(江蘇版)2018年高考數(shù)學一輪復習(講、練、測)：_專題6.1_數(shù)列的概念與簡單表示法(講)(有解析)

1、專題 6.1 數(shù)列的概念與簡單表示法【考綱解讀】內(nèi)容要求備注a b c 數(shù)列數(shù)列的概念對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在表中分別用 a、b、c表示） . 了解： 要求對所列知識的含義有最基本的認識，并能解決相關的簡單問題. 理解：要求對所列知識有較深刻的認識，并能解決有一定綜合性的問題. 掌握： 要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強的或較為困難的問題 .等差數(shù)列等比數(shù)列【直擊考點】題組一常識題1 數(shù)列 1，58，715，924，的一個通項公式是_2 在數(shù)列 an 中，a11，an11an1(n2)，則a5 _【解析】由題意可知，a11，a211a12，a311a2

2、32，a411a353，a511a485. 3 已知數(shù)列 an的通項公式為an2n3，則數(shù)列 an 是_數(shù)列 ( 填“遞增”或“遞減” ) 【解析】由數(shù)列an的通項公式，得an1an 2(n1) 3 (2n3) 20，所以 an 是遞增數(shù)列題組二常錯題4已知數(shù)列 an 的通項公式為ann1n1，則該數(shù)列的第5 項是 _【解析】由數(shù)列an的通項公式為ann1n1，得a551514623，即數(shù)列 an 的第 5 項是23. 5已知數(shù)列2，5，22，11，則25是該數(shù)列的第 _項【解析】a12，a25，a38，a411，a514，a617，a72025，即 25是該數(shù)列的第 7 項6已知數(shù)列 an

3、的前n項和sn3n22n1，則其通項公式為_【解析】當n1 時，a1s131221 12；當n2 時，ansnsn13n22n13(n1)22(n1) 1 6n 5. 顯然當n1 時，不滿足上式，故數(shù)列an的通項公式為an2，n1，6n5，n2.7設函數(shù)f(x) （3a）x3，x 7，ax6，x7，數(shù)列 an滿足anf(n)，nn*，且數(shù)列 an 是遞增數(shù)列，該實數(shù)a的取值范圍是 _【解析】數(shù)列an是遞增數(shù)列，且anf(n) ，nn*，3a0，a1，f（8）f（7）? 2a3. 題組三?？碱}8 若數(shù)列 an 的前n項和sn23an13，則 an的通項公式是an_9 數(shù)列 an 滿足an111a

4、n，a82，則a1_【解析】由題易知a811a72，得a712；a711a612，得a6 1；a611a5 1，得a52，于是可知數(shù)列 an 具有周期性，且周期為3，所以a1a712. 10 設數(shù)列 an 滿足a10，且anan 1n(n2)，則數(shù)列 an的通項公式為_. 【解析】由題意有a2a12，a3a2 3，anan1n(n2)，以上各式相加，得ana123n（n 1）（n2）2n2n22(n2)因為a10 滿足上式，所以ann2n 22. 【知識清單】考點 1數(shù)列的基本概念, 由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式1數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)，稱為數(shù)列. 數(shù)列中的每一項叫做數(shù)列的項.數(shù)

5、列的項在這列數(shù)中是第幾項，則在數(shù)列中是第幾項. 一般記為數(shù)列na. 對數(shù)列概念的理解(1) 數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構成它的“數(shù)”有關，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關，這有別于集合中元素的無序性因此，若組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數(shù)列(2) 數(shù)列中的數(shù)可以重復出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別2數(shù)列的分類3數(shù)列是一種特殊的函數(shù)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集n和正整數(shù)集n的有限子集 . 所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點. 4. 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列na的第n項與序號n之間的關系可以用一

6、個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式即nafn, 不是每一個數(shù)列都有通項公式, 也不是每一個數(shù)列都有一個個通項公式. 考點 2由前n項和公式推導通項公式，即na與ns的關系求通項na1. 數(shù)列的前n項和：12nnsaaa2數(shù)列na的前n項和ns和通項na的關系：11(1)(2)nnnsnassn考點 3由遞推公式推導通項公式如果已知數(shù)列an 的首項 ( 或前幾項 ) ， 且任一項na與它的前一項1na(2)n ( 或前幾項 ) 間的關系可用一個公式1()nnaf a來表示，那么這個公式叫數(shù)列的遞推公式考點 4 數(shù)列的性質(zhì)的應用數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其

7、子集上的函數(shù)，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數(shù)值，就是數(shù)列所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點，因此，在研究數(shù)列問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性【考點深度剖析】江蘇新高考對數(shù)列知識的考查要求較高，整個高中共有8 個 c能級知識點，本章就占了兩個，高考中以填空題和解答題的形式進行考查，涉及到數(shù)形結合、分類討論和等價轉(zhuǎn)化的思想，著重考查學生基本概念及基本運算能力.經(jīng)常與其它章節(jié)知識結合考查，如與函數(shù)、方程、不等式、平面解析幾何知識結合考查. 【重點難點突破】考點 1數(shù)列的基本概念, 由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)

8、列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關系分類遞增數(shù)列1nnaa其中 nn遞減數(shù)列1nnaa常數(shù)列1nnaa按其他標準分類有界數(shù)列存在正數(shù)m，使nam擺動數(shù)列na的符號正負相間， 如 1， 1,1 ，1，【題組全面展示】【1-1 】數(shù)列 2,5,11,20，x,47，中的x等于 _【答案】 32 【1-2 】已知函數(shù)( )f x滿足：(1)3,(2)6,(3)10,(4)15,ffff，則(12)f的值為 _【答案】91【解析】從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值從第二次開始后一個式子的右端值等于前一個式子的值與自變量的值加1 的和，(2)(1)3,(3)(2)4,(4)(3)5,(1

9、2)(11)13ffffffff，13 14121(2)(1)(3)(2)(12)(11)33413123413912ffffffff【1-3 】已知數(shù)列的前幾項為112,12 3,134,145, ，則數(shù)列的一個通項公式為 . 【答案】111nnan n. 【解析】這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1 的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式111nnan n. 【1-4 】已知數(shù)列的前幾項為9,99,999,9 999，則數(shù)列的一個通項公式為 . 【答案】101nna【解析】這個數(shù)列的前4 項可以寫成101,100 1,1000 1， 100001， 所以它的一個

10、通項公式101nna. 【1-5 】按數(shù)列的排列規(guī)律猜想數(shù)列23，45，67，89，的第10 項是 _【答案】2021綜合點評：根據(jù)數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式, 做這一類題需仔細觀察分析, 抓住以下幾方面的特征:分式中分子 , 分母的特征 ; 相鄰項的變化特征; 拆項后的特征 ; 各項符號特征. 并以此進行歸納, 聯(lián)想 . 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法, 它蘊含著 “從特殊到一般”的思想， 由不完全歸納法得出的結果是不可靠，要注意代值驗證，對于正負符號變化，可用1n或11n來調(diào)整【方法規(guī)律技巧】1根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，觀察出項與n

11、之間的關系、規(guī)律，可使用添項、通分、分割等辦法， 轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項公式來求對于正負符號變化， 可用1n或11n來調(diào)整2根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想由不完全歸納法得出的結果是不可靠，要注意代值驗證. 3. 對于數(shù)列的通項公式要掌握：已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列的各項；根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式，這是一個難點，在學習中要注意觀察數(shù)列中各項與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項，看看這幾項的分解中哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項公式. 【新題變式探

12、究】【變式一】將石子擺成如圖的梯形形狀稱數(shù)列5,9,14,20,為“梯形數(shù)”根據(jù)圖形的構成，此數(shù)列的第2014項與5的差，即20145a_【答案】1010 2013【變式二】已知數(shù)列an中，*,nan對于任意*1,nnnnaa若對于任意正整數(shù)k，在數(shù)列中恰有k個k出現(xiàn)，則2014a【答案】63【解析】 由題意數(shù)列 na就是如圖數(shù)陣. 確定2014a的值， 就是確定數(shù)列na第2014個數(shù)在數(shù)陣中第幾行. 因為(1) 63(631)62(621)12,2016,1953,222n nn所以2014a在數(shù)陣中第63行，所以201463.a12,23,3,34,4,4,45,5,5,5,5【綜合點評】

13、 試題一是一個根據(jù)定義求數(shù)列的通項公式，做這一類題要注意觀察每一項的特點，觀察出項與n之間的關系、 規(guī)律， 從而得數(shù)列的通項公式. 試題二是一個根據(jù)數(shù)列的規(guī)律找通項公式，可根據(jù)數(shù)列的變化規(guī)律，找出2014a在數(shù)陣中的位置，從而可求出2014a的值 . 考點 2由前n項和公式推導通項公式，即na與ns的關系求通項na【題組全面展示】【2-1 】已知數(shù)列 an 的前n項和為sn，且sn2an1(nn*)，則a5_【答案】 16 【解析】當n1 時，s1a12a11，a11，又sn12an11(n2)，snsn 1an2(anan1) anan12. an12n1，a52416. 【2-2 】數(shù)列n

14、a的前n項和rrasnn(1為不等于0,1的常數(shù) ) ，則na_. 【答案】11()11nnrarr【解析】由nnras1可得當2n時111nnras，)(11nnnnaarss，1nnnarara，1(1),nnarra1,r11rraann，0r，na是公比為1rr的等比數(shù)列又當1n時，111ras，ra111，11()11nnrarr【2-3 】已知數(shù)列na的前n項和為sn3n1，則它的通項公式為an _. 【答案】 23n1【解析】當n2時，ansnsn1 3n1(3n11) 23n1；當n1 時，a1s12 也滿足an23n1. 故數(shù)列 an的通項公式為an23n1. 【2-4 】已

15、知數(shù)列na的前n項和2*21()nsnnnn，則na_. 【答案】na4,121,2nnn【解析】1n時，114as，2n時，221(21)(1)2(1)121nnnassnnnnn，將1n代入得134a，所以na4,121,2nnn. 【2-5 】數(shù)列na滿足*12211131,333nnaaannn,則na . 【答案】綜合點評： 這些題都是由na與前n項和ns的關系來求數(shù)列na的通項公式， 可由數(shù)列na的通項na與前n項和ns的關系是11(1)(2)nnnsnassn， 注意：當1n時，1a若適合1nnss， 則1n的情況可并入2n時的通項na；當1n時，1a若不適合1nnss，則用分段

16、函數(shù)的形式表示【方法規(guī)律技巧】已知數(shù)列na的前n項和ns，求數(shù)列的通項公式，其求解過程分為三步：(1) 先利用11as求出1a；(2) 用1n替換ns中的n得到一個新的關系，利用na1nnss(2)n便可求出當2n時na的表達式；(3) 對1n時的結果進行檢驗，看是否符合2n時na的表達式， 如果符合， 則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分1n與2n兩段來寫【注】該公式主要是用來求數(shù)列的通項，求數(shù)列通項時，一定要分兩步討論，結果能并則并，不并則分. 【新題變式探究】【變式一】數(shù)列an滿足：a13a25a3 (2n1)an(n1)3n 13(nn*) ，則數(shù)列 an的通項公式na_.

17、 【答案】 3n【解析】a13a25a3 (2n3)an1(2n1)an(n1)3n13，把n換成n1 得，a13a25a3 (2n3)an1(n2)3n3，兩式相減得an3n. 【變式二】已知a12a222a3 2n1an9 6n，則數(shù)列 an的通項公式na_【答案】231322nnnan【綜合點評】這兩個題都是na與ns的關系求通項na型，利用轉(zhuǎn)化，解決遞推公式為ns與na的關系式：數(shù)列an的前n項和ns與通項na的關系11(1)(2)nnnsnassn，通過紐帶：na1nnss(2)n，根據(jù)題目求解特點，消掉一個na或ns然后再進行構造成等差或者等比數(shù)列進行求解如需消掉ns，可以利用已知

18、遞推式，把n換成 (1n) 得到新遞推式， 兩式相減即可 若要消掉na， 只需把ansnsn 1代入遞推式即可 不論哪種形式，需要注意公式na1nnss成立的條件2n. 考點 3由遞推公式推導通項公式【題組全面展示】【3-1 】已知數(shù)列na滿足111,2 (2)nnaaan n，則4a_【答案】 192 【解析】12nnaan，12nnana，214aa，326aa，438aa，又因為11a，所以，41 46 8192a【3-2 】已知數(shù)列na滿足112356nnnaaa，則數(shù)列na的通項公式na . 【答案】125nnna【3-3 】已知數(shù)列na滿足1a=1，1na=21na (nn) ，則

19、數(shù)列na的通項公式na . 【答案】na=21n. 【解析】構造新數(shù)列nap，其中 p 為常數(shù)，使之成為公比是na的系數(shù) 2 的等比數(shù)列即1nap=2()nap整理得：1na=2nap使之滿足1na=21nap=1 即1na是首項為11a=2，q=2 的等比數(shù)列1na=12 2nna=21n. 【3-4 】在數(shù)列na中，1a=1，11nnaan (n=2 、3、4 ) ，則數(shù)列na的通項公式na . 【答案】222nnna (nn). 【解析】111na時，21324312123.1nnnaaaaaaaan時,這 n-1 個等式累加得：112.naa（n-1）=(1)2n n故21(1)222

20、nn nnnaa且11a也滿足該式222nnna (nn). 【3-5 】已知數(shù)列na滿足, 1,13111aaaannn則數(shù)列na的通項公式na . 【答案】132nan綜合點評：這些題都是由遞推公式推導通項公式，由1a和遞推關系求通項公式，可觀察其特點，一般常利用“化歸法”、“累加法”、“累乘法”、 “構造等比數(shù)列”、 “迭代”等方法【方法規(guī)律技巧】1. 數(shù)列的遞推關系是相鄰項之間的關系，高考對遞推關系的考查不多，填空題中出現(xiàn)復雜遞推關系時，可以用不完全歸納法研究在解答題中主要是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的基本量來求解2. 由遞推公式推導通項公式（1）對于11( )nnaaaaf n型，求na，

21、迭加累加（等差數(shù)列的通項公式的推導方法），由已知關系式得1( )(2)nnaaf nn，給遞推式1( )(2)nnaaf nn中的n從 2 開始賦值，一直到n，一共得到1n個式子，再把這1n個式子左右兩邊對應相加化簡，即得到數(shù)列的通項. 也可用迭代，即用111221()()()nnnnnaaaaaaaa的方法 . （2）對于11( )nnaaaf n a型，求na，迭乘累乘（等比數(shù)列的通項公式的推導方法），由已知關系式得1( )(2)nnag n na，給遞推式1( )(2)nnag nna中的n從 2 開始賦值，一直到n，一共得到1n個式子，再把這1n個式子左右兩邊對應相乘化簡，即得到數(shù)列的

22、通項. 也可用迭代，即用321121nnnaaaaaaaa的方法 . （3）對于11nnaaapaq(1,0)qb型，求na，一般可以利用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列na，其公比為.p注意數(shù)列na的首項為1a，不是1.a對新數(shù)列的首項要弄準確. (4) 形如11nnnaakab的遞推數(shù)列可以用倒數(shù)法求通項【新題變式探究】【變式一】已知數(shù)列na滿足11a,11nnnana(*2,nnn), 則2161nan取得最小值的n的值為_. 【答案】 7 【變式二】已知0,1)(xxxxf，若nnxffxfxfxfnn),()(),()(11，則)(2014xf的表達式為_. 【答案】12014xx【解析】1

23、11( )1111xxfxxxx，0 x，11x，111x，1101x， 即( )0f x，當且僅當0 x時取等號，當0 x時，(0)0nf，當0 x時( )0f x，1( )( )nnfxffx1( )( )1( )nnnfxfxfx，11( )111( )( )( )nnnnfxfxfxfx，即1111( )( )nnfxfx數(shù)列1( )nfx是以1( )fx為首項，以1 為公差的等差數(shù)列11111(1) 1(1) 1( )( )1nnxnnxfxf xxx，( )(0)1nxfxxnx，當0 x時，0(0)010nf，( )(0)1nxfxxnx，2014( )12014xfxx. 【綜

24、合點評】這兩個題都是由由遞推關系式求數(shù)列的通項公式，第一題與不等式結合，第二題與函數(shù)結合，第一題首先由疊乘法求出通項公式，然后代入有基本不等式可得，第二題由函數(shù)的性質(zhì)找出遞推關系，從而找出( )(0)1nxfxxnx，即可得出)(2014xf的表達式 . 考點 4 數(shù)列的性質(zhì)的應用【題組全面展示】【4-1 】已知225nann nn，則數(shù)列na的最大項是 _【答案】1213aa或【解析】na是關于n的二次函數(shù) . 【4-2 】設函數(shù)6(3)3,7( ),7xa xxf xax，數(shù)列na滿足*( )()naf n nn, 且數(shù)列na為遞增數(shù)列 , 則實數(shù) a的取值范圍為_【答案】 (2,3) 【

25、4-3 】在數(shù)列na中，前n項和為ns，(319) 2nnan，則當ns最小時，n的值為 _【答案】 6 【解析】令0na，得6n，故當16n時，0na；當7n時，0na，故當6n時，ns最小 . 【4-4 】若數(shù)列 an滿足：a1 19，an1an3(n n*) ，則數(shù)列 an 的前n項和數(shù)值最大時，n的值為 _【答案】 7 【4-5 】已知數(shù)列na的首項1aa，其前n項和為ns，且滿足2132nnssnn. 若對任意的*nn，1nnaa恒成立，則a的取值范圍是. 【答案】9 15,44【解析】試題分析：由條件213(2)nnssnn得21)1(3 nssnn，兩式相減得361naann，故

26、9612naann，兩式再相減得62nnaa，由2n得12121aaa，aa2122，從而anan2662；3n得2721321aaaaa，aa233，從而anan23612，由條件得ananananaa26) 1(6236236266212，解之得41549a. 綜合點評：這些題都是數(shù)列的函數(shù)特征的應用，做這一類題，一是利用函數(shù)的性質(zhì)，同時注意數(shù)列的性質(zhì)，抓住試題的關鍵，靈活應用. 【方法規(guī)律技巧】1. 數(shù)列中項的最值的求法數(shù)列中na或ns的最值問題與函數(shù)處理方法類似，首先研究數(shù)列na或ns的特征，再進一步判斷數(shù)列的單調(diào)性，從而得到最值要注意的細節(jié)是n只能取正整數(shù)數(shù)列中最大項和最小項的求法求最大項的方法：設na為最大項，則有11nnnnaaaa；求最小項的方法：設na為最小項，則有11nnnnaaaa. 前n項和最值的求法(1) 先求出數(shù)列的前n項和ns，根據(jù)ns的表達式求解最值；(2) 根據(jù)數(shù)列的通項公式，若0ma，且10ma，則ms最大；若0ma，且10ma，則ms最小，這樣便可直接利用各項的符號確定最值. 2 在運用函數(shù)判斷數(shù)列的單調(diào)性時，要注意函數(shù)的自變量為連續(xù)的，數(shù)列的自變量為不連續(xù)的，所以函數(shù)性質(zhì)不能夠完全等同于數(shù)列的性質(zhì)有些數(shù)列會出現(xiàn)前后幾項的大小不一，從某一項開始才符合遞增或遞減的特征，這時前幾項中每一項都必須研究3. 數(shù)列中恒