB ,求 PA PB .20. （6分）已知某盒子中共有 6個小球，編號為1號至6號，其中有3個紅球、2個黃球和1個綠球，這些球除顏色和編號外完全相同.(1)若從盒中一次隨機(jī)取出 3個球，求取出的3個球中恰有2個顏色相同的概率;(2)若從盒中逐一取球，每次取后立即放回，共取4次，求恰有3次取到黃球的概率;(3)若從盒中逐一取球， 每次取后不放回，記取完黃球所需次數(shù)為X ,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期N*,都有an1 (p 1)Sn 2 (其中常21. （6分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，且滿足

7、a1 2 ,對n1數(shù) p 1),數(shù)列4滿足 bn -log2(a1a2L an). n（1）求證：數(shù)列an是等比數(shù)列;2(2)若 22017，求 b2018 的值; p23若k N*,使得D 22T，記cn |bn |,求數(shù)列Cn的前2(k 1)項(xiàng)的和. p 4222 . ( 8分)選修4-5 :不等式選講已知函數(shù)f x ax 1.(1)若f x 2的解集為 3,1 ,求實(shí)數(shù)a的值；(2)若a 1,若存在x R ,使得不等式f 2x 1 f x 13 2m成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍一、單選題(本題包括12個小題，每小題1. D【解析】【分析】，一 2， r ，-化簡,由共軻復(fù)數(shù)的定義即可得到答

8、案。1 i【詳解】小干 22(1 i) 2(1 i)由于1 i2 i (1 i)(1 i) 2故答案選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)乘除法公式以及共軻復(fù)數(shù)的定義。2. D參考答案35,共60分.每小題只有一個選項(xiàng)符合題意)2 ,所以的共軻復(fù)數(shù)是1 i ,1 i【解析】【分析】log 49依換底公式可得log 59 ,從而得出log 5 9log45log49,而根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出log49 log4 25,從而得出a , b , c的大小關(guān)系.,log 4 9由于 log 59, Q log 4 9 log4 5log4 5log49log4 5log 49 ；log 5 9 log 4

9、9,又 log 4 9 log 4 25 ,【點(diǎn)睛】 本題主要考查利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小以及換底公式的應(yīng)用.3. A【解析】i 1 (i 1)(1 i) .d試題分析：由題意得，Z -一-i ,所以Z 1,故選A.1 i (1 i)(1 i)考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的模 .4. C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，從而可得結(jié)論【詳解】根據(jù)y f x的圖象可知，當(dāng) x 0或 x 2 時，f (x) 0 ,所以函數(shù)y f x在區(qū)間 ,0和2,上單調(diào)遞增；當(dāng)0 x 2 時，f(x) 0,所以函數(shù)y f x在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，由此可知函數(shù) y f x在x 0和x 2處

10、取得極值，并且在x 0處取得極大值，在 x 2處取得極小值，所以y f x的圖象最有可能的是 C.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和分析能力.解決此類問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，一定要注意極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號相反5. C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理進(jìn)行判斷即可【詳解】,22 ,一f (x) log3 x 是連續(xù)的減函數(shù)，又 f 21 10g3 2 0; f 3 1 0x3可得 f (2) f (3) v 0,(2,3)，函數(shù)f (x)的其中一個零點(diǎn)所在的區(qū)間是故選C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，若函數(shù)單調(diào)，只需端

11、點(diǎn)的函數(shù)值異號即可判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，是一道基礎(chǔ)題.6. A【解析】分析：利用等高條形圖中兩個分類變量所占比重進(jìn)行推理即可詳解：從等高條形圖中可以看出2,在中y的比重明顯大于X2中yi的比重，所以兩個分類變量的關(guān)系較強(qiáng).故選A點(diǎn)睛：等高條形圖，可以粗略的判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無法精確的給出所得結(jié)論的可靠程度，考查識圖用圖的能力.7. C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計算，即【詳解】100分是數(shù)學(xué)期望，由題意成績高于130分的有100人，則低于70分的也有100人，70到130的總?cè)藬?shù)為3000 200=2800,因此成績高于100分低于130分的人數(shù)為2800 1400.

12、2故選C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布，解題關(guān)鍵是掌握正態(tài)分布曲線中的對稱性，即若 X : N( , 2),則P(X ) P(X ), P(X m) P(X m)(m 0).8. B【解析】【分析】作差并因式分解可得 M-N= b 1 a 1 ，由a,be(0, 1)可作出判斷.【詳解】 由題意可得 m-n= ab a b 1 =ab a b 1 = a b 1 b 1 = b 1 a 1- abe(0, 1),，( b-1)e( -1, o),( ai)e( -1, 0),. ( b-1) ( a -1)> 0, . . M >N故選B.【點(diǎn)睛】本題考查作差法比較式子大小，涉及因式分

13、解，屬基礎(chǔ)題.9. D【解析】r r分析：先由平面向量的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算得到a 2b，再利用數(shù)量積為 0進(jìn)行判定.V V詳解：由題意，得 a 2b (2, 3),因?yàn)?4 2 ( 6) ( 3) 26, 4 2 6 ( 3)10,3 2 ( 2) ( 3) 12 , 3 2 2 ( 3) 0 ,故選D.點(diǎn)睛：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量垂直的判定等知識，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本計算能力.10. B【解析】【分析】分別將兩個不等式解出來即可【詳解】由2x 8得x 3由 2 1得 2 x 3所以2x 8”是 VX-2 1”的必要不充分條件故選：B【點(diǎn)睛】設(shè)命題p對應(yīng)的集合為 A,

14、命題q對應(yīng)的集合為B,若A B,則p是q的充分不必要條件，若 A B,則p 是q的必要不充分條件，若 A=B,則p是q的充要條件.11. . D【解析】【分析】22寫設(shè)橢圓 y 1上的點(diǎn)為M (3cos。，2sin。)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)能求出9422橢圓jx_ 匕 1上的點(diǎn)到直線 x+2y-4=1的距離取最小值. 94【詳解】x2y2斛：設(shè)橢圓 一 一 1上的點(diǎn)為 M (3cos0, 2sin。)，94則點(diǎn)M到直線x+2y - 4= 1的距離：3cos 4sin45d '= |5sin ( 0+a) - 4| ,1454當(dāng) sin (什 a) 時， 522橢圓1

15、上的點(diǎn)到直線 x+2y - 4 = 1的距離取最小值 dmin = 1.94故選D.本題考查直線與圓的位置關(guān)系、橢圓的參數(shù)方程以及點(diǎn)到直線的距離、三角函數(shù)求最值，屬于中檔題.12. B【解析】對于命題認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)，不出錯的概率是99%不是數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，物理成績就有的可能優(yōu)秀，不正確；對于，隨機(jī)變量K2的觀測值k越小，說明兩個相關(guān)變量有關(guān)系的把握程度越小,不正確；容易驗(yàn)證正確，應(yīng)選答案B。二、填空題(本題包括 4個小題，每小題 5分，共20分)13. 2799%分析：根據(jù)分層抽樣的概念得按比例抽樣詳解：因?yàn)榉謱映闃?，所以三個年級一共抽取320 320 400 3608 一 nc 3

16、20 400 3608 32027 .點(diǎn)睛：在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比，即ni : Ni=n ： N.314.4【解析】試題分析：依題意sin3.=,sin10,所以cos會所以3考點(diǎn)：三角恒等變換.15.1 a 2【解析】 【分析】首先可先求出二次方程的兩根，由于0 A可判斷兩根與0的大小，于是可得到答案.【詳解】0,222由于(x 1) x a a 20的兩根為xi1,x2 a 2 a ,由于0 A,所以X2 a 2 a即a2 a 2 0,解得 1 a 2,故答案為 1 a 2

17、.【點(diǎn)睛】本題主要考查含參數(shù)的一元二次不等式解法，意在考查學(xué)生的分析能力和計算能力，難度不大.16. 1,2【解析】【分析】分0 a 1和a 1兩種情況討論，根據(jù)外層函數(shù)的單調(diào)性、內(nèi)層函數(shù)的最值以及真數(shù)恒大于零可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，由此可解出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)0 a 1時，外層函數(shù)y logaU為減函數(shù)，對于內(nèi)層函數(shù)u x2 ax 1 , a2 4 0,則u任意的實(shí)數(shù)x恒成立，2由于一次函數(shù)u x ax 1有最小值，此時函數(shù) f x loga x ax 1沒有最小值；當(dāng)a 1時，外層函數(shù)y logaU為增函數(shù)，對于內(nèi)層函數(shù) u x2 ax 1 ,2函數(shù)u x ax 1有最小值，

18、若使得函數(shù)f x loga x ax 1有最小值，a2 410 ，解得1 a 2.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 1,2故答案為：1,2【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.三、解答題(本題包括 6個小題，共70分)17. (1) ； (2) 3技【解析】1由正弦定理可得sinAsinB J3sinBcosA ,結(jié)合sinB 0,可求tanA J3 ,結(jié)合范圍0 A可求A . 32由已知利用余弦定理可得c2 3c 4 0 ,解得c的值，根據(jù)三角形面積公式即可計算得解.【詳解】解：IQasinB 73bcosA 0.由正

19、弦定理可得：sinAsinB J3sinBcosA,QsinB 0,sinA 6cosA ,即 tanA 石,Q0 A ,A 一32 Qa 7i3, b 3, A321由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA,可得：13 9 c 2 3c ,可得：c2 3c 4 0,2解得：c 4,(負(fù)值舍去)，SVABC - bcsinA _34 - 3*j3222【點(diǎn)睛】 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.18. (1)見證明；(2)10 ,133133【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明AD 面PDC

20、,從而推得 AD PC ;ir(2 )以D為原點(diǎn)，以DA , DC分別為x , y建立空間直角坐標(biāo)，分別求出面 MBC的法向量m和面MBAr的法向量為n,根據(jù)二面角的余弦值公式即可求解出結(jié)果.【詳解】(1)證明：因?yàn)?AD DC, AD PD, PD DC D,所以AD 面PDC ,又因?yàn)镻C 面PDC ,所以AD PC .(2)解：以D為原點(diǎn)，以DA , DC分別為x, y建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè) AD 2,則 A 2,0,0 , B 2,2,0 , C 0,2,0 , P 0, 1,73 , M 0,1，旦2 2uuurMC5305uur ,BC2,0,0 ,設(shè)面MBC的法向量irm

21、x,y,z ,v uuv rm BC 則 v UULV m MC0,有 0,2x52y0,也z2 z0,.35,則irm0, .3,5uiur 由MA2,2,uuuAB0,1,0r,設(shè)面MBA的法向量為nx, y, z ,v n 則v nULUVMA uuv AB°，有 0,2x12y0,0,取x 73, y 0, z 4n -3,0,4ir r 貝U cos； m,n20281910炳3 ,由于二面角 A MB C的平面角為鈍角, 133所以，其余弦值為10 133 .133【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過線面垂直證明線線垂直以及利用向量法求二面角的余弦值，考查空間想象能力、 邏輯思維能

22、力和運(yùn)算能力.19. (1) 3cos(2) PA PB3.22分析：(1)先求出曲線 M的直角坐標(biāo)方程，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化即可;(2)利用參數(shù)t的幾何意義可得詳解：(1)曲線M的直角坐標(biāo)方程為即 x2 y2 3x, xxcos x,2 3 cos即 3cos ,此即為曲線 M的極坐標(biāo)方程.(2)點(diǎn)p的直角坐標(biāo)為1,1 ,設(shè)A, B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為t1, t2 ,將直線l的參數(shù)方程代入x2y2 3x，得 2t2 3后 2 0，則tlt211t23.22，1 0由參數(shù)t的幾何意義可知,PA |t1 , |PB t2故 PA PB t13.22點(diǎn)睛：求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問題的主要方法(1)

23、直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用;(2)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解.使用后一種方法時，應(yīng)注意若結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo).20. (1)”；(2)旦；(3)見解析.2081【解析】【分析】(1)事件“取出的3個球中恰有2個顏色相同”分為兩種情況“3個球中有2個紅球”和“ 3個球中有2個黃球”，然后利用古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式可計算出所求事件的概率；1(2)計算出每次取球取到黃球的概率為-，然后利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率來計算出所求事件的概率；3(3)由題意得出 X的可能取值有2、3、4、5、6,利用排列組合思想求出隨機(jī)變量X在對應(yīng)取值時的概率，

24、于此可列出隨機(jī)變量X的分布列，并計算出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)從盒中一次隨機(jī)取出 3個球，記取出的3個球中恰有2個顏色相同為事件 A,則事件A包含事件“ 3個球中有2和紅球”和事件“ 3個球中有2個黃球”，由古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式得C32C3C22C4c；1320'隨機(jī)變量X的分布列為:X23456P115215-541513答：取出的2個球顏色相同的概率1320(2)盒中逐一取球，取后立即放回，每次取到黃球的概率為31記取4次恰有3次黃球?yàn)槭录﨎 ,則P B C43 -381答：取4次恰有3次黃球的概率;81(3) X的可能取值為2、3、4、5、6,A

25、21C2c4A22解在P X 3 FT行CCAA13八4C 2 c4 A41 a5C2 AA515'A6 入、口，12所以，隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望為E X 2 3 1515本題考查古典概型概率公式以及互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,l 4 八 11456 -1533同時也考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式以及21 . (1)見解析;(2)(k 1)22k分析：(1)因?yàn)閍n 2p 1 Sn 1 2兩式相減an 2pan 1, n 1時a2pa1所以數(shù)列 an是等比數(shù)列(2)，1，,bn -log2 a1a2 Lnanlog2 2n p 2 n1 n n 1-n (3)n 20171bn-log2 aL ann/n n 11n 7-log2 2 p 2 nn n 1-log2 2n2k nn 11 .所以2k 1bn2n 2k 32 2k 1顯然分類討論即可隨機(jī)變量分布