時(shí)間序列分析的基本思想

1、時(shí)間序列分析的基本思想時(shí)間序列分析是一種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理的統(tǒng)計(jì)方法。該方法基于 隨機(jī)過程理論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，研究隨機(jī)數(shù)據(jù)序列所遵從的統(tǒng) 計(jì)規(guī)律，以用于解決實(shí)際問題。它包括一般統(tǒng)計(jì)分析(如口相關(guān)分 析，譜分析等)，統(tǒng)計(jì)模型的建立與推斷，以及關(guān)于時(shí)間序列的最 優(yōu)預(yù)測(cè)、控制與濾波等內(nèi)容。經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)分析都假定數(shù)據(jù)序列具 有獨(dú)立性，而吋間序列分析則側(cè)重研究數(shù)據(jù)序列的互相依賴關(guān)系。 后者實(shí)際上是對(duì)離散指標(biāo)的隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)分析，所以乂可看作 是隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)的一個(gè)組成部分。例如，記錄了某地區(qū)第一個(gè)月， 第二個(gè)月，第n個(gè)月的降雨量，利用時(shí)間序列分析方法， 可以對(duì)未來各月的雨量進(jìn)行預(yù)報(bào)。時(shí)間序列分析是根據(jù)系統(tǒng)觀測(cè)得

2、到的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，通過曲 線擬合和參數(shù)估計(jì)來建立數(shù)學(xué)模型的理論和方法。它一般采用曲 線擬合和參數(shù)估計(jì)方法(如非線性最小二乘法)進(jìn)行。時(shí)間序列 分析常用在國民經(jīng)濟(jì)宏觀控制、區(qū)域綜合發(fā)展規(guī)劃、企業(yè)經(jīng)營管 理、市場(chǎng)潛量預(yù)測(cè)、氣象預(yù)報(bào)、水文預(yù)報(bào)、地震前兆預(yù)報(bào)、農(nóng)作 物病蟲災(zāi)害預(yù)報(bào)、環(huán)境污染控制、生態(tài)平衡、天文學(xué)和海洋學(xué)等 方面。時(shí)間序列的變化大體可分解為以下四種：(1) 趨勢(shì)變化，指現(xiàn)象隨時(shí)間變化朝著一定方向呈現(xiàn)出持續(xù)穩(wěn)定 地上升、下降或平穩(wěn)的趨勢(shì)。(2) 周期變化(季節(jié)變化)，指現(xiàn)象受季節(jié)性影響，按一固定周期 呈現(xiàn)出的周期波動(dòng)變化。(3) 循環(huán)變動(dòng)，指現(xiàn)象按不固定的周期呈現(xiàn)出的波動(dòng)變化。(4) 隨機(jī)

3、變動(dòng)，指現(xiàn)象受偶然因素的影響而呈現(xiàn)出的不規(guī)則波動(dòng)。時(shí)間序列一般是以上幾種變化形式的疊加或組合。時(shí)間序列預(yù)測(cè) 方法分為兩大類：一類是確定型的時(shí)間序列模型方法；確定型時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法的 基本思想是用一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)來擬合時(shí)間序列，不同的變化采取 不同的函數(shù)形式來描述，不同變化的疊加采用不同的函數(shù)疊加來描 述。具體可分為趨勢(shì)預(yù)測(cè)法、平滑預(yù)測(cè)法、分解分析法等。另一類是隨機(jī)型的時(shí)間序列分析方法。隨機(jī)型時(shí)間序列分析法的 基本思想是通過分析不同吋刻變量的相關(guān)關(guān)系，揭示其相關(guān)結(jié)構(gòu)，利 用這種相關(guān)結(jié)構(gòu)來對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)。2. 2平穩(wěn)性的檢驗(yàn)對(duì)序列的平穩(wěn)性有兩種檢驗(yàn)方法，一利|是根據(jù)時(shí)序圖和自相關(guān)圖 顯示的特

4、性做出判斷的圖檢驗(yàn)方法；一種是構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè) 檢驗(yàn)的方法。圖檢驗(yàn)方法是一種操作簡便、運(yùn)用廣泛的平穩(wěn)性判別方法，它的 缺點(diǎn)是判別結(jié)論帶有很強(qiáng)的主觀色彩。所以最好能通統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法加 以輔助判斷。所謂時(shí)序圖就是一個(gè)平面二維坐標(biāo)圖，通常橫軸表示時(shí)間，縱軸 表示序列取值。時(shí)序圖可以直觀的幫助我們掌握時(shí)間序列的一些基本 分布特征。根據(jù)平穩(wěn)吋間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的吋序圖 應(yīng)該顯示出該序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近隨機(jī)波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍 有界的特點(diǎn)。如果觀察序列的時(shí)序圖顯示出該序列有明顯的趨勢(shì)性或 周期性，那它通常不是平穩(wěn)序列。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，很多非平穩(wěn)序列通 過查看它的時(shí)序圖可以立刻被識(shí)

5、別出來。arma模型的性質(zhì)arma模型的全稱是自回歸移動(dòng)平均模型，它是目前最常用的擬 合平穩(wěn)序列模型。它又可以細(xì)分為ar模型、ma模型和arma模型三 大類。ar (p)模型冃是一個(gè)p階自回歸模型，簡稱為ar(p)模型。滿足ar (p)模型(2-2) 的平穩(wěn)吋間序列x,稱為平穩(wěn)解或ar ( p )序列。稱 ° = (mg,，sf是ar (p)模型的自回歸系數(shù)。定義中的ar是 auto-regression的縮寫。通常把由(2t )定義的z)稱為模型(2-2) 的特征多項(xiàng)式。利用時(shí)間t的向后推移算子可以將ar (p)模型(2-2)改寫成 定義=貝 ij>000x/呂二工匕etjw

6、z戶0x=乞 + 工(2-7)是q階滑動(dòng)平均模型，簡稱ma (q)模型，而稱由(2-7)決 定的平穩(wěn)序列x是滑動(dòng)平均序列，簡稱為ma (q)序列。如果進(jìn) 一步要求多項(xiàng)式0在單位圓上也沒有零點(diǎn)：工0當(dāng)|z|vl,就稱 (2-7)是可逆的ma (q)模型，稱相應(yīng)的平穩(wěn)序列是可逆的ma (q)序列。利用時(shí)間的向后推移算子b ,可將ma (q)模型(2-7)寫 成：x, =&(b)gjwz(2-8)arma (p,q)模型定義 設(shè)乞是wn(0q2),實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式0(z)和& (z)沒有公共根,p“滿 足 h() = ,cipbq工0和0(z) = 1 一為勺才工0,習(xí)w 1和&

7、 (z)=工才h 0, z < 1 j=ij=o(2-12)我們稱差分方程x= xajxt-j +£bj£t_j,f e zj=ij=o(2-13)是一個(gè)自回歸滑動(dòng)平均模型，簡稱arma(p, q)模型。稱滿足(2-13)的平穩(wěn)序列x為平穩(wěn)序列x,為平穩(wěn)解或arma (p,q)序列。利用推移算子可以將(2-13)寫成加b)x嚴(yán)卮，蟲z(2-14)2. 5平穩(wěn)序列建模假如某個(gè)觀察值序列通過序列預(yù)處理，可以判定為平穩(wěn)非白噪聲 序列，我們就可以利用模型對(duì)該序列建模。(1) 求岀該觀察值序列的樣本自相關(guān)系數(shù)(acf)和樣本偏自相 關(guān)系數(shù)(pace)的值。(2) 根據(jù)樣本自相關(guān)

8、系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，選擇階數(shù)適 當(dāng)?shù)腶rma (p, q)模型進(jìn)行擬合。(3) 估計(jì)模型屮未知參數(shù)的值。(4) 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?。如果擬合模型通不過檢驗(yàn)，轉(zhuǎn)向步驟 (2),重新選擇模型再擬合。(5) 模型優(yōu)化。如果擬合模型通過檢驗(yàn)，仍然轉(zhuǎn)向步驟(2), 充分考慮各種可能，建立多個(gè)擬合模型，從所有通過檢驗(yàn)的擬合模型 中選擇最優(yōu)模型。(6) 利用擬合模型，預(yù)測(cè)序列的將來走勢(shì)。2. 6序列預(yù)測(cè)到目前為止，我們對(duì)觀察值序列做了許多工作，包括平穩(wěn)性判斷、 白噪聲判別、模型選擇、參數(shù)估計(jì)及模型檢驗(yàn)。這些工作的最終目的 常常就是要利用這個(gè)擬合模型對(duì)序列的未來發(fā)展進(jìn)行預(yù)測(cè)。所謂預(yù)測(cè)就是耍利用序列已觀測(cè)到

9、得樣本值對(duì)序列在未來某個(gè) 吋刻的取值進(jìn)行估計(jì)。目前對(duì)平穩(wěn)序列最常用的預(yù)測(cè)方法是線性最小 方差預(yù)測(cè)。線性是指預(yù)測(cè)值為觀察值序列的線性函數(shù)，最小方差是指 預(yù)測(cè)方差達(dá)故小。2. 6. 1ar (p)序列預(yù)測(cè)在ar (p)序列場(chǎng)合：a=e (0 為 4 + + opxgp + £屮 k , x- ,)aa=0呂(/一1) +0卩呂(/一)式中xtkk>i，仁°預(yù)測(cè)方差為：vaef(l)=(l+(2. 6. 2ma (q)序列預(yù)測(cè)對(duì)一個(gè)ma (q)序列為二“ +乞-&“學(xué)r而言，有xt+l = “ + '/+/ 一 &】£/+/-1oqs+l-

10、q在"g，已知的條件下，求和的估計(jì)值,就等價(jià)于在f 已 知的條件下，求和的估計(jì)值，而未來時(shí)刻的隨機(jī)擾動(dòng)如占+2,是不 可預(yù)測(cè)的，屬于預(yù)測(cè)誤差。所以：當(dāng)預(yù)測(cè)步長小于等于ma模型的階數(shù)時(shí)(isq),心,可以分解為：兀+/ = “ + g - &q/+/-1bqs+lq=(% - &£,+/_勺1 爲(wèi)+i)+ (“&/+/-j=匕(/) + £ (/)當(dāng)預(yù)測(cè)步長人于ma模型的階數(shù)時(shí)(l>q),兀+,可以分解為：f )+酬)即ma (q)序列1步的預(yù)測(cè)值為:qi'i=l卩、1 >q這說明ma (q)序列理論上只能預(yù)測(cè)q步z內(nèi)的序列走勢(shì)，超過 q步預(yù)測(cè)值恒等于序列均值。這是由ma (q)序列自相關(guān)q步截尾的 性質(zhì)決定的。ma (q)序列預(yù)測(cè)方差為:畑©(/) =(1 + &卜 ,1 5 qq +滋)員,l>q2. 6. 3arma (p, q)序列預(yù)測(cè)在arma (p,q)模型場(chǎng)合：xl(l) = e(xt+l_ +